(01)
「先程(令和02年04月09日)の記事」に於ける、
(ⅰ)
1 (1)∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[~(象y∨マy)&鼻xy→~長x]} A
1 (2) ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[~(象y∨マy)&鼻ay→~長a]} 1UE
3 (3) [鼻ab&(象b∨マb)→長a)]&[~(象b∨マb)&鼻ab→~長a] A
3 (4) 鼻ab&(象b∨マb)→長a) 3&E
3 (5) ~(象b∨マb)&鼻ab→~長a 3&E
7 (7) 長a A
7 (8) ~~長a 7DN
37 (9) ~[~(象b∨マb)&鼻ab] 58MTT
37 (ア) (象b∨マb)∨~鼻ab 9ド・モルガンの法則
37 (イ) ~鼻ab∨(象b∨マb) ア交換法則
37 (ウ) 鼻ab→(象b∨マb) イ含意の定義
3 (エ) 長a→[鼻ab→(象b∨マb)] 7ウCP
オ(オ) 長a& 鼻ab A
オ(カ) 長a オ&E
3 オ(キ) 鼻ab→(象b∨マb) エカMPP
オ(ク) 鼻ab オ&E
3 オ(ケ) 象b∨マb キクMPP
3 (コ) 長a&鼻ab→(象b∨マb) オケCP
3 (サ) [鼻ab&(象b∨マb)→長a)]&[長a&鼻ab→(象b∨マb)] 4コ&I
3 (シ) ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[長a&鼻ay→(象y∨マy)]} サEI
1 (ス) ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[長a&鼻ay→(象y∨マy)]} 23シEE
1 (セ)∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[長x&鼻xy→(象y∨マy)]} スUI
(ⅱ)
1 (1)∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[長x&鼻xy→(象y∨マy)]} A
1 (2) ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[長a&鼻ay→(象y∨マy)]} 1UE
3 (3) [鼻ab&(象b∨マb)→長a)]&[長a&鼻ab→(象b∨マb)] A
3 (4) 鼻ab&(象b∨マb)→長a) 3&E
3 (5) 長a&鼻ab→(象b∨マb) 3&E
6 (6) ~(象b∨マb) A
36 (7) ~(長a&鼻ab) 56MTT
36 (8) ~長a∨~鼻ab 7ド・モルガンの法則
36 (9) ~鼻ab∨~長a 8交換法則
36 (ア) 鼻ab→~長a 9含意の定義
3 (イ) ~(象b∨マb)→(鼻ab→~長a) 6アCP
ウ(ウ) ~(象b∨マb)& 鼻ab A
ウ(エ) ~(象b∨マb) ウ&E
3 ウ(オ) (鼻ab→~長a) イエMPP
ウ(カ) 鼻ab ウ&E
3 ウ(キ) ~長a オカMPP
3 (ク) ~(象b∨マb)&鼻ab→~長a ウキCP
3 (ケ) [鼻ab&(象b∨マb)→長a)]&[~(象b∨マb)&鼻ab→~長a] 4ク&I
3 (コ) ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[~(象y∨マy)&鼻ay→~長a] ケEI
1 (サ) ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[~(象y∨マy)&鼻ay→~長a] 23コEE
1 (シ)∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[~(象y∨マy)&鼻xy→~長x]} 1UI
といふ「計算」は、「次(02)」のやうに、「書き換へ」ることが、出来る。
(02)
(ⅰ)
1 (1)∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[~(象y∨マy)&鼻xy→~長x]} A
1 (2) ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[~(象y∨マy)&鼻ay→~長a]} 1UE
3 (3) [鼻ab&(象b∨マb)→長a)]&[~(象b∨マb)&鼻ab→~長a] A
3 (4) 鼻ab&(象b∨マb)→長a) 3&E
3 (5) ~(象b∨マb)&鼻ab→~長a 3&E
6 (6) 長a A
6 (7) ~~長a 6DN
36 (8) ~[~(象b∨マb)&鼻ab] 57MTT
36 (9) (象b∨マb)∨~鼻ab 8ド・モルガンの法則
ア (ア) (象b∨マb) A
ア (イ) ~~(象b∨マb) アDN
ア (ウ) ~~(象b∨マb)∨~鼻ab イ∨I
エ (エ) ~鼻ab A
エ (オ) ~~(象b∨マb)∨~鼻ab エ∨I
36 (カ) ~~(象b∨マb)∨~鼻ab 9アウエオ∨E
36 (キ) ~(象b∨マb)→~鼻ab カ含意の定義
3 (ク) 長a→[~(象b∨マb)→~鼻ab] 6キCP
