（718）「線形論理（Linear logic）」って「何」ですか？

（01）
（ⅰ）
１　（１）（Ａ→Ｂ）＆（Ａ→Ｃ）　仮定
　２（２）　Ａ　　　　　　　　　　仮定
１　（３）　Ａ→Ｂ　　　　　　　　１＆Ｅ
１２（４）　　　Ｂ　　　　　　　　２３ＭＰＰ
　２（５）　　　　　　　Ａ→Ｃ　　１＆Ｅ
１２（６）　　　　　　　　　Ｃ　　２５ＭＰＰ
１２（７）　　　Ｂ＆Ｃ　　　　　　４６＆Ｉ
１　（８）　Ａ→Ｂ＆Ｃ　　　　　　２７ＣＰ
（ⅱ）
１　　 　　 （１）Ａ→～（Ｂ⇔Ｃ）　　　　　　　　　仮定
　２　　 　 （２）Ａ　　　　　　　　　　　　　　　　仮定
１２　　 　 （３）　　～（Ｂ⇔Ｃ）　　　　　　　　　１２ＭＰＰ
１２　　 　 （４）　～｛（Ｂ→Ｃ）＆　（Ｃ→Ｂ）｝　３Ｄｆ.⇔
１２　　 　 （５）　　～（Ｂ→Ｃ）∨～（Ｃ→Ｂ）　　４ド・モルガンの法則
１２　　　　（６）　　　（Ｂ→Ｃ）→～（Ｃ→Ｂ）　　５含意の定義
　　３　　　（７）　　　（Ｂ→Ｃ）　　　　　　　　　Ａ
１２３　　　（８）　　　　　　　　　～（Ｃ→Ｂ）　　６７ＭＰＰ
１２３　　　（９）　　　　　　　　～（～Ｃ∨Ｂ）　　８含意の定義
１２３　　　（ア）　　　　　　　　　（Ｃ＆～Ｂ）　　９ド・モルガンの法則
１２　　　　（イ）　　　（Ｂ→Ｃ）→（Ｃ＆～Ｂ）　　３アＣＰ
１　　　　　（ウ）Ａ→｛（Ｂ→Ｃ）→（Ｃ＆～Ｂ）｝　２イＣＰ
　　　エ　　（エ）Ａ＆　（Ｂ→Ｃ）　　　　　　　　　仮定
　　　エ　　（オ）Ａ　　　　　　　　　　　　　　　　エ＆Ｅ
１　　エ　　（カ）　　　（Ｂ→Ｃ）→（Ｃ＆～Ｂ）　　ウオＭＰＰ
　　　エ　　（キ）　　　（Ｂ→Ｃ）　　　　　　　　　エ＆Ｅ
１　　エ　　（ク）　　　　　　　　　（Ｃ＆～Ｂ）　　カキＭＰＰ
１　　　　　（ケ）Ａ＆　（Ｂ→Ｃ）→（Ｃ＆～Ｂ）　　エクＣＰ
　　　　コ　（コ）Ａ＆（Ｃ∨～Ｂ）　　　　　　　　　仮定
　　　　コ　（サ）Ａ　　　　　　　　　　　　　　　　コ＆Ｅ
　　　　コ　（シ）　　（Ｃ∨～Ｂ）　　　　　　　　　コ＆Ｅ
　　　　コ　（ス）　　（～Ｂ∨Ｃ）　　　　　　　　　シ交換法則
　　　　コ　（セ）　　　（Ｂ→Ｃ）　　　　　　　　　ス含意の定義
　　　　コ　（ソ）Ａ＆　（Ｂ→Ｃ）　　　　　　　　　サセ＆Ｉ
１　　　コ　（タ）　　　　　　　　　（Ｃ＆～Ｂ）　　ケソＭＰＰ
１　　　　　（チ）Ａ＆（Ｃ∨～Ｂ）→（Ｃ＆～Ｂ）　　コタＣＰ
　　　　　ツ（ツ）Ａ＆　Ｃ　　　　　　　　　　　　　仮定
　　　　　ツ（テ）Ａ　　　　　　　　　　　　　　　　ツ＆Ｅ
　　　　　ツ（ト）　　　Ｃ　　　　　　　　　　　　　ツ＆Ｅ
　　　　　ツ（ナ）　　　Ｃ∨～Ｂ　　　　　　　　　　ト∨Ｉ
　　　　　ツ（ニ）Ａ＆（Ｃ∨～Ｂ）　　　　　　　　　テナ＆Ｉ
１　　　　ツ（ヌ）　　　　　　　　　（Ｃ＆～Ｂ）　　チニＭＰＰ
１　　　　　（ネ）　　　（Ａ＆Ｃ）→（Ｃ＆～Ｂ）　　ツヌＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
①（Ａ→Ｂ）＆（Ａ→Ｃ）├ Ａ→Ｂ＆Ｃ
