日本語の「は」と「が」について。

象は鼻が長い=∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
とりあえず「三上文法」を「批判」します。

(580)「鼻は、象とマンモスが長い」の「述語論理」(Ⅱ)。

2020-04-09 18:46:44 | 象は鼻が長い、述語論理。

(01)
「先程(令和02年04月09日)の記事」に於ける、
(ⅰ)
1   (1)∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[~(象y∨マy)&鼻xy→~長x]} A
1   (2)  ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[~(象y∨マy)&鼻ay→~長a]} 1UE
 3  (3)     [鼻ab&(象b∨マb)→長a)]&[~(象b∨マb)&鼻ab→~長a]  A
 3  (4)      鼻ab&(象b∨マb)→長a)                      3&E
 3  (5)                        ~(象b∨マb)&鼻ab→~長a   3&E
  7 (7)                                      長a   A
  7 (8)                                    ~~長a   7DN
 37 (9)                      ~[~(象b∨マb)&鼻ab]      58MTT
 37 (ア)                        (象b∨マb)∨~鼻ab       9ド・モルガンの法則
 37 (イ)                        ~鼻ab∨(象b∨マb)       ア交換法則   
 37 (ウ)                         鼻ab→(象b∨マb)       イ含意の定義
 3  (エ)                     長a→[鼻ab→(象b∨マb)]      7ウCP
   オ(オ)                     長a& 鼻ab               A
   オ(カ)                     長a                    オ&E
 3 オ(キ)                         鼻ab→(象b∨マb)       エカMPP
   オ(ク)                         鼻ab               オ&E
 3 オ(ケ)                              象b∨マb        キクMPP
 3  (コ)                      長a&鼻ab→(象b∨マb)       オケCP
 3  (サ)     [鼻ab&(象b∨マb)→長a)]&[長a&鼻ab→(象b∨マb)]    4コ&I
 3  (シ)  ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[長a&鼻ay→(象y∨マy)]}   サEI
1   (ス)  ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[長a&鼻ay→(象y∨マy)]}   23シEE
1   (セ)∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[長x&鼻xy→(象y∨マy)]}   スUI
(ⅱ)
1   (1)∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[長x&鼻xy→(象y∨マy)]}   A
1   (2)  ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[長a&鼻ay→(象y∨マy)]}   1UE
 3  (3)     [鼻ab&(象b∨マb)→長a)]&[長a&鼻ab→(象b∨マb)]    A
 3  (4)      鼻ab&(象b∨マb)→長a)                      3&E
 3  (5)                        長a&鼻ab→(象b∨マb)     3&E
  6 (6)                              ~(象b∨マb)     A
 36 (7)                      ~(長a&鼻ab)            56MTT
 36 (8)                       ~長a∨~鼻ab            7ド・モルガンの法則
 36 (9)                       ~鼻ab∨~長a            8交換法則
 36 (ア)                        鼻ab→~長a            9含意の定義
 3  (イ)                     ~(象b∨マb)→(鼻ab→~長a)    6アCP
   ウ(ウ)                     ~(象b∨マb)& 鼻ab         A
   ウ(エ)                     ~(象b∨マb)              ウ&E
 3 ウ(オ)                              (鼻ab→~長a)    イエMPP
   ウ(カ)                               鼻ab         ウ&E
 3 ウ(キ)                                   ~長a     オカMPP
 3  (ク)                        ~(象b∨マb)&鼻ab→~長a   ウキCP
 3  (ケ)     [鼻ab&(象b∨マb)→長a)]&[~(象b∨マb)&鼻ab→~長a]  4ク&I
 3  (コ)  ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[~(象y∨マy)&鼻ay→~長a]  ケEI
1   (サ)  ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[~(象y∨マy)&鼻ay→~長a]  23コEE
