―「昨日（令和０３年０５月１７日）の記事」を書き直します。―
（01）
三上はこれを文型として登録すべきであると、主張しています。
象をＡに、鼻をＢに、長いをＣに変え、文型の公式として、
Ａは、ＢがＣだ。
を作っておきます。すると、この公式に当てはまる文は、たいてい機械的にパラフレーズできます。
二辺の平方の和が第三辺の平方の和に等しい三角形は、第三辺に対する角が直角である。
（山崎紀美子、日本語基礎講座―三上文法入門、2003年、２１５頁）
従って、
（01）により、
（02）
① 象は鼻が長い。
② 太陽系は、地球が第三惑星である。
③ 二辺の平方の和が第三辺の平方の和に等しい三角形は、第三辺に対する角が直角である。
といふ「日本語」は、
① Ａは、ＢがＣだ。
といふ「公式」に対する、「代入例（Sustitution instances）」である。
然るに、
（03）
固より、
② 地球＝太陽系の第三惑星
② 太陽系の第三惑星＝地球
であって、
② 地球＝太陽系の第三惑星
② 太陽系の第三惑星＝地球
といふことは、
② 地球以外は、太陽系の第三惑星ではない。
といふことに、他ならない。
然るに、
（04）
③ 二辺の平方の和が第三辺の平方の和に等しい三角形は、第三辺に対する角が直角である（三平方の定理）。
とするならば、
③ 他の二角は、「直角」ではなく、
③ 他の二角は、「直角」ではないのであれば、
③「三角形」の 「直角」は、「１つしか無い」。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
① 象は鼻が長い。
といふ「象鼻文」を含めて、
① Ａは、ＢがＣだ。
② Ａは、ＢはＣであり、Ｂ以外はＣではない。
に於いて、
①＝② である。
はずである。
然るに、
（06）
１ （１）∀ｘ｛太陽系ｘ→∃ｙ［地球ｙ＆第三惑星ｙｘ＆～∃ｚ（第三惑星ｚｘ＆ｚ≠ｙ）］｝ Ａ
１ （２） 太陽系ａ→∃ｙ［地球ｙ＆第三惑星ｙａ＆～∃ｚ（第三惑星ｚａ＆ｚ≠ｙ）］ １ＵＥ
１ （３） 太陽系ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ［地球ｙ＆第三惑星ｙａ＆～∃ｚ（第三惑星ｚａ＆ｚ≠ｙ）］ ２３ＭＰＰ
５ （５） 地球ｂ＆第三惑星ｂａ＆～∃ｚ（第三惑星ｚａ＆ｚ≠ｂ） Ａ
５ （６） 地球ｂ＆第三惑星ｂａ ５＆Ｅ
５ （７） ～∃ｚ（第三惑星ｚａ＆ｚ≠ｂ） ５＆Ｅ
５ （８） ∀ｚ～（第三惑星ｚａ＆ｚ≠ｂ） ７量化子の関係
５ （９） ～（第三惑星ｃａ＆ｃ≠ｂ） ８ＵＥ
５ （ア） ～第三惑星ｃａ∨ｃ＝ｂ ９ド・モルガンの法則
５ （イ） 第三惑星ｃａ→ｃ＝ｂ ア含意の定義
ウ （ウ） ∃ｚ（火星ｚ＆～地球ｚ） Ａ
エ （エ） 火星ｃ＆～地球ｃ Ａ
エ （オ） 火星ｃ エ＆Ｅ
エ （カ） ～地球ｃ エ＆Ｅ
キ（キ） ｂ＝ｃ Ａ
エキ（ク） ～地球ｂ カキ＝Ｅ
５ （ケ） 地球ｂ ６＆Ｅ
５ エキ（コ） ～地球ｂ＆地球ｂ クケ＆Ｉ
５ エ （サ） ｂ≠ｃ キコＲＡＡ
５ エ （シ） ～第三惑星ｃａ イサＭＴＴ
５ エ （ス） 火星ｃ＆～第三惑星ｃａ オシ＆Ｉ
５ エ （セ） ∃ｚ（火星ｚ＆～第三惑星ｚａ） スＥＩ