ケ(ケ) 長a& ~(象b∨マb) A
ケ(コ) 長a ケ&E
3 ケ(サ) ~(象b∨マb)→~鼻ab クコMPP
ケ(シ) ~(象b∨マb) ケ&E
3 ケ(ス) ~鼻ab サシMPP
3 (セ) 長a& ~(象b∨マb)→~鼻ab ケスCP
3 (ソ) [鼻ab&(象b∨マb)→長a)]&[長a&~(象b∨マb)→~鼻ab] 4セ&I
3 (タ) ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[長a&~(象y∨マy)→~鼻ay]} ソEI
3 (チ) ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[長a&~(象y∨マy)→~鼻ay]} 23タEE
1 (ツ)∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[長x&~(象y∨マy)→~鼻xy]} チUI
(ⅲ)
1 (1)∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[長x&~(象y∨マy)→~鼻xy]} A
1 (2) ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[長a&~(象y∨マy)→~鼻ay]} 1UE
3 (3) [鼻ab&(象b∨マb)→長a)]&[長a&~(象b∨マb)→~鼻ab] A
3 (4) 鼻ab&(象b∨マb)→長a) 3&E
3 (5) 長a&~(象b∨マb)→~鼻ab 3&E
6 (6) 鼻ab A
6 (7) ~~鼻ab 6DN
36 (8) ~[長a&~(象b∨マb)] 57MTT
36 (9) ~長a∨ (象b∨マb) 8ド・モルガンの法則
36 (ア) (象b∨マb)∨~長a 9交換法則
イ (イ) (象b∨マb) A
イ (ウ) ~~(象b∨マb) イDN
イ (エ) ~~(象b∨マb)∨~長a ウ∨I
オ (オ) ~長a A
オ (カ) ~~(象b∨マb)∨~長a オ∨I
36 (キ) ~~(象b∨マb)∨~長a アイエオカ∨E
36 (ク) ~(象b∨マb)→~長a キ含意の定義
3 (ケ) 鼻ab→[~(象b∨マb)→~長a] 6クCP
コ(コ) ~(象b∨マb)&鼻ab A
コ(サ) 鼻ab コ&E
3 コ(シ) ~(象b∨マb)→~長a ケサMPP
コ(ス) ~(象b∨マb) コ&E
3 コ(セ) ~長a シスMPP
3 (ソ) ~(象b∨マb)&鼻ab→~長a コセCP
3 (タ) [鼻ab&(象b∨マb)→長a)]&[~(象b∨マb)&鼻ab→~長a] 4ソ&I
3 (チ) ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[~(象y∨マy)&鼻ay→~長a]} タEI
1 (ツ) ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[~(象y∨マy)&鼻ay→~長a]} 23チEE
1 (テ)∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[~(象y∨マy)&鼻xy→~長x]} ツUI
従って、
(01)(02)により、
(03)
① ∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[~(象y∨マy)&鼻xy→~長x]}
② ∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[ 長x&鼻xy→ (象y∨マy)]}
③ ∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[長x&~(象y∨マy)→~鼻xy]}
に於いて、すなはち、
① すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが(象か、マンモス)であるならば、xは長く、yが(象かマンモス)でなくてxがyの鼻ならば、xは長くない。
② すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが(象か、マンモス)であるならば、xは長く、xが長くて、yの鼻であるならば、yは(象かマンモス)である。
③ すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが(象か、マンモス)であるならば、xは長く、xが長いのに、yが(象かマンモス)でないならば、xはyの鼻ではない。
に於いて、
①=②
①=③ であって、それ故、
①=②=③ である。
然るに、
(04)
① すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが(象か、マンモス)であるならば、xは長く、yが(象かマンモス)でなくてxがyの鼻ならば、xは長くない。
② すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが(象か、マンモス)であるならば、xは長く、xが長くて、yの鼻であるならば、yは(象かマンモス)である。
③ すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが(象か、マンモス)であるならば、xは長く、xが長いのに、yが(象かマンモス)でないならば、xはyの鼻ではない。
といふことは、
① 鼻は、(象かマンモス)は長く、(象かマンモス)以外は、長くない。
② 鼻は、(象かマンモス)は長く、長い鼻は、(象かマンモス)の「それ」である。
③ 鼻は、(象かマンモス)は長く、長いのに、(象かマンモス)の「それ」でないならば、「鼻」ではない。
といふ、ことである。
然るに、
(05)
「ある鼻」が、「象の鼻」であって、尚且つ、「マンモスの鼻」であることは、「不可能」である。
従って、
(05)により、
(06)
「ある鼻」が、「象の鼻か、マンモスの鼻」であるならば、「長い」。
といふことは、
「象の鼻と、マンモスの鼻」が「長い」。
といふ、ことである。
従って、
(03)~(06)により、
(07)
① 鼻は、(象とマンモス)は長く、(象とマンモス)以外は、長くない。
② 鼻は、(象とマンモス)は長く、長い鼻は、(象とマンモス)の「それ」である。
③ 鼻は、(象とマンモス)は長く、長いのに、(象とマンモス)の「それ」でないならば、「鼻」ではない。
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(08)
{象、マンモス、兎、キリン}を、{変域(ドメイン)}とするならば、
① 鼻は、(象とマンモス)は長く、(象とマンモス)以外(兎とキリン)は長くない。
② 鼻は、(象とマンモス)は長く、長い鼻は、(象とマンモス)の「それ(鼻)」である。
③ 鼻は、(象とマンモス)は長く、長いのに、(象とマンモス)の「それ」でないならば、「鼻」ではなく、「兎の耳と、キリンの首」である。
に於いて、
①=②=③ であるものの、このことは、要するに、
① 鼻は、象とマンモスが長く、
② 耳は、兎が長く、
③ 首は、キリンが長い。
といふ、ことである。
従って、
(01)~(08)により、
(09)
① 鼻は、象とマンモスが長い。⇔
① 鼻は、象とマンモスは長く、象とマンモス以外は長くない。⇔
① ∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[~(象y∨マy)&鼻xy→~長x]}⇔
① すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが(象か、マンモス)であるならば、xは長く、yが(象かマンモス)でなくてxがyの鼻ならば、xは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
(01)
(ⅰ)
1 (1)∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[~(象y∨マy)&鼻xy→~長x]} A
1 (2) ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[~(象y∨マy)&鼻ay→~長a]} 1UE
3 (3) [鼻ab&(象b∨マb)→長a)]&[~(象b∨マb)&鼻ab→~長a] A
3 (4) 鼻ab&(象b∨マb)→長a) 3&E
3 (5) ~(象b∨マb)&鼻ab→~長a 3&E
7 (7) 長a A
7 (8) ~~長a 7DN
37 (9) ~[~(象b∨マb)&鼻ab] 58MTT
37 (ア) (象b∨マb)∨~鼻ab 9ド・モルガンの法則
37 (イ) ~鼻ab∨(象b∨マb) ア交換法則
37 (ウ) 鼻ab→(象b∨マb) イ含意の定義
3 (エ) 長a→[鼻ab→(象b∨マb)] 7ウCP
オ(オ) 長a& 鼻ab A
オ(カ) 長a オ&E
3 オ(キ) 鼻ab→(象b∨マb) エカMPP
オ(ク) 鼻ab オ&E
3 オ(ケ) 象b∨マb キクMPP
3 (コ) 長a&鼻ab→(象b∨マb) オケCP
3 (サ) [鼻ab&(象b∨マb)→長a)]&[長a&鼻ab→(象b∨マb)] 4コ&I
3 (シ) ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[長a&鼻ay→(象y∨マy)]} サEI
1 (ス) ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[長a&鼻ay→(象y∨マy)]} 23シEE
1 (セ)∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[長x&鼻xy→(象y∨マy)]} スUI
(ⅱ)
1 (1)∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[長x&鼻xy→(象y∨マy)]} A
1 (2) ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[長a&鼻ay→(象y∨マy)]} 1UE
3 (3) [鼻ab&(象b∨マb)→長a)]&[長a&鼻ab→(象b∨マb)] A
3 (4) 鼻ab&(象b∨マb)→長a) 3&E
3 (5) 長a&鼻ab→(象b∨マb) 3&E
