（01）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ⇔∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
１ （３） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆
∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→象ａ ２Ｄｆ.⇔
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３＆Ｅ
１ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→象ａ ３＆Ｅ
６ （６） ～象ａ Ａ
１６ （７） ～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ６５ＭＴＴ
１６ （８） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７ド・モルガンの法則
１６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ８含意の定義
ア （ア） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
１６ア （イ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９アＭＰＰ
１６ア （ウ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） イ量化子の関係
エ （エ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
エ （オ） ～（鼻ｂａ∨～長ｂ） エ含意の定義
エ （カ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ オ、ド・モルガンの法則
エ （キ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） カＥＩ
１６ア （ク） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ウエキＥＥ
１６ （ケ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） アクＣＰ
１ （コ）～象ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ６ケＣＰ
サ（サ）～象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
サ（シ）～象ａ サ＆Ｅ
サ（ス） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） サ＆Ｅ
１ サ（セ） ［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ コシＭＰＰ
１ サ（ソ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） スセＭＰＰ
１ （タ） ～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） サソＣＰ
１ （チ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ４ＵＩ
１ （ツ）∀ｘ｛～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ タＵＩ
１ （テ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＆
１ ∀ｘ｛～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ チツ＆I
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＆
∀ｘ｛～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
１ （２）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １＆Ｅ
１ （３） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２ＵＥ
１ （４）∀ｘ｛～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ １＆Ｅ
１ （５） ～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ４ＵＥ
６ （６） ～象ａ Ａ
７ （７） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
６７ （８） ～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ６７＆I
１６７ （９） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ５８ＭＰＰ
ア （ア） ～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
ア （イ） ～（鼻ｂａ∨～長ｂ） ア、ド・モルガンの法則
ア （ウ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） イ含意の定義
ア （エ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ウＥＩ
１６７ （オ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９アエＥＥ
１６７ （カ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） オ量化子の関係
１６ （キ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７カＣＰ
１６ （ク） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） キ含意の定義
１６ （ケ） ～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ク、ド・モルガンの法則
１ （コ）～象ａ→～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ６ケＣＰ
サ（サ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
サ（シ） ～～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ サＤＮ
１ サ（ス）～～象ａ ケシＭＴＴ
１ サ（セ） 象ａ スＤＮ
１ （ソ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→象ａ サセＣＰ
１ （タ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆
∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→象ａ ソタ＆Ｅ
１ （チ） 象ａ⇔∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） タＤｆ．⇔
１ （テ）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ チＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＆∀ｘ｛～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、そのときに限って、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）。｝
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなく）、｝尚且つ、すべてのｘについて｛ｘが象でなくて、あるｙがｘの鼻であって長いならば、あるｚは（ｘの鼻以外であって、長い）。｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＆∀ｘ｛～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなく）、｝尚且つ、すべてのｘについて｛ｘが象でなくて、あるｙがｘの鼻であって長いならば、あるｚは（ｘの鼻以外であって、長い）。｝
といふことは、要するに、
②「象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。」が、仮に、「象以外にも、鼻が長い動物がゐるのであれば、その動物は、鼻だけではなく、鼻以外も長い。」
といふ、ことである。
然るに、
（04）
②「象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。」が、仮に、「象以外にも、鼻が長い動物がゐるのであれば、その動物は、鼻だけではなく、鼻以外も長い。」
といふことは、
②「象は、鼻だけが長く、鼻だけが長い動物は、象だけである。」
といふことである。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
① 象が鼻が長い＝象は、鼻だけが長く、鼻だけが長い動物は、象だけである。
② 象は鼻が長い＝象は、鼻だけが長く、鼻だけが長い動物は、象だけである。
③ 象が鼻は長い＝象は、鼻だけが長く、鼻だけが長い動物は、象だけである。
④ 象は鼻は長い＝象は、鼻だけが長く、鼻だけが長い動物は、象だけである。
に於いて、
① の「等式」だけが「正しい」のであれば、
① 象が鼻が長い。⇔
① 象は、鼻だけが長く、鼻だけが長い動物は、象だけである。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＆∀ｘ｛～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
といふ「等式」が、成立する。