５ウ （ソ） ∃ｚ（火星ｚ＆～第三惑星ｚａ） ウエセＥＥ
１３ ウ （タ） ∃ｚ（火星ｚ＆～第三惑星ｚａ） ４５ソＥＥ
１ ウ （チ） 太陽系ａ→∃ｚ（火星ｚ＆～第三惑星ｚａ） ３タＣＰ
１ ウ （ツ）∀ｘ｛太陽系ｘ→∃ｚ（火星ｚ＆～第三惑星ｚｘ）｝ チＵＩ
従って、
（06）により、
（07）
（ⅰ）∀ｘ｛太陽系ｘ→∃ｙ［地球ｙ＆第三惑星ｙｘ＆～∃ｚ（第三惑星ｚｘ＆ｚ≠ｙ）］｝
（ⅱ）∃ｚ（火星ｚ＆～地球ｚ）
（ⅲ）∀ｘ｛太陽系ｘ→∃ｚ（火星ｚ＆～第三惑星ｚｘ）｝
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが太陽系であるならば、あるｙは［地球であって、ｘの第三惑星であって、（ｘの第三惑星であって、ｙでない）といふ、そのやうなｚは存在しない］｝。
（ⅱ）あるｚは（火星であって、ｚは地球ではない。）
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘが太陽系であるならば、あるｚは（火星であって、ｚはｘの第三惑星ではない）。｝
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
（ⅰ）太陽系は、地球は、第三惑星であって、地球以外に第三惑星は存在しない。然るに、
（ⅱ）火星は、 地球ではない。従って、
（ⅲ）太陽系は、火星は第三惑星ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（09）
① 地球は、第三惑星であって、地球以外は第三惑星ではない。⇔
① ∃ｙ［地球ｙ＆第三惑星ｙｘ＆～∃ｚ（第三惑星ｚｘ＆ｚ≠ｙ）］
に於ける「地球・第三惑星」を、「英語」では、「確定記述（definite description）」といふ。
従って、
（10）
① the earth.
① the third planet.
のやうな「the 単数名詞」を、「確定記述」といふものの、
さて定冠詞（the）は、それが厳密に用いられるときには、一意性（uniqueness）を内含している。確かに、しかじかのひと（So-and-so）がいく人かの息子もっている場合でさえ、「the so of So-and-so」という表現を使用するが、本当はその場合には、「a so of So-and-so」という方がより正しいといえよう。それ故、われわれの目的のためには、the は一意性を内含しているものと考えていく。
（勁草書房、現代哲学基本論文集Ⅰ、バートランド・ラッセル、指示について、1986年、５３頁）
従って、
（09）（10）により、
（11）
① 太陽系は、地球が第三惑星である。
といふ「日本語」が、「英語」では、
① Speaking of the solar system,the earth is the third planet.
といふ風に、「翻訳」されるのであれば、
① Speaking of the solar system,the earth is the third planet.
といふ「英語」は、
① Other than the earth, it is not the third planet of the solar system.
