（01）
―「含意の定義」の「証明」。―
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
１２ （イ） （～Ｐ∨Ｑ） ２ア＆Ｉ
１ （ウ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２イＲＡＡ
１ （エ） ～Ｐ∨Ｑ ウＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② は、「含意の定義」である。
然るに、
（03）
（ⅲ）
１（１）～Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１（３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
（ⅳ）
１（１） Ｑ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１（３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
従って、
（03）により、
（04）
「含意の定義」により、
① ～Ｐ├ Ｐ→Ｑ
② Ｑ├ Ｐ→Ｑ
といふ「連式（Sequents）」は、２つとも「妥当（Valid）」である。
従って、
（04）により、
（05）
① ～Ｐ├ Ｐ→Ｑ
② Ｑ├ Ｐ→Ｑ
といふ「連式（Sequents）」、すなはち、
① Ｐでないので、ＰならばＱである。
② Ｑであるので、ＰならばＱである。
といふ「推論」は、２つとも「妥当（Valid）」である。
然るに、
（06）
① ～Ｐ├ Ｐ→Ｑ
であるならば、すなはち、
① Ｐではないが、 ＰならばＱである。
といふのであれば、
① Ｑであるか、Ｑでないかは、「不明」である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
① ～Ｐ├ Ｐ→Ｑ
であるならば、すなはち、
① Ｐが「偽」であるならば、
① Ｑは「真」であって、「偽」であっても、「どちらでも良い」。
従って、
（07）により、
（08）
（ⅰ）偽→真
（〃）偽→偽
は、両方とも、「真」である。
然るに、
（09）
② Ｑ├ Ｐ→Ｑ
であるならば、すなはち、
② Ｑであるが、ＰならばＱである。
といふのであれば、
② Ｐが「真」であらうと、「偽」であらうと、いづれにせよ、
② Ｑは「真」である。
従って、
（09）により、
（10）
（ⅱ）真→真
（〃）偽→真
は、両方とも、「真」である。
従って、
（08）（10）により、
（11）
（ⅰ）偽→真
（〃）偽→偽
（ⅱ）真→真
（〃）偽→真
といふ「４通り」は、４つとも「真」である。
然るに、
（11）により、
（12）
（ⅰ）偽→真
（〃）偽→偽
（ⅱ）真→真
（〃）偽→真
に於いて、
（ⅰ）偽→真：１段目
（〃）偽→真：４段目
は、「同じ」である。
従って、
（11）（12）により、
（13）
「番号」を付け直すと、
（ⅰ）偽→真
（ⅱ）偽→偽
（ⅲ）真→真
といふ「３通り」は、３つとも「真」である。
従って、
（13）により、
（14）
（ⅰ）偽→真
（ⅱ）偽→偽
（ⅲ）真→真
（ⅳ）真→偽
に於いて、「偽」になり得るのは、唯一、
（ⅳ）真→偽
だけである。
然るに、
（02）により、
（15）
「含意の定義」により、
（ⅰ）偽→真
（ⅱ）偽→偽
（ⅲ）真→真
（ⅳ）真→偽
といふ「含意」は、「順番」に、
（ⅰ）～偽∨真
（ⅱ）～偽∨偽
（ⅲ）～真∨真
（ⅳ）～真∨偽
といふ「選言」に、「等しく」、さらには、
（ⅰ） 真∨真
（ⅱ） 真∨偽
（ⅲ） 偽∨真
（ⅳ） 偽∨偽
といふ「選言」に、「等しい」。
然るに、
（16）
「真理表（Truth table）」により、
（ⅰ） 真∨真
（ⅱ） 真∨偽
（ⅲ） 偽∨真
（ⅳ） 偽∨偽
といふ「選言」は、唯一、
（ⅳ） 偽∨偽
だけが「偽」である。
