（01）
「日本人か、男性。」のやうな「ＡかＢ」を、「弱選言（Weak disjunction）」といふ。
然るに、
（02）
① 日本人の男性。
② 日本人の女性。
③ 外国人の男性。
であれば、「その人は、日本人か、男性である。」
従って、
（02）により、
（03）
Ｎ＝日本人
Ｄ＝男性
とするならば、
① Ｎ＆ Ｄ
② Ｎ＆～Ｄ
③ ～Ｎ＆ Ｄ
④ ～Ｎ＆～Ｄ
に於いて、
④ 以外は、「日本人か、男性。」である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
「日本人か、男性。」≡『「外国人の女性」以外。』
といふ「等式」が成立する。
然るに、
（05）
―「ド・モルガンの法則」の「証明」―
（ⅰ）
１ （１） Ｎ∨ Ｄ Ａ
２ （２） ～Ｎ＆～Ｄ Ａ
３ （３） Ｎ Ａ
２ （４） ～Ｎ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｎ＆～Ｎ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｎ＆～Ｄ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｄ Ａ
２ （８） ～Ｄ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｄ＆～Ｄ ７８＆Ｉ
７（ア）～（～Ｎ＆～Ｄ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｎ＆～Ｄ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） ～（～Ｎ＆～Ｄ） Ａ
２ （２） ～（ Ｎ∨ Ｄ） Ａ
３ （３） Ｎ Ａ
３ （４） Ｎ∨ Ｄ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（ Ｎ∨ Ｄ）＆
（ Ｎ∨ Ｄ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｎ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｄ Ａ
７（８） Ｎ∨ Ｄ ７∨Ｉ
２ ７（９） ～（ Ｎ∨ Ｄ）＆
（ Ｎ∨ Ｄ） ２８＆Ｉ
２ （ア） ～Ｄ ７ＲＡＡ
２ （イ） ～Ｎ＆～Ｄ ６イ＆Ｉ
１２ （ウ） ～（～Ｎ＆～Ｄ）＆
（～Ｎ＆～Ｄ） １ウ＆Ｉ
１ （エ）～～（ Ｎ∨ Ｄ） ２エＲＡＡ
１ （オ） Ｎ∨ Ｄ オＤＮ
従って、
（05）により、
（06）
① Ｎ∨ Ｄ ≡ 「日本人か、男性。」
② ～（～Ｎ＆～Ｄ）≡「（外国人の、女性）以外。」
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
「弱選言」に対する、「ド・モルガンの法則」は、「日本語」としても、「命題計算」としても、「正しい」。
然るに、
（08）
「日本人か、外人。」のやうな「ＡかＢ」を、「強選言（Strong disjunction）」といふ。
然るに、
（09）
―「対偶」の「証明」―
（ⅲ）
１ （１） Ｎ→～Ｇ Ａ
２ （２） Ｇ Ａ
３（３） Ｎ Ａ
１ ３（４） ～Ｇ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｇ＆～Ｑ ２４＆Ｉ
１２ （６）～Ｎ ３５ＲＡＡ
１ （７） Ｇ→～Ｎ ２６ＣＰ
（ⅳ）
１ （１） Ｇ→～Ｎ Ａ
２ （２） Ｎ Ａ
３（３） Ｇ Ａ
１ ３（４） ～Ｎ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｎ＆～Ｎ ２４＆Ｉ
１２ （６）～Ｇ ３５ＲＡＡ
１ （７） Ｎ→～Ｇ ２６ＣＰ
従って、
（09）により、
（10）
③ Ｎ→～Ｇ≡日本人であるならば、外国人ではない。
④ Ｇ→～Ｎ≡外国人であるならば、日本人ではない。
に於いて、
③＝④ である（対偶）。
従って、
（10）により、
（11）
③ Ｎ→～Ｇ≡日本人であるならば、外国人ではなく（、外国人であるならば、日本人ではない）。
であるため、（08）により、
③ Ｎ→～Ｇ≡「強選言（Strong disjunction）」
であるやうに、思へないでも、ない。
然るに、
（12）
―「含意の定義」の「証明」―
（ⅲ）
１ （１） Ｎ→～Ｇ Ａ
２ （２） Ｎ＆ Ｇ Ａ
２ （３） Ｎ ２＆Ｅ
１２ （４） ～Ｇ １３ＭＰＰ
２ （５） Ｇ ２＆Ｅ
１２ （６） ～Ｇ＆ Ｇ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｎ＆ Ｇ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｎ∨～Ｇ） Ａ
９ （９） ～Ｎ Ａ
９ （ア） ～Ｎ∨～Ｇ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｎ∨～Ｇ）＆
（～Ｎ∨～Ｇ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） Ｎ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｎ ウＤＮ
オ（オ） ～Ｇ Ａ
オ（カ） ～Ｎ∨～Ｇ オ＆Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｎ∨～Ｇ）＆
（～Ｎ∨～Ｇ） ８カ＆Ｉ
８ （ク） Ｇ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｎ＆ Ｇ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｎ＆ Ｇ）＆
