2019年地方上級2

箱の中にくじが全部で10本はいっており、このうち3本だけが当たりくじである。この箱からくじを1人が1本ずつ順番に引いていく。引いたくじは箱に戻さず、当たりくじが全て引かれた時点でくじ引きは終了となる。4番目の人が当たりくじを引き、そこでくじ引きが終了となる確率はいくらか。　　　　　　　　　　　　　　　　　　①1/10　②1/15　③1/20　④1/30　⑤1/40　　　　　　　　　　　　　　　　　当たりくじは3本ですから、(1)1人目から3人目で当たりを2本引く。(2)4人目が当たりを引く。この2つが揃えばよいのですね。ってか、書いたほうが分かりやすいですね。
それぞれの確率を求めていきますが、その際に、引いたくじは箱に戻さないという条件に注意して、
ご覧のように、全て、分母は10×9×8×7。分子は3×2×7×1です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　掛け算は、数字の順番がどうあれ、同じ結果になるので、(ア)の確率も(イ)の確率も(ウ)の確率も同じですね。なので、どれか一つだけ計算して、それを3倍すればいい訳です。よって、求める確率は、
正解は、肢⑤です。ここをポチッとお願いします。→

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2019年国家一般職(大卒)1

箱の中に同じ大きさの7個の玉があり、その内訳は青玉が2個、黄玉が2個、赤玉が3個である。この中から玉を1個ずつ取り出して左から順に横一列に7個並べるとき、色の配置が左右対称となる確率はいくらか。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①1/105 ②2/105 ③1/35 ④4/105 ⑤1/21 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　左右対称なのだから、真ん中は赤でなければいけません。そして、
左側の配置が決まれば、自動的に右側の配置も決まります。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　左側は、3×2×1＝6通り。(右側は勝手に決まる)よって、左右対称となる並び方は6通りです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　全部書き出してみますと、赤をR、黄をY、青をBとして、
また、左右対称関係なしで、全ての並べ方は、同じものを含む順列なので、
6/210＝1/35なので、正解は、肢③となります。ここをポチッとお願いします。→
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サイコロの場合

(問)　サイコロ2個を投げて、出た目の和が8になるのは何通りか？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　実は、この問いには答えが2つあります。このサイコロ2個が、例えば大、小のように、どちらのサイコロが何の目だったかが分かるときは、
このように、(1,2)といっても、2通りです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2つのサイコロに区別がつかなければ、
(1,2)で1通りと数えるしかありません。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　だから、問の正解は、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①サイコロに区別がつく場合は(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)の5通り、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②サイコロに区別がつかない場合は(2,6)(3,5)(4,4)の3通りです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　前回触れたように、ここでは、「なりやすさ」などは関係ありません。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(問)サイコロ2個を投げて、出た目の和が8になる確率を求めよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　確率となると、「なりやすさ」も考えます。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　大小のように区別がつくサイコロでも、区別がつかないサイコロでも、区別をつけて考えないと、公平性が失われてしまいます。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　区別がつく場合が5通りなので、正解は5/36です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1〜6の目を持つ二つのサイコロA、Bを同時に振ったとき、出た目の数の和が10以上になる確率はいくらか。①1/6　②1/9　③2/9　④1/18　⑤5/36(2019年度大卒警察官)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　こんな表を作ると便利です。
和が10以上のものに○をつけてあります。正解は、肢①です。ここをポチッとお願いします。→
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避けては通れない道。でも何とかやってきた。

区別がつくコイン2枚を投げるとき、何通りのパターンがあるか?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　これは簡単ですね。2つのコインをA、Bと区別して、
4通りです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　区別がつかないコイン2枚を投げるとき、何通りのパターンがあるか?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　この場合は、どっちのコインが表で、どっちのコインが裏かが判定できません。だから、
3通りです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　区別がつくコイン2枚を投げるとき、表が2枚になる確率を求めよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　はじめの画像より、4分の1です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　区別がつかない2枚のコインを投げるとき、表が2枚になる確率を求めよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2つ目の画像より、3分の1です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　さて、この説明の中で、一つ間違っているものがあります。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　それは、最後の確率です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2つ目の画像では確かに3通りですが、それぞれの起こりやすさが違います。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　○と○、☓と☓は4回に1回の割合(確率)で起こりますが、○と☓は2回に1回の割合(確率)で起こりますね。だから、正しくは4分の1なのです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ここで、頭の良い初学者であればあるほど、愕然とします。なぜなら、そんなことを今まで考えたこともなかったから、今後、似たようなことを聞かれたときに、正しく反応できるか自身が持てないからです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　コイン2枚でこれだから、コインが10枚だったり、サイコロが4つだったりしたら、もうお手上げですねえ。そこで、我々教える側は、ついつい、面倒くさくなって、「とにかく、確率を聞かれたら、区別がつかないものであっても、区別がつくとして考えると正しく答えが求まります」とやってしまうのです。あまりよく理解していなくても、そのとおりにやれば、確かに正解になるからです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　豊島名人と僕が将棋で真剣勝負したら何通りかというと、豊島○、僕○、引き分けの3通りです。ここでは、起こる可能性があるものを数えているだけで、起こりやすさなど何も考えていません。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　僕○の確率は、限りなく0です。引き分けも限りなく0です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　などと、色々な例を出し合いながら、楽しく学んでいくのが良いのですが。次回は、コインではなく、サイコロの実例を。ここをポチッとお願いします。→
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2018年度国家一般職（大卒）1

2種類の球種（直球、変化球）のいずれかを、それぞれ1/2の確率でランダムに投げ分ける機械を相手に、Aがバッティングを行う。Aがバットにボールを当てる確率は表のとおりであり、いま投じられている球種と、その直前に投じられた球種によって決まっている。また、同じ球種が3球以上続けて投じられた場合の3球目以降をAがバットに当てる確率は、この表の確率に1/6を加えた値になるものとする。　　　　　　　　　　　　　　　　　　いま、この機械が1球目に直球を投じた後、直球又は変化球をランダムに3球投じたとき、Aが、2球目以降に投じられた3球全てをバットに当てる確率はいくらか。そりゃあ、直球ばかり続けたり、変化球ばかり続ければ、バッターも目が慣れてくるので、バットに当てる確率は上がります。しかし、直球を続けて3球見せられて、次に変化球がくれば、この表の1/3より、確率は少し下がるのではないでしょうか？本問は、「そんなことまで考えなくてよろしい。」ということで……。ついつい、野球の話になると、要らないことまで考えてしまいます。こんな表を作ります。例えば、この機械が、2球目以降、○→○→○と投げる確率は1/8です。この時（○→○→○ときたとき）に、Aが全てバットに当てる確率は、ここで、勘のいい人（又は去年も受けた人）は、「これは計算大会のつもりやな。去年の反復試行もそやったで」と気がつくと思います。つまり、これを後7回繰り返して、その和を求めればいいのです。計算をしくじると一巻の終わり。全てに1/8がくっつきますから、まとめて最後に1/8を掛けることにします。こうなります。正解は、肢2です。ここをポチッとお願いします。→
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