といふ「意味」になり、それ故、
① 太陽系は、地球が第三惑星である。
といふ「日本語」は、
① 太陽系は、地球が第三惑星であって、地球以外は第三惑星ではない。
といふ、「意味」なる。
従って、
（06）～（11）により
（12）
① 太陽系は、地球が第三惑星である。⇔
① Speaking of the solar system,the earth is the third planet.⇔
① ∀ｘ｛太陽系ｘ→∃ｙ［地球ｙ＆第三惑星ｙｘ＆～∃ｚ（第三惑星ｚｘ＆ｚ≠ｙ）］｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが太陽系であるならば、あるｙは［地球であって、ｘの第三惑星であって、（ｘの第三惑星であって、ｙでない）といふ、そのやうなｚは存在しない］｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（13）
１ （１）∀ｘ｛太陽系ｘ→∃ｙ［地球ｙ＆第三惑星ｙｘ＆∀ｚ（第三惑星ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝ Ａ
１ （２） 太陽系ａ→∃ｙ［地球ｙ＆第三惑星ｙａ＆∀ｚ（第三惑星ｚａ→ｙ＝ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） 太陽系ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ［地球ｙ＆第三惑星ｙａ＆∀ｚ（第三惑星ｚａ→ｙ＝ｚ）］ ２３ＭＰＰ
５ （５） 地球ｂ＆第三惑星ｂａ＆∀ｚ（第三惑星ｚａ→ｂ＝ｚ） Ａ
５ （６） 地球ｂ＆第三惑星ｂａ ５＆Ｅ
５ （７） ∀ｚ（第三惑星ｚａ→ｂ＝ｚ） ５＆Ｅ
５ （８） 第三惑星ｃａ→ｂ＝ｃ ７ＵＥ
９ （９） ∃ｚ（火星ｚ＆～地球ｚ） Ａ
ア （ア） 火星ｃ＆～地球ｃ Ａ
ア （イ） 火星ｃ ア＆Ｅ
ア （ウ） ～地球ｃ ア＆Ｅ
エ（エ） ｂ＝ｃ Ａ
アエ（オ） ～地球ｂ ウエ＝Ｅ
５ （カ） 地球ｂ ６＆Ｅ
５ アエ（キ） ～地球ｂ＆地球ｂ オカ＆Ｉ
５ ア （ク） ｂ≠ｃ エキＲＡＡ
５ ア （ケ） ～第三惑星ｃａ ８クＭＴＴ
５ ア （コ） 火星ｃ＆～第三惑星ｃａ イケ＆Ｉ
５ ア （サ） ∃ｚ（火星ｚ＆～第三惑星ｚａ） コＥＩ
５９ （シ） ∃ｚ（火星ｚ＆～第三惑星ｚａ） ９アサＥＥ
１３ ９ （ス） ∃ｚ（火星ｚ＆～第三惑星ｚａ） ４５シＥＥ
１ ９ （セ） 太陽系ａ→∃ｚ（火星ｚ＆～第三惑星ｚａ） ３スＣＰ
１ ９ （シ）∀ｘ｛太陽系ｘ→∃ｚ（火星ｚ＆～第三惑星ｚｘ）｝ セＵＩ
従って、
（12）（13）により、
（14）
① ∀ｘ｛太陽系ｘ→∃ｙ［地球ｙ＆第三惑星ｙｘ＆～∃ｚ（第三惑星ｚｘ＆ｚ≠ｙ）］｝
② ∀ｘ｛太陽系ｘ→∃ｙ［地球ｙ＆第三惑星ｙｘ＆ ∀ｚ（第三惑星ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（15）
（ⅱ）
１ （１） ∀ｚ（第三惑星ｚｘ→ｙ＝ｚ） Ａ
１ （２） 第三惑星ｃｘ→ｙ＝ｃ １ＵＥ
２（３） ｙ≠ｃ Ａ
１２（４） ～第三惑星ｃｘ ２３ＭＴＴ
１ （５） ｙ≠ｃ→～第三惑星ｃｘ ２４ＣＰ
１ （６）∀ｚ（ｙ≠ｚ→～第三惑星ｚｘ） ５ＵＩ
（ⅲ）
１ （１）∀ｚ（ｙ≠ｚ→～第三惑星ｚｘ） Ａ
１ （２） ｙ≠ｃ→～第三惑星ｃｘ １ＵＥ
３（３） 第三惑星ｃｘ Ａ
３（４） ～～第三惑星ｃｘ ３ＤＮ
１３（５） ～（ｙ≠ｃ） ２４ＭＴＴ
１３（６） ｙ＝ｃ ５ＤＮ
１ （７） 第三惑星ｃｘ→ｙ＝ｃ ３６ＣＰ
１ （８） ∀ｚ（第三惑星ｚｘ→ｙ＝ｚ） ７ＵＩ
従って、
（15）により、
（16）
② ∀ｚ（ 第三惑星ｚｘ→ｙ＝ｚ）
③ ∀ｚ（ｙ≠ｚ→～第三惑星ｚｘ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（14）（15）（16）により、
（17）
① ∀ｘ｛太陽系ｘ→∃ｙ［地球ｙ＆第三惑星ｙｘ＆～∃ｚ（ 第三惑星ｚｘ＆ｚ≠ｙ）］｝
② ∀ｘ｛太陽系ｘ→∃ｙ［地球ｙ＆第三惑星ｙｘ＆ ∀ｚ（ 第三惑星ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
③ ∀ｘ｛太陽系ｘ→∃ｙ［地球ｙ＆第三惑星ｙｘ＆ ∀ｚ（ｙ≠ｚ→～第三惑星ｚｘ）］｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
（18）
「象鼻文」の場合は、
④ 象は鼻が長い。⇔
④ 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。⇔
④ Elephants have long noses, but no other parts of them are not long.⇔