（Ｎ＆ Ｇ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ） （～Ｎ∨～Ｇ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｎ∨～Ｇ サＤＮ
（ⅳ）
１ （１） ～Ｎ∨～Ｇ Ａ
２ （２） Ｎ＆ Ｇ Ａ
３ （３） ～Ｎ Ａ
２ （４） Ｎ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｎ＆Ｎ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｎ＆ Ｇ） ２５ＲＡＡ
７ （７） ～Ｇ Ａ
２ （８） Ｇ ２＆Ｅ
２ ７ （９） ～Ｇ＆ Ｇ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（Ｎ＆ Ｇ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｎ＆ Ｇ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｎ Ａ
エ（エ） Ｇ Ａ
ウエ（オ） Ｎ＆ Ｇ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ） ～（Ｎ＆ Ｇ）＆
（Ｎ＆ Ｇ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～Ｇ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） ～Ｇ キＤＮ
１ （ケ） Ｎ→～Ｇ ウクＣＮ
従って、
（12）により、
（13）
③ Ｎ→～Ｇ≡「日本人であるならば、外国人でない。」
④ ～Ｎ∨～Ｇ≡「日本人でないか、 外国人でない。」
に於いて、
③＝④ である（含意の定義）。
然るに、
（14）
④ ～Ｎ∨～Ｇ
に於いて、
Ｎ＝～Ｎ
Ｇ＝～Ｄ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
④ ～～Ｎ∨～～Ｄ
であるため、「二重否定（ＤＮ）」により、
④ Ｎ∨Ｄ
である。
然るに、
（06）（07）（08）により、
（15）
④ Ｎ∨Ｄ
は、「弱選言」であって、「強選言」ではない。
従って、
（11）（15）により、
（16）
③ Ｎ→～Ｇ≡日本人であるならば、外国人ではなく（、外国人であるならば、日本人ではない）。
であるため、（08）により、
③ Ｎ→～Ｇ≡「強選言（Strong disjunction）」
であるやうに、思へないでも、ないものの、その一方で、
③ Ｎ→～Ｇ
④ ～Ｎ∨～Ｇ
に於いて、
③＝④ であるため、
③ Ｎ→～Ｇ≡「強選言（Strong disjunction）」
ではない。
然るに、
（17）
―「（本物の）強選言」の「証明」―
（ⅲ）
１ （１） ～（Ｎ⇔Ｇ） Ａ
１ （２）～｛（Ｎ→Ｇ）＆ （Ｇ→Ｎ）｝ １Ｄｆ.⇔
１ （３） ～（Ｎ→Ｇ）∨～（Ｇ→Ｎ） ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～（Ｎ→Ｇ） Ａ
４ （５）～（～Ｎ∨Ｇ） ４含意の定義
４ （６） Ｎ＆～Ｇ ５ド・モルガンの法則
４ （７） （Ｎ＆～Ｇ）∨（Ｇ＆～Ｎ） ６∨Ｉ
８（８） ～（Ｇ→Ｎ） Ａ
８（９） ～（～Ｇ∨Ｎ） ８含意の定義
８（ア） Ｇ∨～Ｎ ８ド・モルガンの法則
８（イ） （Ｎ＆～Ｇ）∨（Ｇ＆～Ｎ） ア∨Ｉ
１ （ウ） （Ｎ＆～Ｇ）∨（Ｇ＆～Ｎ） １４７８イ∨Ｅ
（ⅳ）
１ （１） （Ｎ＆～Ｇ）∨（Ｇ＆～Ｎ） Ａ
２ （２） （Ｎ＆～Ｇ） Ａ
２ （３）～（～Ｎ∨Ｇ） ２ド・モルガンの法則
２ （４） ～（Ｎ→Ｇ） ３含意の定義
２ （５） ～（Ｎ→Ｇ）∨～（Ｇ→Ｎ） ４∨Ｉ
６（６） （Ｇ＆～Ｎ） Ａ
６（７） ～（～Ｇ∨Ｎ） ７ド・モルガンの法則
６（８） ～（Ｇ→Ｎ） ７含意の定義
６（９） ～（Ｎ→Ｇ）∨～（Ｇ→Ｎ） ８∨Ｉ
１ （ア） ～（Ｎ→Ｇ）∨～（Ｇ→Ｎ） １２５６９∨Ｅ
１ （イ）～｛（Ｎ→Ｇ）＆ （Ｇ→Ｎ）｝ ア、ド・モルガンの法則
１ （ウ） ～（Ｎ⇔Ｇ） イＤｆ.⇔
従って、
（17）により、
（18）
③ ～（Ｎ⇔Ｇ）
④ （Ｎ＆～Ｇ）∨（Ｇ＆～Ｎ）
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（19）
④（Ｎ＆～Ｇ）≡「日本人であって、外国人ではない。」
⑤（Ｇ＆～Ｎ）≡「外国人であって、日本人ではない。」
であるならば、
④＆⑤ は、「矛盾（Contradiction）」であるため、
④と⑤ は、「同時には、真になれない。」
従って、 （19）により、
（20）
④（Ｎ＆～Ｇ）≡「日本人であって、外国人ではない。」
⑤（Ｇ＆～Ｎ）≡「外国人であって、日本人ではない。」
に於いて、
④ ならば、⑤ ではなく、
⑤ ならば、④ ではない。
従って、
（08）（18）（19）（20）により、
（21）
③ ～（Ｎ⇔Ｇ）
④ （Ｎ＆～Ｇ）∨（Ｇ＆～Ｎ）
に於いて、
③＝④ であって、尚且つ、
③ ～（Ｎ⇔Ｇ）≡日本人であるならば、外国人ではなく（、外国人であるならば、日本人ではない）。
である。
従って、
（16）（21）により、
（22）
③ （Ｎ→～Ｇ）≡日本人であるならば、外国人ではなく（、外国人であるならば、日本人ではない）。
③ ～（Ｎ⇔Ｇ）≡日本人であるならば、外国人ではなく（、外国人であるならば、日本人ではない）。
に於いて、
「前者」は、「（偽物の）強選言」であって、
「後者」が、「（本物の）強選言」である。