1   (シ)∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[~(象y∨マy)&鼻xy→~長x]} 1UI
といふ「計算」は、「次(02)」のやうに、「書き換へ」ることが、出来る。
(02)
(ⅰ)
1     (1)∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[~(象y∨マy)&鼻xy→~長x]} A
1     (2)  ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[~(象y∨マy)&鼻ay→~長a]} 1UE
 3    (3)     [鼻ab&(象b∨マb)→長a)]&[~(象b∨マb)&鼻ab→~長a]  A
 3    (4)      鼻ab&(象b∨マb)→長a)                      3&E
 3    (5)                        ~(象b∨マb)&鼻ab→~長a   3&E
  6   (6)                                      長a   A
  6   (7)                                    ~~長a   6DN
 36   (8)                      ~[~(象b∨マb)&鼻ab]      57MTT
 36   (9)                        (象b∨マb)∨~鼻ab       8ド・モルガンの法則
   ア  (ア)                        (象b∨マb)            A
   ア  (イ)                      ~~(象b∨マb)            アDN
   ア  (ウ)                      ~~(象b∨マb)∨~鼻ab       イ∨I
    エ (エ)                                ~鼻ab       A
    エ (オ)                      ~~(象b∨マb)∨~鼻ab       エ∨I
 36   (カ)                      ~~(象b∨マb)∨~鼻ab       9アウエオ∨E
 36   (キ)                       ~(象b∨マb)→~鼻ab       カ含意の定義
 3    (ク)                   長a→[~(象b∨マb)→~鼻ab]      6キCP
     ケ(ケ)                   長a& ~(象b∨マb)            A
     ケ(コ)                   長a                      ケ&E
 3   ケ(サ)                       ~(象b∨マb)→~鼻ab       クコMPP
     ケ(シ)                       ~(象b∨マb)            ケ&E  
 3   ケ(ス)                                ~鼻ab       サシMPP
 3    (セ)                   長a& ~(象b∨マb)→~鼻ab       ケスCP
 3    (ソ)     [鼻ab&(象b∨マb)→長a)]&[長a&~(象b∨マb)→~鼻ab]  4セ&I
 3    (タ)  ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[長a&~(象y∨マy)→~鼻ay]} ソEI
 3    (チ)  ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[長a&~(象y∨マy)→~鼻ay]} 23タEE
1     (ツ)∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[長x&~(象y∨マy)→~鼻xy]} チUI
(ⅲ)
1     (1)∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[長x&~(象y∨マy)→~鼻xy]} A
1     (2)  ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[長a&~(象y∨マy)→~鼻ay]} 1UE
 3    (3)     [鼻ab&(象b∨マb)→長a)]&[長a&~(象b∨マb)→~鼻ab]  A
 3    (4)      鼻ab&(象b∨マb)→長a)                      3&E
 3    (5)                        長a&~(象b∨マb)→~鼻ab   3&E
  6   (6)                                     鼻ab   A
  6   (7)                                   ~~鼻ab   6DN
 36   (8)                      ~[長a&~(象b∨マb)]       57MTT
 36   (9)                       ~長a∨ (象b∨マb)        8ド・モルガンの法則
 36   (ア)                       (象b∨マb)∨~長a         9交換法則
   イ  (イ)                       (象b∨マb)             A
   イ  (ウ)                     ~~(象b∨マb)             イDN
   イ  (エ)                     ~~(象b∨マb)∨~長a         ウ∨I
    オ (オ)                               ~長a         A
    オ (カ)                     ~~(象b∨マb)∨~長a         オ∨I
 36   (キ)                     ~~(象b∨マb)∨~長a         アイエオカ∨E