従って、
（14）（15）（16）により、
（17）
（ⅰ）偽→真
（ⅱ）偽→偽
（ⅲ）真→真
（ⅳ）真→偽
に於いて、
（ⅳ）真→偽
だけが「偽」である。
従って、
（17）により、
（18）
『古典論理において「含意（αならばβ）」は「α→β」と表し、その意味は「αが真でありβば偽であるときに限り偽」である（大窪徳行・
田畑博俊、論理学の方法、1994年、１９０頁）。』といふことなり、このやうな「含意」を、「質量含意（material implication）」といふ。
従って、
（18）により、
（19）
（ⅰ）四角形の内角の和が１８０度ならば、太陽は東から昇る。
（ⅱ）四角形の内角の和が１８０度ならば、太陽は西から昇る。
の場合は、
（ⅰ）偽→真
（ⅱ）偽→偽
であるが故に、両方とも、「（質料含意として）真」である。
然るに、
（20）
（ⅰ）悪天候なので、外出しない。
（ⅱ）悪天候であっても、外出する。
に於いて、
（ⅰ）と（ⅱ）は「矛盾」する。
従って、
（20）により、
（21）
（ⅰ）悪天候なので、外出しない。
（ⅱ）悪天候であっても、外出する。
に於いて、
（ⅰ）が「真（本当）」であるならば、
（ⅱ）は「偽（ウソ）」である。
然るに、
（22）
（ⅱ）悪天候であっても、外出する。
（ⅲ）悪天候ならば、外出しない。
に於いて、
（ⅱ）が「偽」である。
といふことは、
（ⅲ）が「真」である。
といふことである。
従って、
（20）（21）（22）により、
（23）
「番号」を付け直すと、
（ⅰ）悪天候なので、家に居る。
（ⅱ）悪天候ならば、家に居る。
に於いて、
（ⅰ）ならば、（ⅱ）である。
然るに、
（24）
（ⅰ）悪天候なので、家に居る。
といふのであれば、
（ⅰ）悪天候である。
といふことが、
（ⅰ）家に居る。
といふことの、「理由」になってゐる。
従って、
（23）（24）により、
（25）
（ⅱ）悪天候ならば、家に居る。
といふのであれば、
（ⅱ）悪天候である。
といふことが、
（ⅱ）家に居る。
といふことの、「理由」になって、ゐなければ、ならない。
然るに、
（26）
（ⅰ）四角形の内角の和が１８０度なので、太陽は東から昇る。
といふ風に、思ってゐる人間は、普通に考へれば、「一人もゐない」。
従って、
（19）（25）（26）により、
（27）
（ⅱ）悪天候ならば、家に居る。
といふ「日常言語の含意」に対して、
（ⅱ）四角形の内角の和が１８０度ならば、太陽は西から昇る。
のやうな「質量含意」は、「非常識」であると、言はざるを得ない。
然るに、
（28）
例へば、
① 選挙の勝利者は（トランプか、または、バイデンである）。
②（選挙の勝利者はトランプか）、または、（選挙の勝利者はバイデンである）。
といふ「命題」に於いて、
①＝② である。
といふことは、「当然」である。
然るに、
（29）
Ｓ＝選挙の勝利者である。
Ｔ＝トランプである。
Ｂ＝バイデンである。
とするならば、
① 選挙の勝利者は（トランプか、または、バイデンである）。
②（選挙の勝利者はトランプか）、または、（選挙の勝利者はバイデンである）。
といふ「命題」は、
① Ｓ→（Ｔ∨Ｂ）
②（Ｓ→Ｔ）∨（Ｓ→Ｂ）
といふ「命題論理式」で、表すことが、出来る。
然るに、
（30）
（ⅰ）
１ （１） Ｓ→（Ｔ∨Ｂ） Ａ
１ （２）～Ｓ∨（Ｔ∨Ｂ） １含意の定義
３ （３）～Ｓ Ａ
３ （４）～Ｓ∨Ｔ ３∨Ｉ
３ （５） Ｓ→Ｔ ４含意の定義
３ （６）（Ｓ→Ｔ）∨（Ｓ→Ｂ） ５∨Ｉ
７ （７） Ｔ∨Ｂ Ａ
８ （８） Ｔ Ａ
８ （９） ～Ｓ∨Ｔ ８∨Ｉ
８ （ア）（Ｓ→Ｔ） ９含意の定義
８ （イ）（Ｓ→Ｔ）∨（Ｓ→Ｂ） ア∨Ｉ
ウ（ウ） Ｂ Ａ
ウ（エ） ～Ｓ∨Ｂ ウ∨Ｉ
ウ（オ） Ｓ→Ｂ エ含意の定義
ウ（カ）（Ｓ→Ｔ）∨（Ｓ→Ｂ） オ∨Ｉ
７ （キ）（Ｓ→Ｔ）∨（Ｓ→Ｂ） ７８イウカ∨Ｅ
