―「昨日（令和０２年０９月０２日）の記事」は削除をした上で、「明日以降」に、書き直します。―
（01）
（ⅰ）～（否定）
（ⅱ）＆（連言）
（ⅲ）∨（選言）
（ⅳ）→（ 条件法）
（ⅴ）⇔（双条件法）
といふ「５つの記号」は、「命題論理」に於ける、「論理結合子」である。
然るに、
（02）
① Ｐ⇔Ｑ
②（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
に於いて、
① は、② に対する、「略号（abbreviation）」である。
従って、
（02）により、
（03）
① ～（Ｐ⇔Ｑ）
② ～｛（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）｝
に於いて、
① は、② に対する、「略号（abbreviation）」である。
然るに、
（04）
―「ド・モルガンの法則」の「証明」―
（ⅰ）
１ （１） ～（～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（ Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） Ｐ∨ Ｑ ７∨Ｉ
２ ７（９） ～（ Ｐ∨ Ｑ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ） ２８＆Ｉ
２ （ア） ～Ｑ ７ＲＡＡ
２ （イ） ～Ｐ＆～Ｑ ６イ＆Ｉ
１２ （ウ） ～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） １ウ＆Ｉ
１ （エ）～～（ Ｐ∨ Ｑ） ２エＲＡＡ
１ （オ） Ｐ∨ Ｑ オＤＮ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（05）
―「含意の定義」の「証明」―
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨ Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨ Ｑ オ＆Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８カ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨ Ｑ サＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
然るに、
（06）
（ⅰ）
１ （１） ～（Ｐ⇔Ｑ） Ａ
１ （２）～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ）｝ １Ｄｆ.⇔
１ （３） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
４ （５）～（～Ｐ∨Ｑ） ４含意の定義
４ （６） Ｐ＆～Ｑ ５ド・モルガンの法則
４ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ） ６∨Ｉ
８（８） ～（Ｑ→Ｐ） Ａ
８（９） ～（～Ｑ∨Ｐ） ８含意の定義
８（ア） Ｑ∨～Ｐ ８ド・モルガンの法則
８（イ） ～Ｐ∨Ｑ ア交換法則
８（ウ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ） イ∨Ｉ
１ （エ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ） １４７８ウ∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ） Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３）～（～Ｐ∨Ｑ） ２ド・モルガンの法則
２ （４） ～（Ｐ→Ｑ） ３含意の定義
２ （５） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ４∨Ｉ
６（６） （～Ｐ＆Ｑ） Ａ
６（７） （Ｑ＆～Ｐ） ６交換法則
６（８） ～（～Ｑ∨Ｐ） ７ド・モルガンの法則
６（９） ～（Ｑ→Ｐ） ８含意の定義
６（ア） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ９∨Ｉ
１ （イ） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） １２５６ア∨Ｅ
１ （ウ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ）｝ イ、ド・モルガンの法則
１ （エ） ～（Ｐ⇔Ｑ） ウＤｆ.⇔
従って、
（06）により、
（07）
① ～（Ｐ⇔Ｑ）
② （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
§４ 選言命題は不十分である。選言に２種類あることが看過されているからである。
（ａ）弱選言（Week disjunction）
両立的（inclusive）選言ともいう。―中略―、
（ｂ）強選言（Strong disjunction）
不両立（imcompatible）選言とか相反的（exclusive）選言といい、伝統的論理学のいう選言はこの種のものである。
（岩波全書、論理学入門、1979年、３０・３１頁改）
然るに、
（09）
（ａ）弱選言（Week disjunction） といふのは、