④ すべてｘのｘについて｛ｘが象ならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
である。
（01）
（ⅰ）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ Ａ
（２） Ｐ→ Ｐ １１ＣＰ
３（３） Ｐ＆～Ｐ Ａ
３（４） Ｐ ３＆Ｅ
３（５） ～Ｐ ３＆Ｅ
３（６） Ｐ ２４ＭＰＰ
３（７） ～Ｐ＆Ｐ ５６＆Ｉ
（８）～（Ｐ＆～Ｐ） ３７ＲＡＡ
（ⅲ）
１ （１） Ｐ Ａ
（２） Ｐ→ Ｐ １１ＣＰ
３ （３） Ｐ＆～Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ ３＆Ｅ
３ （５） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ （６） Ｐ ２４ＭＰＰ
３ （７） ～Ｐ＆Ｐ ５６＆Ｉ
（８） ～（Ｐ＆～Ｐ） ３７ＲＡＡ
９ （９） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
ア（ア） Ｐ Ａ
ア（イ） Ｐ∨～Ｐ ア
９ア（ウ） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） ９イ＆Ｉ
９ （エ） ～Ｐ アウＤＮ
９ （オ） ～Ｐ エＤＮ
９ （カ） Ｐ∨～Ｐ オ∨Ｉ
９ （キ） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） ９カ＆Ｉ
（ク） （Ｐ∨～Ｐ） ９キＲＡＡ
（ケ） Ｐ∨～Ｐ クＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→ Ｐ ≡Ｐならば、 Ｐである。
② ～（Ｐ＆～Ｐ）≡Ｐであって、Ｐでない。といふことはない。
③ Ｐ∨～Ｐ ≡Ｐであるか、Ｐでない。
は、３つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（03）
「恒真式（トートロジー）」の「否定」は、 「恒には真ならず（部分否定）」ではなく、
「恒に、偽である（全部否定）」である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ～（Ｐ→ Ｐ）≡（Ｐならば、 Ｐである）ではない。
② （Ｐ＆～Ｐ）≡（Ｐであって、Ｐでない）。
③ ～（Ｐ∨～Ｐ）≡（Ｐであるか、Ｐでない）ではない。
は、３つとも、「恒偽式（矛盾）」である。
然るに、
（05）
例へば、
④［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
は、「ルカジェヴィッツの公理２」であるため、「恒真式」でなければ、ならない。
然るに、
（06）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ→ Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ→Ｒ １３ＭＰＰ
２３（５） Ｑ ２３ＭＰＰ
１２３（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１２ （７） Ｐ→Ｒ ３６ＣＰ
１ （８）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ２７ＣＰ
（９）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］ １８ＣＰ
従って、
（05）（06）により、
（07）
果たして、
④［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（08）
（ⅳ）
１（１） ［ Ｐ→（ Ｑ→Ｒ）］→［ （Ｐ→Ｑ）→（ Ｐ→Ｒ）］ Ａ
１（２） ［～Ｐ∨（ Ｑ→Ｒ）］→［ （Ｐ→Ｑ）→（ Ｐ→Ｒ）］ １含意の定義
１（３） ［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］→［ （Ｐ→Ｑ）→（ Ｐ→Ｒ）］ ２含意の定義
１（４）～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨［ （Ｐ→Ｑ）→（ Ｐ→Ｒ）］ ３含意の定義
１（５）～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨［ （～Ｐ∨Ｑ）→（ Ｐ→Ｒ）］ ４含意の定義
１（６）～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（ Ｐ→Ｒ）］ ５含意の定義
１（７）～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）］ ６含意の定義
