（01）
① ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
② ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、
① ある人は、すべての人を愛してゐる（能動形）。
② すべての人はある人によって、愛されてゐる（受動形）。
といふ風に、読むことが出来る。
然るに、
（02）
① ある人Ａが、すべての人を愛してゐる。
とするならば、
② すべての人は、ある人Ａによって、愛されてゐる。
然るに、
（03）
② すべての人が、ある人Ａと、ある人Ｂの内の、どちらかによって愛されてゐる。
とするならば、
② すべての人がある人によって、愛されてゐる。
としても、
① ある人Ａが、すべての人を愛してゐる。
とは、限らない。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
② ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」が、さうであるやうに、
① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）
② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）
といふ「述語論理式」に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。とは、限らない。
従って、
然るに、
（05）
なるほどつぎのことは証明できる。
１２２ ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）├ ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）
１ （１）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） Ａ
２（２） ∀ｙ（Ｆａｙ） Ａ
２（３） Ｆａｂ ２ＵＥ
２（４） ∃ｘ（Ｆｘｂ） ３ＥＩ
２（５）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） ４ＵＩ
１ （６）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） １２５ＥＥ
（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１６５・１６６頁）
然るに、
（06）
たとえば、
１ （１）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） Ａ
１ （２） ∃ｘ（Ｆｘｂ） １ＵＥ
３（３） Ｆａｂ Ａ
３（４） ∀ｙ（Ｆａｙ） ３ＵＩ
３（５）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） ３ＥＩ
１ （６）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） ２３５ＥＥ
ただ一つび誤った段階は（４）のそれである。（３）は「ｂ」を含み、その結果 ＵＩ の制限が破られている点に誤りがある。
（Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１６６頁改）
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
いづれにせよ、
① ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）
② ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
が、さうであるやうに、
① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）
② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。とは、限らない。
然るに、
（08）
①｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、３つの対象から成る世界を取り扱っていると仮定すると、
① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） といふ『連言の、選言』は、
（ⅰ） Ｆ（ｘａ）＆Ｆ（ｘｂ）＆Ｆ（ｘｃ）
（ⅱ）｛Ｆ（ｘａ）＆Ｆ（ｘｂ）＆Ｆ（ｘｃ）｝∨｛Ｆ（ｘａ）＆Ｆ（ｘｂ）＆Ｆ（ｘｃ）｝∨｛Ｆ（ｘａ）＆Ｆ（ｘｂ）＆Ｆ（ｘｃ）｝
（ⅲ）｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝∨｛Ｆ（ｂａ）＆Ｆ（ｂｂ）＆Ｆ（ｂｃ）｝∨｛Ｆ（ｃａ）＆Ｆ（ｃｂ）＆Ｆ（ｃｃ）｝
といふ「手順」で、「展開」出来る。
（09）
②｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、３つの対象から成る世界を取り扱っていると仮定すると、
② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） といふ『選言の、連言』は、
（ⅰ） Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨Ｆ（ｃｘ）
（ⅱ）｛Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨Ｆ（ｃｘ）｝＆｛Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨Ｆ（ｃｘ）｝＆｛Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨Ｆ（ｃｘ）｝
（ⅲ）｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝＆｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝＆｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝
といふ「手順」で、「展開」出来る。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）≡｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝∨｛Ｆ（ｂａ）＆Ｆ（ｂｂ）＆Ｆ（ｂｃ）｝∨｛Ｆ（ｃａ）＆Ｆ（ｃｂ）＆Ｆ（ｃｃ）｝
② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）≡｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝＆｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝＆｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。とは、限らない。
然るに、
（01）（10）により、
（11）
１ （１）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） Ａ
２（２） ∀ｙ（Ｆａｙ） Ａ
２（３） Ｆａｂ ２ＵＥ
２（４） ∃ｘ（Ｆｘｂ） ３ＥＩ
２（５）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） ４ＵＩ
１ （６）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） １２５ＥＥ
といふ「計算」は、「（12）～（16）」のやうな、「プロセス」であると、見做すことが、出来る。
（12）
① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）≡｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝∨｛Ｆ（ｂａ）＆Ｆ（ｂｂ）＆Ｆ（ｂｃ）｝∨｛Ｆ（ｃａ）＆Ｆ（ｃｂ）＆Ｆ（ｃｃ）｝
に於いて、例へば、
①｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝ が「真」であるならば、
① Ｆ（ａａ） は「真」であり、 ① Ｆ（ａｂ） も「真」であり、 ① Ｆ（ａｃ） も「真」である。
然るに、
（13）
① Ｆ（ａａ） は「真」であり、 ① Ｆ（ａｂ） も「真」であり、 ① Ｆ（ａｃ） も「真」である。ならば、
①｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝ は「真」であり、
①｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝ も「真」であり、
①｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝ も「真」である。
然るに、
（14）
①｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝ は「真」であり、
①｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝ も「真」であり、
①｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝ も「真」である。ならば、
②｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝＆｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝＆｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝ は「真」である。
然るに、
（15）
①｛Ｆ（ｂａ）＆Ｆ（ｂｂ）＆Ｆ（ｂｃ）｝ が「真」であるとしても、
①｛Ｆ（ｃａ）＆Ｆ（ｃｂ）＆Ｆ（ｃｃ）｝ が「真」であるとしても、「結論（14）」は、「変はらない」。
従って、
（10）～（15）により、
（16）
① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）≡｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝∨｛Ｆ（ｂａ）＆Ｆ（ｂｂ）＆Ｆ（ｂｃ）｝∨｛Ｆ（ｃａ）＆Ｆ（ｃｂ）＆Ｆ（ｃｃ）｝
② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）≡｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝＆｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝＆｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（06）により、
（17）
１ （１）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） Ａ
１ （２） ∃ｘ（Ｆｘｂ） １ＵＥ
３（３） Ｆａｂ Ａ
３（４） ∀ｙ（Ｆａｙ） ３ＵＩ
３（５）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） ３ＥＩ
１ （６）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） ２３５ＥＥ
といふ「間違った計算」の、
１ （１）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） Ａ
１ （２） ∃ｘ（Ｆｘｂ） １ＵＥ
３（３） Ｆａｂ Ａ
３（４） ∀ｙ（Ｆａｙ） ３ＵＩ
といふ「４行」は、
（１） Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝＆｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝＆｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝
（２）｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝
（３） Ｆ（ａｂ）
（４）｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝
といふ「４行」に、「相当」する。
従って、
（17）により、
（18）
（２）｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝
（３） Ｆ（ａｂ）
（４）｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝
の場合は、「結果」として、
（２）｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝
といふ「前提（premise）」を、
（４）｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝
といふ風に、「書き換へ」てゐるが、固より、
（２）と（４）は、「同じ」ではない。
従って、
（06）（17）（18）により、
（19）
（２）｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝
（３） Ｆ（ａｂ）
（４）｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝
に「相当」する所の、
１ （２） ∃ｘ（Ｆｘｂ） １ＵＥ
３（３） Ｆａｂ Ａ
３（４） ∀ｙ（Ｆａｙ） ３ＵＩ
といふ「計算」が、「マチガイ」である。といふことは、『明白』である。
従って、
（06）（17）～（19）により、
（20）
１ （１）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） Ａ
１ （２） ∃ｘ（Ｆｘｂ） １ＵＥ
３（３） Ｆａｂ Ａ
３（４） ∀ｙ（Ｆａｙ） ３ＵＩ
３（５）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） ３ＥＩ
１ （６）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） ２３５ＥＥ
といふ「間違った計算」は、
① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）≡｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝∨｛Ｆ（ｂａ）＆Ｆ（ｂｂ）＆Ｆ（ｂｃ）｝∨｛Ｆ（ｃａ）＆Ｆ（ｃｂ）＆Ｆ（ｃｃ）｝
② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）≡｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝＆｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝＆｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝
といふ「等式」の、
①｛Ｆ（ａａ）＆Ｆ（ａｂ）＆Ｆ（ａｃ）｝∨｛Ｆ（ｂａ）＆Ｆ（ｂｂ）＆Ｆ（ｂｃ）｝∨｛Ｆ（ｃａ）＆Ｆ（ｃｂ）＆Ｆ（ｃｃ）｝
②｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝＆｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝＆｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝
といふ「右辺」を見ることによって、「それがマチガイである。」といふことが、『明白』になる。
（21）
③｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、３つの対象から成る世界を取り扱っていると仮定すると、
③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ） といふ『選言の、選言』は、
（ⅰ） Ｆ（ｘａ）∨Ｆ（ｘｂ）∨Ｆ（ｘｃ）
（ⅱ）｛Ｆ（ｘａ）∨Ｆ（ｘｂ）∨Ｆ（ｘｃ）｝∨｛Ｆ（ｘａ）∨Ｆ（ｘｂ）∨Ｆ（ｘｃ）｝∨｛Ｆ（ｘａ）∨Ｆ（ｘｂ）∨Ｆ（ｘｃ）｝（
（ⅲ）｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ａｃ）｝∨｛Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｂｃ）｝∨｛Ｆ（ｃａ）∨Ｆ（ｃｂ）∨Ｆ（ｃｃ）｝（
といふ「手順」で、「展開」出来る。
（22）
④｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、３つの対象から成る世界を取り扱っていると仮定すると、
④ ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） といふ『選言の、選言』は、
（ⅰ） Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨Ｆ（ｃｘ）
（ⅱ）｛Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨Ｆ（ｃｘ）｝∨｛Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨Ｆ（ｃｘ）｝∨｛Ｆ（ａｘ）∨Ｆ（ｂｘ）∨Ｆ（ｃｘ）｝
（ⅲ）｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝∨｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝∨｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝
といふ「手順」で、「展開」出来る。
然るに、
（21）（22）により、
（23）
「結合法則」と「交換法則」により、
③｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ａｃ）｝∨｛Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｂｃ）｝∨｛Ｆ（ｃａ）∨Ｆ（ｃｂ）∨Ｆ（ｃｃ）｝
④｛Ｆ（ａａ）∨Ｆ（ｂａ）∨Ｆ（ｃａ）｝∨｛Ｆ（ａｂ）∨Ｆ（ｂｂ）∨Ｆ（ｃｂ）｝∨｛Ｆ（ａｃ）∨Ｆ（ｂｃ）∨Ｆ（ｃｃ）｝
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（24）
③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）
④ ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）
③ Ｆ＝愛す。
④ Ｆ＝愛す。
であるならば、
③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）≡ある人は、ある人を愛す。
④ ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）≡ある人は、ある人によって、愛される。
に於いて、
③ と ④ は、「同じこと」である。
従って、
（23）（24）により、
（25）
③ ∃ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
④ ∃ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」がさうであるやうに、
③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）
④ ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）
といふ「述語論理式」に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。
従って、
（04）（25）により、
（26）
① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）
② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）
③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘｙ）
④ ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）
に於いて、
①＝② ではないが、
③＝④ である。