（〃）（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、または、（Ｐであって、Ｑである）。
といふ「場合」を、言ふ。
（10）
（ｂ）強選言（Strong disjunction） といふのは、
（〃）（Ｐであるか）、または、（Ｑである）。
といふ「場合」を、言ふ。
然るに、
（01）（02）（07）（08）により、
（11）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）
③（Ｐであって、Ｑでない）か、または、（Ｐでなくて、Ｑである）か、または、（Ｐであって、Ｑでなく、Ｐでなくて、Ｑである）。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（12）
③（Ｐであって、Ｑでなく、Ｐでなくて、Ｑである）。
といふことは「矛盾」であるため、
②（Ｐであって、Ｑでなく、Ｐでなくて、Ｑである）。
といふことは「有り得ない」。
従って、
（11）（12）により、
（13）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）
③（Ｐであって、Ｑでない）か、または、（Ｐでなくて、Ｑである）。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（14）
③（Ｐであって、Ｑでない）か、または、（Ｐでなくて、Ｑである）。
といふことは、
④（Ｐであるか）、または、（Ｑである）。
といふ、ことである。
従って、
（07）（10）（13）（14）により、
（15）
① ～（Ｐ⇔Ｑ）
② （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）
③ （Ｐであって、Ｑでない）か、または、（Ｐでなくて、Ｑである）。
に於いて、
①＝②＝③ であって、それ故、
① ～（Ｐ⇔Ｑ）
といふ「論理式」は、
（ｂ）強選言（Strong disjunction） である。
従って、
（01）（09）（10）（15）により、
（16）
（ⅰ） ～Ｐ
（ⅱ） Ｐ＆Ｑ
（ⅲ） Ｐ∨Ｑ
（ⅳ） Ｐ→Ｑ
（ⅴ） Ｐ⇔Ｑ
（ⅵ）～（Ｐ⇔Ｑ）
といふ「論理式」は、上から順に、
（ⅰ）否定
（ⅱ）連言
（ⅲ）弱選言
（ⅳ）条件法
（ⅴ）双条件法
（ⅵ）強選言
である。
従って、
（09）（10）（16）により、
（17）
（ⅲ） Ｐ∨Ｑ ≡（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、または、（Ｐであって、Ｑである）。
（ⅵ）～（Ｐ⇔Ｑ）≡（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、どちらか、一方である。
に於いて、
（ⅲ）は「弱選言」であって、
（ⅵ）は「強選言」である。
然るに、
（18）
（ⅲ）（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、または、（Ｐであって、Ｑである）。
（ⅵ）（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、どちらか、一方である。
に於いて、尚且つ、
（ⅲ） Ｐでない。
（ⅵ） Ｐでない。
とするならば、それぞれ、
（ⅲ） Ｑである。
（ⅵ） Ｑである。
従って、
（17）（18）により、
（19）
③ Ｐ∨Ｑ ，～Ｐ├ Ｑ
⑥ ～（Ｐ⇔Ｑ），～Ｐ├ Ｑ
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
然るに、
（20）
（ⅲ）（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、または、（Ｐであって、Ｑである）。
（ⅵ）（Ｐであるか）、または、（Ｑであるか）、どちらか、一方である。
に於いて、尚且つ、
（ⅲ） Ｐである。
（ⅵ） Ｐである。
とするならば、
（ⅲ）には、（Ｐであって、Ｑである。）といふことが「真」である「可能性」と、
（〃）には、（Ｐであって、Ｑである。）といふことが「偽」である「可能性」が有る。
ものの。その一方で、
（ⅵ）には、（Ｐであって、Ｑである。）といふことが「偽」である「可能性」しかない。
従って、
（17）（20）により、
（21）
③ Ｐ∨Ｑ ，Ｐ├ ～Ｑ
⑥ ～（Ｐ⇔Ｑ），Ｐ├ ～Ｑ
といふ「推論（三段論法）」に於いて、
③ は、「妥当」ではないが、
⑥ は、「妥当」である。
従って、
（19）（21）により、
（22）
⑦（Ｐであるか、または、Ｑである。）然るに、Ｐでない。故に、Ｑである。
⑧（Ｐであるか、または、Ｑである。）然るに、Ｐである。故に、Ｑでない。
に於いて、
⑦ であれば、
⑦（Ｐであるか、または、Ｑである。）が、「弱選言」であっても、「強選言」であっても、いづれにせよ、「推論」は「妥当」であるが、
⑧ であれば、
⑧（Ｐであるか、または、Ｑである。）が、「弱選言」であっても、「強選言」であっても、いづれにせよ、「推論」は「妥当」である。
といふことには、ならない。
従って、
（18）～（22）により、
（23）
通常、「選言」という名称で呼ばれているものは、「弱選言」と呼ぶものである。
これは「ＰまたはＱ」としたときに、「Ｐが真」であっても、「必ずしも、Ｑが偽にならない」ような「選言」のことである（数学Ｗｉｋｉ改）。
といふ、ことになる。