（ⅴ）
１（１）～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）］ Ａ
１（２）～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（ Ｐ→Ｒ）］ １含意の定義
１（３）～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨［ （～Ｐ∨Ｑ）→（ Ｐ→Ｒ）］ ２含意の定義
１（４）～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨［ （Ｐ→Ｑ）→（ Ｐ→Ｒ）］ ３含意の定義
１（５） ［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］→［ （Ｐ→Ｑ）→（ Ｐ→Ｒ）］ ４含意の定義
１（６） ［～Ｐ∨（ Ｑ→Ｒ）］→［ （Ｐ→Ｑ）→（ Ｐ→Ｒ）］ ５含意の定義
１（７） ［ Ｐ→（ Ｑ→Ｒ）］→［ （Ｐ→Ｑ）→（ Ｐ→Ｒ）］ ６含意の定義
従って、
（08）により、
（09）
④ ［ Ｐ→（ Ｑ→Ｒ）］→［ （Ｐ→Ｑ）→（ Ｐ→Ｒ）］
⑤ ～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）］
に於いて、
④＝⑤ であって、
④ は、「恒真式（トートロジー）」であるため、
⑤ も、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（10）
（ⅵ）
１（１）～｛～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨ ［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）］｝ Ａ
１（２） ［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］＆～［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）］ １ド・モルガンの法則
１（３） ［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］ ２＆Ｅ
１（４） Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ３含意の定義
１（５） ～［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）］ ２＆Ｅ
１（６） （～Ｐ∨Ｑ）＆～（～Ｐ∨Ｒ） ５ド・モルガンの法則
１（７） （～Ｐ∨Ｑ） ６＆Ｅ
１（８） Ｐ→Ｑ ７含意の定義
１（９） ～（～Ｐ∨Ｒ） ６＆Ｅ
１（ア） Ｐ＆～Ｒ ９ド・モルガンの法則
１（イ） Ｐ ア＆Ｅ
１（ウ） ～Ｒ ア＆Ｅ
１（エ） ～Ｑ∨Ｒ ４イＭＰＰ
１（オ） Ｑ→Ｒ エ含意の定義
１（カ） Ｑ ８イＭＰＰ
１（キ） Ｒ オカＭＰＰ
１（ク） Ｒ＆～Ｒ ウキ＆Ｉ
１（ケ） Ｐ＆Ｑ イカ＆Ｉ
１（コ） （Ｒ＆～Ｒ）＆（Ｐ＆Ｑ） クケ＆Ｉ
（ⅶ）
１（１）（Ｒ＆～Ｒ）＆（Ｐ＆Ｑ） Ａ
１（２）（Ｒ＆～Ｒ） １＆Ｅ
１（３） Ｒ ２＆Ｅ
１（４） ～Ｒ ２＆Ｅ
１（５）～Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（６）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） ４∨Ｉ
１（７） Ｐ＆Ｑ １＆Ｅ
１（８） Ｐ ７＆Ｅ
１（９） Ｑ ７＆Ｅ
１（ア） Ｐ＆～Ｒ ４８＆Ｉ
１（イ） ～（～Ｐ∨Ｒ） ア、ド・モルガンの法則
１（ウ） ～Ｐ∨Ｑ ９∨Ｉ
１（エ） （～Ｐ∨Ｑ）＆～（～Ｐ∨Ｒ） イウ＆Ｉ
１（オ） ～［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）］ エド・モルガンの法則
１（カ） ［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］＆～［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）］ ６オ＆Ｉ
１（キ）～｛～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨ ［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）］｝ カ、ド・モルガンの法則
従って、
（10）により、
（11）
⑥ ～｛～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨ ［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）］｝