１ （ク）（Ｓ→Ｔ）∨（Ｓ→Ｂ） ２３６７キ∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）（Ｓ→Ｔ）∨（Ｓ→Ｂ） Ａ
２ （２） Ｓ Ａ
３ （３） Ｓ→Ｔ Ａ
２３ （４） Ｔ ２３ＭＰＰ
２３ （５） Ｔ∨Ｂ ４∨Ｉ
６（６） Ｓ→Ｂ Ａ
２ ６（７） Ｂ ２６ＭＰＰ
２ ６（８） Ｔ∨Ｂ ７∨Ｉ
１２ （９） Ｔ∨Ｂ １３５６８∨Ｅ
１ （ア） Ｓ→（Ｔ∨Ｂ） ２９ＣＰ
従って、
（29）（30）により、
（31）
① Ｓ→（Ｔ∨Ｂ）
②（Ｓ→Ｔ）∨（Ｓ→Ｂ）
に於いて、すなはち、
① 選挙の勝利者ならば（トランプであるか、 または、バイデンである）。
②（選挙の勝利者ならば、トランプであるか）、または、（選挙の勝利者ならば、トランプである）。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（30）（31）により、
（32）
「含意の定義」が無ければ、
① 選挙の勝利者は（トランプであるか、または、バイデンである）。
②（選挙の勝利者はトランプであるか）、または、（選挙の勝利者はバイデンである）。
に於いて、
①＝② である。
といふことを、「証明」することは、出来ない。
従って、
（18）（27）（32）により、
（33）
例へば、
（ⅱ）四角形の内角の和が１８０度ならば、太陽は西から昇る。
といふ「命題」を、「真」にせ使むる所の、「含意の定義」は、「非常識」であると、言はざるを得ないが、その一方で、
「古典命題論理」に於いては、「含意の定義」が無ければ、
例へば、
① 選挙の勝利者は（トランプであるか、または、バイデンである）。
②（選挙の勝利者はトランプであるか）、または、（選挙の勝利者はバイデンである）。
に於いて、
①＝② である。
といふことを、「証明」することは、出来ない。
（01）
―「含意の定義」の「証明」。―
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
１２ （イ） （～Ｐ∨Ｑ） ２ア＆Ｉ
１ （ウ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２イＲＡＡ
１ （エ） ～Ｐ∨Ｑ ウＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② は、「含意の定義」である。
従って、
（02）により、
（03）
① ～Ｐ→Ｑ
② ～～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② は、「含意の定義」である。
従って、
（03）により、
（04）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ～Ｐ→Ｑ
② Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② は、「含意の定義」である。
従って、
（04）により、
（05）
１ （１） Ｐ∨Ｑ Ａ
１ （２）～Ｐ→Ｑ １含意の定義
２（３）～Ｐ Ａ
１２（４） Ｑ ２３ＭＰＰ
といふ「推論」は、「妥当（Valid）」である。
従って、
（05）により、
（06）
② Ｐ∨Ｑ，～Ｐ├ Ｑ
といふ「連式（Sequent）」、すなはち、
② ＰかＱであるが、Ｐではないので、Ｑである。
といふ「推論（選言三段論法）」は、「妥当」である。
然るに、
（07）
１ （１） Ｐ∨Ｑ Ａ
１ （２） Ｑ∨Ｐ １交換法則
１ （３）～Ｑ→Ｐ １含意の定義
２（３）～Ｑ Ａ
１２（４） Ｐ ２３ＭＰＰ
といふ「推論」は、「妥当（Valid）」である。
従って、
（07）により、
（08）
② Ｐ∨Ｑ，～Ｑ├ Ｐ
といふ「連式（Sequent）」、すなはち、
② ＰかＱであるが、Ｑではないので、Ｐである。
といふ「推論（選言三段論法）」は、「妥当」である。
然るに、
（09）
② ＰかＱであるが、Ｐではないので、Ｑである。