②　　  Ａ→～（Ｂ⇔Ｃ）├ Ａ＆Ｃ→Ｃ＆～Ｂ
といふ「連式（Sequents）」は、両方とも、「妥当（valid）」である。
従って、
（02）により、
（03）
①（ＡならばＢであり）、尚且つ、（ＡならばＣである）。従って、Ａならば、ＢであってＣである。
②  Ａならば、（ＢとＣが、同時に、真である）ことない。従って、ＡであってＣであるならば、Ｃではあるが、Ｂではない。
といふ「推論」は、「妥当（valid）」である。
従って、
（03）により、
（04）
Ａ＝１００円をもっている。
Ｂ＝缶コーヒーが買える。
Ｃ＝缶ジュースが買える、
とするならば、
①（１００円あれば、缶コーヒーが買え）、尚且つ、（１００円あれば、缶ジュースが買える）。　従って、１００円あれば、缶コーヒーと缶ジュースが買える。
②　１００円あれば、（一度に、缶コーヒーと、缶ジュースの両方が買える）というわけではない。１００円で、缶ジュースを買うならば、缶ジュースは買えるが、缶コーヒーは買えない。
といふ「推論」は、「妥当（valid）」である。
然るに、
（05）
1980年代後半に見出されて脚光を浴びた新しい論理体系に 「線形論理」がある。線形論理の大きな特徴は「資源」の概念を扱えるという点にある。このことを説明するために しばしば次のような例え話が引き合いに出される。100円の缶コーヒーと100円の缶ジュースが買える自動販売機があるとする。 「100円をもっている」という命題をＡ、「缶コーヒーが買える」 という命題をＢ、「缶ジュースが買える」という命題をＣとすると、この状況は「Ａ→Ｂ」および「Ａ→Ｃ」となる。古典論理では これから「Ａ→Ｂ＆Ｃ」が導かれるが、これは「100円あれば 缶コーヒーと缶ジュースが両方買える」という意味になり、 明らかに経済概念に合わない。本当は「100円あれば 缶コーヒーと缶ジュースのどちらか一方のみが買える」とか 「100円玉が2枚あれば缶コーヒーと缶ジュースが買える」 という命題が出て来てほしい。線形論理ではこのような状況が 正しく記述できるのである。このような例を敷延すれば、 計算機やネットワーク上で複数のプログラム（プロセス）が 共有資源にアクセスするような状況も同様であり、実際に、 そのような状況を線形論理で扱うような研究も行われている（I. 記号論理学とは何か）。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
『この状況は「Ａ→Ｂ」および「Ａ→Ｃ」となる。古典論理では これから「Ａ→Ｂ＆Ｃ」が導かれるが、これは「100円あれば 缶コーヒーと缶ジュースが両方買える」という意味になり、 明らかに経済概念に合わない。』とは言ふものの、
①（Ａ→Ｂ）＆（Ａ→Ｃ）├ Ａ→Ｂ＆Ｃ
では困る。といふのであれば、ただ単に、
②　Ａ→～（Ｂ⇔Ｃ）├ Ａ＆Ｃ→Ｃ＆～Ｂ
といふ風に、書けば良い。といふことに、過ぎない。
従って、
（05）（06）により、
（07）
私としては、「100円の缶コーヒーと100円の缶ジュースが買える自動販売機があるとする。」といふ「以外の例」を、知りたい。
と、思ってゐる。