 36   (ク)                      ~(象b∨マb)→~長a         キ含意の定義
 3    (ケ)                 鼻ab→[~(象b∨マb)→~長a]        6クCP
     コ(コ)                      ~(象b∨マb)&鼻ab         A
     コ(サ)                 鼻ab                       コ&E
 3   コ(シ)                      ~(象b∨マb)→~長a         ケサMPP
     コ(ス)                      ~(象b∨マb)             コ&E
 3   コ(セ)                               ~長a         シスMPP
 3    (ソ)                  ~(象b∨マb)&鼻ab→~長a         コセCP
 3    (タ)     [鼻ab&(象b∨マb)→長a)]&[~(象b∨マb)&鼻ab→~長a]  4ソ&I
 3    (チ)  ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[~(象y∨マy)&鼻ay→~長a]} タEI
1     (ツ)  ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[~(象y∨マy)&鼻ay→~長a]} 23チEE
1     (テ)∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[~(象y∨マy)&鼻xy→~長x]} ツUI
従って、
(01)(02)により、
(03)
① ∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[~(象y∨マy)&鼻xy→~長x]}
② ∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[ 長x&鼻xy→ (象y∨マy)]}
③ ∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[長x&~(象y∨マy)→~鼻xy]}
に於いて、すなはち、
① すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが(象か、マンモス)であるならば、xは長く、yが(象かマンモス)でなくてxがyの鼻ならば、xは長くない。
② すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが(象か、マンモス)であるならば、xは長く、xが長くて、yの鼻であるならば、yは(象かマンモス)である。
③ すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが(象か、マンモス)であるならば、xは長く、xが長いのに、yが(象かマンモス)でないならば、xはyの鼻ではない。
に於いて、
①=②
①=③ であって、それ故、
①=②=③ である。
然るに、
(04)
① すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが(象か、マンモス)であるならば、xは長く、yが(象かマンモス)でなくてxがyの鼻ならば、xは長くない。
② すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが(象か、マンモス)であるならば、xは長く、xが長くて、yの鼻であるならば、yは(象かマンモス)である。
③ すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが(象か、マンモス)であるならば、xは長く、xが長いのに、yが(象かマンモス)でないならば、xはyの鼻ではない。
といふことは、
① 鼻は、(象かマンモス)は長く、(象かマンモス)以外は、長くない。
② 鼻は、(象かマンモス)は長く、長い鼻は、(象かマンモス)の「それ」である。
③ 鼻は、(象かマンモス)は長く、長いのに、(象かマンモス)の「それ」でないならば、「鼻」ではない。
といふ、ことである。
然るに、
(05)
「ある鼻」が、「象の鼻」であって、尚且つ、「マンモスの鼻」であることは、「不可能」である。
従って、
(05)により、
(06)
「ある鼻」が、「象の鼻か、マンモスの鼻」であるならば、「長い」。
といふことは、
「象の鼻と、マンモスの鼻」が「長い」。
といふ、ことである。
従って、
(03)~(06)により、
(07)
① 鼻は、(象とマンモス)は長く、(象とマンモス)以外は、長くない。
② 鼻は、(象とマンモス)は長く、長い鼻は、(象とマンモス)の「それ」である。
③ 鼻は、(象とマンモス)は長く、長いのに、(象とマンモス)の「それ」でないならば、「鼻」ではない。
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(08)
{象、マンモス、兎、キリン}を、{変域(ドメイン)}とするならば、
① 鼻は、(象とマンモス)は長く、(象とマンモス)以外(兎とキリン)は長くない。
② 鼻は、(象とマンモス)は長く、長い鼻は、(象とマンモス)の「それ(鼻)」である。
③ 鼻は、(象とマンモス)は長く、長いのに、(象とマンモス)の「それ」でないならば、「鼻」ではなく、「兎の耳と、キリンの首」である。
に於いて、
①=②=③ であるものの、このことは、要するに、
① 鼻は、象マンモス長く、
② 耳は、兎長く、
③ 首は、キリン長い。
といふ、ことである。
従って、
(01)~(08)により、
(09)
① 鼻は、象マンモス長い。⇔
① 鼻は、象マンモスは長く、象とマンモス以外は長くない。⇔
① ∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[~(象y∨マy)&鼻xy→~長x]}⇔
① すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが(象か、マンモス)であるならば、xは長く、yが(象かマンモス)でなくてxがyの鼻ならば、xは長くない。
といふ「等式」が、成立する。