6 (6) ~(象b∨マb) A
36 (7) ~(長a&鼻ab) 56MTT
36 (8) ~長a∨~鼻ab 7ド・モルガンの法則
36 (9) ~鼻ab∨~長a 8交換法則
36 (ア) 鼻ab→~長a 9含意の定義
3 (イ) ~(象b∨マb)→(鼻ab→~長a) 6アCP
ウ(ウ) ~(象b∨マb)& 鼻ab A
ウ(エ) ~(象b∨マb) ウ&E
3 ウ(オ) (鼻ab→~長a) イエMPP
ウ(カ) 鼻ab ウ&E
3 ウ(キ) ~長a オカMPP
3 (ク) ~(象b∨マb)&鼻ab→~長a ウキCP
3 (ケ) [鼻ab&(象b∨マb)→長a)]&[~(象b∨マb)&鼻ab→~長a] 4ク&I
3 (コ) ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[~(象y∨マy)&鼻ay→~長a] ケEI
1 (サ) ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[~(象y∨マy)&鼻ay→~長a] 23コEE
1 (シ)∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[~(象y∨マy)&鼻xy→~長x]} 1UI
従って、
(01)により、
(02)
① ∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[~(象y∨マy)&鼻xy→~長x]}
② ∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[ 長x&鼻xy→ (象y∨マy)]}
に於いて、すなはち、
① すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが(象か、マンモス)であるならば、xは長く、yが(象かマンモス)でないならば、xは長くない。
② すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが(象か、マンモス)であるならば、xが長く、yの鼻であるならば、yは(象かマンモス)である。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(03)
① すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが(象か、マンモス)であるならば、xは長く、yが(象かマンモス)でないならば、xは長くない。
② すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが(象か、マンモス)であるならば、xが長く、yの鼻であるならば、yは(象かマンモス)である。
といふことは、
① 鼻は、(象かマンモス)は長く、(象かマンモス)以外は、長くない。
② 鼻は、(象かマンモス)は長く、長い鼻は、(象かマンモス)である。
然るに、
(04)
{象、マンモス、兎、キリン、ライオン}を{変域(ドメイン)}とすると、
① 鼻は、(象かマンモス)は長く、(象かマンモス)以外(兎、キリン、ライオン)は、長くない。
② 鼻は、(象かマンモス)は長く、長い鼻は、兎やキリンやライオンではなく、(象かマンモス)である。
に於いて、
① は、「真(本当)」であり、
② も、「真(本当)」であり、尚且つ、
①=② である。
然るに、
(05)
「ある鼻」が、「象の鼻」であって、尚且つ、「マンモスの鼻」であることは、「不可能」である。
従って、
(06)
「ある鼻」が、「象の鼻か、マンモスの鼻」であるならば、「長い」。
といふことは、
「象の鼻と、マンモスの鼻」が「長い」。
といふ、ことである。
従って、
(03)(06)により、
(07)
{象、マンモス、兎、キリン、ライオン}を{変域(ドメイン)}とすると、
① 鼻は、(象かマンモス)は長く、(象かマンモス)以外は、長くない。
② 鼻は、(象かマンモス)は長く、長い鼻は、(象かマンモス)である。
といふことは、
③ 鼻は、象とマンモスが長い。
といふことである。
(01)~(07)により、
(08)
① 鼻は、象とマンモスが長い。⇔
① ∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[~(象y∨マy)&鼻xy→~長x]}⇔
① すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが(象か、マンモス)であるならば、xは長く、yが(象かマンモス)でないならば、xは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
因みに、
(09)
「令和02年04月04日」の「記事」で示した通り、
② 鼻は、象が長い。⇔
② ∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&鼻xy→~長x)}⇔
② すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが象ならば、xは長く、yが象ではなく、xがyの鼻ならば、xは長くない。
といふ「等式」が、成立する。