2019年地方上級12

下図は、正三角形二つと直角三角形六つから成る展開図である。この展開図を点線部分で全て谷折りにして立体Xを作った。立体Xは、立方体を頂点三つを通る平面で切断し三角錐を切り落とし、さらに、別の頂点三つを通る平面で切断し三角錐を切り落としてできる立体と同じ形てある。立体Xにおいて、右図の展開図の辺abと平行な辺を全て太線で示しているのはどれか。




立体Xは、立方体を頂点三つ(例えば下の図のウとエとオ)を通る平面(面ウエオ)で切断し三角錐(ア−ウエオ)を切り落とし、さらに、別の頂点三つを通る平面で切断し・・・と書いてありますが、この「別の頂点三つ」がくせ者です。仮に、それを頂点ウとエとカだとすると、このようになりますね。
実際に切り落とすと、
このとき、展開図では、二つの正三角形が辺を共有することになります。ところが、そうはなっていません。
ということは、このような切断をした訳です。


次に、展開図の辺abと平行な辺を探します。どの点をa、どの点をbにすればいいのでしょうか?展開図を見ると、正三角形の各辺は、全て直角二等辺三角形の斜辺になっています。だから、正三角形のどの辺を辺abとしても構いません。
二つ上の図の辺ウエを辺abとしましょう。すると、それと平行な辺は辺キクです。辺キクは、正三角形Bの3つの辺のうち、点イを含まない辺ですね。


正解は、肢1です。ここをポチッとお願いします。→
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どのように転がったかは関係ない！

平成23年の旧国家Ⅱ種より。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図Ⅰは、相対する面の数の和が7となるサイコロであり、これを前後、左右に何回か回転させた後に見ると、図Ⅱのようになった。これと同じサイコロ8個を使って図Ⅲのような大きな立方体をつくり、これを図Ⅰ→図Ⅱとしたのと同じ要領で回転させた後に見ると、図Ⅳのようになった。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　この場合、図Ⅲに矢印で示した2個のサイコロが、大きな立方体内で他のサイコロと接する面（それぞれ3面）の数を合計するといくらになるか。①26②27③28④29⑤30　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　問題文中の、「同じ要領で回転させた」が気になりますねえ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図Ⅰを、どのように転がせば、図Ⅱになるのか？まずは、これを解明しなくては……。というのが自然なのですが、実は全く関係ありません。（それでも気になる人は、最後に一例を挙げておきます。）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図Ⅰと図Ⅱを観察すると、図Ⅰでは、頂点アに、1と4と5の目が集まっています。では、図Ⅱにおいて、頂点アは、どこでしょうか？図Ⅰでは、頂点イに、2と4と6の目が集まっています。では、図Ⅱにおいて、頂点イは、どこでしょうか？これと同じことを、図Ⅲ、図Ⅳですれば答えが分かります。どちらのサイコロも、1と2と3の目が表面に出ているので、4と5と6の目は、大きな立方体内で、他のサイコロと接しています。よって、それらの目の合計は、（4＋5＋6）×2＝30。正解は、肢⑤です。ちなみに、図Ⅰから図Ⅱになるには、例えば、なので、図Ⅲから図Ⅳは、ここをポチッとお願いします。→
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東京消防庁1類no12（2017.5.28）

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下の図は、正四面体の展開図であり、太線が描かれている面を表にして、図形を組み立てた。ア～オの展開図のうち、この図形と同じものができるものの組み合わせとして、最も妥当なのはどれか。①ア、エ　②ア、オ　③イ、エ　④イ、オ　⑤ウ、エ　　展開図を組み立てると、　　　つまり、ところで、正四面体は、各頂点に、正三角形が3枚集まってできています。（4枚はダメ）。とりあえず、ウは正四面体ができませんので、肢⑤はあり得ません。アは、ですから、OK。（肢①②に絞られる）エは、点Aが3つもできちゃうからダメ。オは、これはOK。正解は、肢②です。イは、エと同じく、Aが3つできてしまいますね。また、視点を変えて、次のように考えても構いません。

教員採用試験教養数学（大阪府、豊能地区、大阪市、堺市）2016.7.2

次の図Aは、立方体の3つの面に対角線を引いたものである。ア～オの展開図のうち、この立方体の展開図となるもののみをすべて挙げているものはどれか。①～⑤から一つ選べ。①ア、ウ②イ、ウ③ウ、エ④イ、エ、オ⑤ウ、エ、オ　　　　　　　　　　　　　　　　　　立方体の展開図では、ある面Aと、その隣の隣にある面Bは、向かいあいます。よって、アはダメです。向かい合う面に対角線があるからです。図Aをみると、3つの対角線は、つながっています。イは、つながっていません。ウは図Aになります。エもOK。オは少し難しいですが、OKです。よって、正解は、肢⑤です。

警視庁3類no40（平成28年9月18日）

次の図のア～エは3面にA、B、Cの文字が書かれた正八面体の展開図である。組み立てたときに同じ正八面体になる組合せとして、最も妥当なのはどれか。①アとイ②アとウ③アとエ④イとエ⑤ウとエまず、アとイは、同じ正八面体ではありません。また、アとエも、違う正八面体です。イとエも、AとCの関係が違うので、やはり異なる正八面体です。ウとエも、AとCの関係が違います。ということで、消去法で、肢②が正解です。確かに、アとウは、どちらも、Aの上とCの左下の点が重なっています。BとCの関係も、同じです。