(579)「鼻は、象とマンモスが長い」の「述語論理」。

2020-04-09 14:55:42 | 象は鼻が長い、述語論理。

(01)
(ⅰ)
1   (1)∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[~(象y∨マy)&鼻xy→~長x]} A
1   (2)  ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[~(象y∨マy)&鼻ay→~長a]} 1UE
 3  (3)     [鼻ab&(象b∨マb)→長a)]&[~(象b∨マb)&鼻ab→~長a]  A
 3  (4)      鼻ab&(象b∨マb)→長a)                      3&E
 3  (5)                        ~(象b∨マb)&鼻ab→~長a   3&E
  7 (7)                                      長a   A
  7 (8)                                    ~~長a   7DN
 37 (9)                      ~[~(象b∨マb)&鼻ab]      58MTT
 37 (ア)                        (象b∨マb)∨~鼻ab       9ド・モルガンの法則
 37 (イ)                        ~鼻ab∨(象b∨マb)       ア交換法則   
 37 (ウ)                         鼻ab→(象b∨マb)       イ含意の定義
 3  (エ)                     長a→[鼻ab→(象b∨マb)]      7ウCP
   オ(オ)                     長a& 鼻ab               A
   オ(カ)                     長a                    オ&E
 3 オ(キ)                         鼻ab→(象b∨マb)       エカMPP
   オ(ク)                         鼻ab               オ&E
 3 オ(ケ)                              象b∨マb        キクMPP
 3  (コ)                      長a&鼻ab→(象b∨マb)       オケCP
 3  (サ)     [鼻ab&(象b∨マb)→長a)]&[長a&鼻ab→(象b∨マb)]    4コ&I
 3  (シ)  ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[長a&鼻ay→(象y∨マy)]}   サEI
1   (ス)  ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[長a&鼻ay→(象y∨マy)]}   23シEE
1   (セ)∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[長x&鼻xy→(象y∨マy)]}   スUI
(ⅱ)
1   (1)∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[長x&鼻xy→(象y∨マy)]}   A
1   (2)  ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[長a&鼻ay→(象y∨マy)]}   1UE
 3  (3)     [鼻ab&(象b∨マb)→長a)]&[長a&鼻ab→(象b∨マb)]    A
 3  (4)      鼻ab&(象b∨マb)→長a)                      3&E
 3  (5)                        長a&鼻ab→(象b∨マb)     3&E
  6 (6)                              ~(象b∨マb)     A
 36 (7)                      ~(長a&鼻ab)            56MTT
 36 (8)                       ~長a∨~鼻ab            7ド・モルガンの法則
 36 (9)                       ~鼻ab∨~長a            8交換法則
 36 (ア)                        鼻ab→~長a            9含意の定義
 3  (イ)                     ~(象b∨マb)→(鼻ab→~長a)    6アCP
   ウ(ウ)                     ~(象b∨マb)& 鼻ab         A
   ウ(エ)                     ~(象b∨マb)              ウ&E
 3 ウ(オ)                              (鼻ab→~長a)    イエMPP
   ウ(カ)                               鼻ab         ウ&E
 3 ウ(キ)                                   ~長a     オカMPP
 3  (ク)                        ~(象b∨マb)&鼻ab→~長a   ウキCP
 3  (ケ)     [鼻ab&(象b∨マb)→長a)]&[~(象b∨マb)&鼻ab→~長a]  4ク&I
 3  (コ)  ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[~(象y∨マy)&鼻ay→~長a]  ケEI
1   (サ)  ∃y{[鼻ay&(象y∨マy)→長a)]&[~(象y∨マy)&鼻ay→~長a]  23コEE
1   (シ)∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[~(象y∨マy)&鼻xy→~長x]} 1UI
従って、
(01)により、
(02)
① ∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[~(象y∨マy)&鼻xy→~長x]}
② ∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[ 長x&鼻xy→ (象y∨マy)]}
に於いて、すなはち、
① すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが(象か、マンモス)であるならば、xは長く、yが(象かマンモス)でないならば、xは長くない。
② すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが(象か、マンモス)であるならば、xが長く、yの鼻であるならば、yは(象かマンモス)である。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(03)
① すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが(象か、マンモス)であるならば、xは長く、yが(象かマンモス)でないならば、xは長くない。
② すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが(象か、マンモス)であるならば、xが長く、yの鼻であるならば、yは(象かマンモス)である。
といふことは、
① 鼻は、(象かマンモス)は長く、(象かマンモス)以外は、長くない
② 鼻は、(象かマンモス)は長く、長い鼻は、(象かマンモス)である。
然るに、
(04)
{象、マンモス、兎、キリン、ライオン}を{変域(ドメイン)}とすると、
① 鼻は、(象かマンモス)は長く、(象かマンモス)以外(兎、キリン、ライオン)は、長くない。
② 鼻は、(象かマンモス)は長く、長い鼻は、兎やキリンやライオンではなく、(象かマンモス)である。
に於いて、
① は、「真(本当)」であり、
② も、「真(本当)」であり、尚且つ、
①=② である。
然るに、
(05)
「ある鼻」が、「象の鼻」であって、尚且つ、「マンモスの鼻」であることは、「不可能」である。
従って、
(06)
「ある鼻」が、「象の鼻、マンモスの鼻」であるならば、「長い」。
といふことは、
「象の鼻、マンモスの鼻」が「長い」。
といふ、ことである。
従って、
(03)(06)により、
(07)
{象、マンモス、兎、キリン、ライオン}を{変域(ドメイン)}とすると、
① 鼻は、(象かマンモス)は長く、(象かマンモス)以外は、長くない
② 鼻は、(象かマンモス)は長く、長い鼻は、(象かマンモス)である。
といふことは、
③ 鼻は、象マンモス長い。
といふことである。
(01)~(07)により、
(08)
① 鼻は、象マンモス長い。⇔
① ∀x∃y{[鼻xy&(象y∨マy)→長x)]&[~(象y∨マy)&鼻xy→~長x]}⇔
① すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが(象か、マンモス)であるならば、xは長く、yが(象かマンモス)でないならば、xは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
因みに、
(09)
「令和02年04月04日」の「記事」で示した通り、
② 鼻は、象長い。⇔
② ∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&鼻xy→~長x)}⇔
② すべてのxとあるyについて、xがyの鼻であって、yが象ならば、xは長く、yが象ではなく、xがyの鼻ならば、xは長くない。
といふ「等式」が、成立する。