（01）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆Ｑ 仮定
１（２） Ｐ １連言除去
（３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ １２条件法
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆Ｑ 仮定
１（２） Ｑ １連言除去
（３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ １２条件法
従って、
（01）により、
（02）
「仮定、連言除去、条件法」によって、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
といふ「仮言命題」、すなはち、「連言除去」は、「妥当」である。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ 仮定
２（２） Ｐ＆～Ｑ 仮定
１ （３） Ｑ １連言除去
２（４） ～Ｑ ２連言除去
１２（５） Ｑ＆～Ｑ ３４連言導入
１ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５背理法
１ （７） ～Ｐ∨ Ｑ ６ド・モルガンの法則
１ （８） Ｐ→ Ｑ ７含意の定義
１ （９） Ｐ １連言除去
１ （ア） Ｑ ８９肯定肯定式
（イ） （Ｐ＆ Ｑ）→Ｑ １ア条件法
（ⅱ）
１ （１） Ｑ＆ Ｐ 仮定
２ （２） Ｑ＆～Ｐ 仮定
１ （３） Ｐ １連言除去
２ （４） ～Ｐ ２連言除去
１２ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４連言導入
１ （６）～（Ｑ＆～Ｐ） ２５背理法
１ （７） ～Ｑ∨ Ｐ ６ド・モルガンの法則
１ （８） Ｑ→ Ｐ ７含意の定義
１ （９） Ｑ １連言除去
１ （ア） Ｐ ８９肯定肯定式
（イ） （Ｑ＆ Ｐ）→Ｐ ２ア条件法
ウ（ウ） Ｐ＆ Ｑ 仮定
ウ（エ） Ｑ ウ連言除去
ウ（オ） Ｐ ウ連言除去
ウ（カ） Ｑ＆ Ｐ エオ連言導入
ウ（キ） Ｐ １カ肯定肯定式
（ク） （Ｐ＆ Ｑ）→Ｐ ウキ条件法
従って、
（03）により、
（04）
「仮定、肯定肯定式、条件法、連言除去、連言導入、背理法、（ド・モルガンの法則、含意の定義）」により、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
といふ「仮言命題」、すなはち、「連言除去」は、「妥当」である。
然るに、
（05）
―「ド・モルガンの法則」の証明。―
（ⅰ）
１ （１） ～（Ｐ＆～Ｑ） 仮定
２ （２） ～（～Ｐ∨ Ｑ） 仮定
３ （３） ～Ｐ 仮定
３ （４） ～Ｐ∨ Ｑ ３選言導入
２３ （５） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ２４連言導入
２ （６） ～～Ｐ ３５背理法
２ （７） Ｐ ６二重否定
８（８） Ｑ 仮定
８（９） ～Ｐ∨ Ｑ ８選言導入
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ２９連言導入
２ （イ） ～Ｑ ８ア背理法
２ （ウ） Ｐ＆～Ｑ ７イ連言導入
１２ （エ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １ウ連言導入
１ （オ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ２エ背理法
１ （カ） ～Ｐ∨ Ｑ オ二重否定
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ 仮定
２ （２） Ｐ＆～Ｑ 仮定
３ （３） ～Ｐ 仮定
２ （４） Ｐ ２連言除去
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４連言導入
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５背理法
７（７） Ｑ 仮定
２ （８） ～Ｑ ２連言除去
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８連言導入
７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９背理法
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア選言除去
１２ （ウ） （Ｐ＆～Ｑ）＆
～（Ｐ＆～Ｑ） １イ連言導入
１ （エ）～（Ｐ＆～Ｑ） ２ウ背理法
―「含意の定義」の証明。―
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→Ｑ 仮定
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） 仮定
３（３） ～Ｐ 仮定
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３選言導入
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４連言導入
２ （６） ～～Ｐ ３５背理法
２ （７） Ｐ ６二重否定
１２ （８） Ｑ １７肯定肯定式
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８選言導入
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９連言導入
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２ア背理法
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イ二重否定
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ 仮定
２ （２） Ｐ＆～Ｑ 仮定
３ （３） ～Ｐ 仮定
２ （４） Ｐ ２連言除去
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４連言導入
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５背理法
７ （７） Ｑ 仮定
２ （８） ～Ｑ ２連言除去
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８連言導入
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９背理法
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア選言除去
ウ （ウ） Ｐ 仮定
エ（エ） ～Ｑ 仮定
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ連言導入
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ連言導入
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカ背理法
１ ウ （ク） Ｑ キ二重否定
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウク条件去
従って、
（05）により、
（06）
「仮定、二重否定、条件法、連言導入、連言除去、選言導入、選言除去、背理法」といふ「規則」により、
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
② ～Ｐ∨ Ｑ
③ ～Ｐ∨ Ｑ
④ Ｐ→ Ｑ
に於いて、
①＝② である（ド、モルガンの法則）。
③＝④ である（含意の定義）。
従って、
（03）～（06）により、
（07）
「仮定、肯定肯定式、条件法、連言除去、連言導入、背理法、（ド・モルガンの法則、含意の定義）」により、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
といふ「仮言命題」、すなはち、「連言除去」は、「妥当」である。
といふことは、
「仮定、肯定肯定式、二重否定、条件法、連言導入、連言除去、選言導入、選言除去、背理法」といふ「規則」により、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
といふ「仮言命題」、すなはち、「連言除去」は、「妥当」である。
といふことに、他ならない。
従って、
（02）（07）により、
（08）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
といふ「仮言命題」、すなはち、「連言除去」は、
（ａ）「仮定、『連言除去』、条件法」といふ「規則の集合」でなければ、
（ｂ）「仮定、肯定肯定式、二重否定、条件法、連言導入、『連言除去』、選言導入、選言除去、背理法」といふ「規則の集合」により、
「妥当」である。
然るに、
（09）
（ａ）「仮定、『連言除去』、条件法」
（ｂ）「仮定、肯定肯定式、二重否定、条件法、連言導入、『連言除去』、選言導入、選言除去、背理法」
といふ「規則の集合」は、両方とも、
（ａ）『連言除去』を含んでゐて、
（ｂ）『連言除去』を含んでゐる。
従って、
（08）（09）により、
（10）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
といふ「仮言命題」、すなはち、「連言除去」は、
（ａ）『連言除去』が無ければ、「妥当」ではなく、
（ｂ）『連言除去』が無ければ、「妥当」ではない。
従って、
（10）により、
（11）
①（日本人であって、男性である）ならば、日本人である。
②（日本人であって、男性である）ならば、男性 である。
といふ「仮言命題」の「妥当性」は、「それ自体」によって、「保証」されることになる。
従って、
（10）（11）により、
（12）
①（日本人であって、男性である）ならば、日本人である。
②（日本人であって、男性である）ならば、男性 である。
のやうな、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
は、所謂、「公理（axiom）」である。