といふ「言ひ方」が、「妥当」であるならば、
③ Ｐでないので、（ＰかＱである。）といふことは、（Ｑである。）といふことに、等しい。
といふ「言ひ方」も、「妥当」でなければ、ならない。
従って、
（08）（09）により、
（10）
② Ｐ∨Ｑ，～Ｐ├ Ｑ
といふ「連式（Sequent）」だけでなく、
③ ～Ｐ├ Ｐ∨Ｑ⇔Ｑ
といふ「連式（Sequent）」も、「妥当」でなければ、ならない。
然るに、
（11）
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ∨Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４）～～Ｐ ３ＤＮ
３ （５）～～Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
３ （６） ～Ｐ→Ｑ ５含意の定義
１ ３ （７） Ｑ １６ＭＰＰ
８ （８） Ｑ Ａ
８ （９）～～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
８ （ア） ～Ｐ→Ｑ ９含意の定義
１ ８ （イ） Ｑ １アＭＰＰ
１２ （ウ） Ｑ ２３７８イ∨Ｅ
１ （エ）Ｐ∨Ｑ→Ｑ ２ウＣＰ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ）Ｐ∨Ｑ Ｑ∨Ｉ
（キ）Ｑ→Ｐ∨Ｑ オカＣＰ
１ （ク）Ｐ∨Ｑ→Ｑ＆
Ｑ→Ｐ∨Ｑ エキ＆Ｉ
１ （ケ）Ｐ∨Ｑ⇔Ｑ クＤｆ.⇔
従って、
（11）により、
（12）
果たして、
③ ～Ｐ├ Ｐ∨Ｑ⇔Ｑ
といふ「連式（Sequent）」は、「妥当」である。
然るに、
（13）
③ ～Ｐ├ Ｐ∨Ｑ⇔Ｑ
の於いて、
③ Ｐ＝Ｑ
③ Ｑ＝Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
④ ～Ｑ├ Ｑ∨Ｐ⇔Ｐ
然るに、
（14）
「交換法則」により、
③ Ｑ∨Ｐ は、
④ Ｐ∨Ｑ に、「等しい」。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
③ ～Ｐ├ Ｐ∨Ｑ⇔Ｑ
④ ～Ｑ├ Ｐ∨Ｑ⇔Ｐ
といふ「連式（Sequents）」は、「妥当」である。
従って、
（06）（08）（12）（15）により、
（16）
① Ｐ∨Ｑ，～Ｐ├ Ｑ
② Ｐ∨Ｑ，～Ｑ├ Ｐ
③ ～Ｐ├ Ｐ∨Ｑ⇔Ｑ
④ ～Ｑ├ Ｐ∨Ｑ⇔Ｐ
といふ「連式（Sequents）」は、「妥当」である。
従って、
（16）により、
（17）
① ＰかＱであるが、Ｐではないので、Ｑである。
② ＰかＱであるが、Ｑではないので、Ｐである。
③ Ｐでないので、（ＰかＱである。）といふことは、（Ｑである。）といふことに、等しい。
④ Ｑでないので、（ＰかＱである。）といふことは、（Ｐである。）といふことに、等しい。
といふ「推論」は、４つとも、「妥当」である。
従って、
（17）により、
（18）
（ⅰ）（選挙で勝ったのは）共和党か民主党である。然るに、共和党ではない。従って、（選挙で勝ったのは）民主党である。
（ⅱ）（選挙で勝ったのは）共和党か民主党である。然るに、民主党ではない。従って、（選挙で勝ったのは）共和党である。
といふ「推論」は、２つとも、「妥当」である。
従って、
（18）により、
（19）
「推論の妥当性」は、「その事柄が、事実か、どうか」といふこととは、「一切、関係」がない。
従って、
（19）により、
（20）
（ⅰ）三角形の内角の和は３６０度であるか、選挙で勝ったのは共和党である。然るに、三角形の内角の和は３６０度ではない。従って、選挙で勝ったのは共和党である。
（ⅱ）選挙で勝ったのは民主党であるか、三角形の内角の和は３６０度である。然るに、三角形の内角の和は３６０度ではない。従って、選挙で勝ったのは民主党である。
といふ「推論」は、２つとも、「妥当」である。