⑦ （Ｒ＆～Ｒ）＆（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、すなはち、
⑥ ～｛～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨ ［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）］｝
⑦ （ 矛盾 ）＆（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
⑥＝⑦ である。
従って、
（06）～（11）により、
（12）
④ ［ Ｐ→（ Ｑ→Ｒ）］→［ （Ｐ→Ｑ）→（ Ｐ→Ｒ）］
⑤ ～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）］
⑥ ～｛～［～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）］∨ ［～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｒ）］｝
⑦ （Ｒ＆～Ｒ）＆（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
④＝⑤ であって、
⑥＝⑦ であって、
④ は、「公理（Axiom）」であるため、「恒真式」であって、それ故、
⑤ も、「恒真式」であり、そのため、その「否定」である、
⑥ と、
⑦ は、「恒偽式（矛盾）」でなければ、ならないものの、果たして、
⑦ （矛盾）＆（Ｐ＆Ｑ）
であるため、確かに、
⑦ は、「恒偽式（矛盾）」である。
従って、
（02）（04）（12）により、
（13）
① Ｐ→ Ｐ ≡Ｐならば、 Ｐである。
② ～（Ｐ＆～Ｐ）≡Ｐであって、Ｐでない。といふことはない。
③ Ｐ∨～Ｐ ≡Ｐであるか、Ｐでない。
④ ［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］≡［Ｐならば（ＱならばＲである）］ならば［（ＰならばＱである）ならば（ＰならばＲである）］。
は、４つとも、「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
① ～（Ｐ→ Ｐ）≡（Ｐならば、 Ｐである）ではない。
② （Ｐ＆～Ｐ）≡（Ｐであって、Ｐでない）。
③ ～（Ｐ∨～Ｐ）≡（Ｐであるか、Ｐでない）ではない。
④ （Ｒ＆～Ｒ）＆（Ｐ＆Ｑ）≡（Ｒであって、～Ｒでなく）、尚且つ（Ｐであって、Ｑである）。
は、４つとも、「恒偽式（矛盾）」である。
然るに、
（14）
（ⅳ）
１ （１）～｛（Ｒ＆～Ｒ）＆ （Ｐ＆Ｑ）｝ Ａ
１ （２） ～（Ｒ＆～Ｒ）∨～（Ｐ＆Ｑ） １ド・モルガンの法則
３ （３） ～（Ｒ＆～Ｒ） Ａ
３ （４） ～Ｒ∨ Ｒ ３ド・モルガンの法則
３ （５） Ｒ→ Ｒ ４含意の定義
３ （６） （Ｒ→ Ｒ）∨～（Ｐ＆Ｑ） ５∨Ｉ
４（７） ～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
４（８） （Ｒ→ Ｒ）∨～（Ｐ＆Ｑ） ７∨Ｉ
１ （９） （Ｒ→ Ｒ）∨～（Ｐ＆Ｑ） １３６４８∨Ｅ
１ （〃） （ 同一律 ）∨～（Ｐ＆Ｑ） １３６４８∨Ｅ
（ⅴ）
１ （１） （Ｒ→ Ｒ）∨～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
１ （〃） （ 同一律 ）∨～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
２ （２） Ｒ→ Ｒ Ａ
３ （３） Ｒ＆～Ｒ Ａ
３ （４） Ｒ ３＆Ｅ
３ （５） ～Ｒ ３＆Ｅ
２３ （６） Ｒ ２４ＭＰＰ
２３ （７） ～Ｒ＆Ｒ ５６＆Ｉ
２ （８） ～（Ｒ＆～Ｒ） ３７ＲＡＡ
２ （９） ～（Ｒ＆～Ｒ）∨～（Ｐ＆Ｑ） ８∨Ｉ
ア（ア） ～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
ア（イ） ～（Ｒ＆～Ｒ）∨～（Ｐ＆Ｑ） ア∨Ｉ
１ （ウ） ～（Ｒ＆～Ｒ）∨～（Ｐ＆Ｑ） １２９アイ∨Ｅ
１ （エ）～｛（Ｒ＆～Ｒ）＆ （Ｐ＆Ｑ）｝ ウ、ド・モルガンの法則
従って、
（13）（14）により、
（15）
④ ～｛（Ｒ＆～Ｒ）＆ （Ｐ＆Ｑ）｝
⑤ （ 同一律 ）∨～（Ｐ＆Ｑ）
に於いて
④＝⑤ であって、
④ は、「恒偽式（矛盾）」の「否定」であって、
⑤ は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（02）（04）（15）により、
（16）
「恒真式（トートロジー）」の「否定」は「恒偽式（矛盾）」であって、
「恒偽式（矛盾）」の「否定」は、「恒真式（トートロジー）」である。