（01）
（ⅰ）あるｘはフランス人である。
（ⅱ）あるｘは学生である。従って、
（ⅲ）あるｘはフランス人の学生である。
といふ「推論」が、「妥当」であるならば、
（ⅰ）ａはフランス人である。
（ⅱ）ｂは学生である。従って、
（ⅲ）ａはフランス人の学生である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（02）
（ⅰ）ポールがフランス人で、
（ⅱ）ジャンが学生であったとしても、
（ⅲ）ポールが、フランス人の学生であるとは、限らない。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）ａはフランス人である。
（ⅱ）ｂは学生である。従って、
（ⅲ）ａはフランス人の学生である。
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
（ⅰ）あるｘはフランス人である。
（ⅱ）あるｘは学生である。従って、
（ⅲ）あるｘはフランス人の学生である。
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
然るに、
（05）
（ⅰ）あるｘはフランス人である。
（ⅱ）あるｘは学生である。従って、
（ⅲ）あるｘはフランス人の学生である。
といふ「推論」が、「妥当」ではないならば、
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
３ （３） Ｆａ Ａ
４（４） Ｇａ Ａ
３４（５） Ｆａ＆Ｇａ ３４＆Ｉ
３４（６）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ５ＥＩ
２３ （７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ２４６ＥＥ
１２ （８）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） １３７ＥＥ
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
従って、
（04）（05）により、
（06）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
３ （３） Ｆａ Ａ
４（４） Ｇａ Ａ
３４（５） Ｆａ＆Ｇａ ３４＆Ｉ
３４（６）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ５ＥＩ
２３ （７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ２４６ＥＥ
１２ （８）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） １３７ＥＥ
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
然るに、
（07）
（ⅰ）ポールが、フランス人の学生であるならば、
（ⅱ）ポールといふ、フランス人が存在し、
（ⅲ）ポールといふ、学生も存在する。
従って、
（07）により、
（08）
（ⅰ）あるｘはフランス人の学生である。従って、
（ⅱ）フランス人は、存在し、
（ⅲ）学生も存在する。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（08）により、
（09）
（ａ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） Ａ
２（２） Ｆａ＆Ｇａ Ａ
２（３） Ｆａ ２＆Ｅ
２（４）∃ｘ（Ｆｘ） ３ＥＩ
１ （５）∃ｘ（Ｆｘ） １２４ＥＥ
１ （６） Ｇａ ２＆Ｅ
２（７） ∃ｘ（Ｇｘ） ５ＥＩ
１ （８） ∃ｘ（Ｇｘ） １２７ＥＥ
（ｂ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） Ａ
２（２） Ｆａ＆Ｇａ Ａ
２（３） Ｆａ ２＆Ｅ
２（４）∃ｘ（Ｆｘ） ３ＥＩ
２（５） Ｇａ ２＆Ｅ
２（６） ∃ｘ（Ｇｘ） ５ＥＩ
２（７）∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ） ４６＆Ｉ
１ （８）∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ） １２７ＥＥ
従って、
（06）（09）により、
（10）
ＥＥ（選言除去）の回数＞ＥＩ（選言導入）の回数
であるならば、その「推論」は、「妥当」ではない。
（11）
[2020前期火５]哲学(演習) 論理学 前期第10回授業（京都大学文学部・矢田部俊介）「形式的な算術体系」
を視聴してゐて、改めて、（10）であることを、「確認」しましたが、 矢田部先生が、そのように、説明してゐる。
といふわけでは、ありません。
（01）
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １７＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① ～Ｐ∨Ｐ＝Ｐでないか、Ｐである（排中律）
は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（02）により、
（03）
① Ｐ＝∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）
であるとして、
② ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）∨∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）
といふ「論理式（排中律）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）∨∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ） Ａ
２ （２） ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ） Ａ
２ （３） ∀ｘ～（Ｆｘ＆～Ｇｘ） ２量化子の関係
２ （４） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） ３ＵＥ
２ （５） ～Ｆａ∨ Ｇａ ４ド・モルガンの法則
２ （６） Ｆａ→ Ｇａ ５含意の定義
２ （７） ∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） ６ＵＩ
２ （８）～～∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） ７∨Ｉ
２ （９）～～∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ）∨∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ） ７∨Ｉ
２ （ア） ～∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ）→∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ） ８含意の定義
イ （イ） ∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ） Ａ
イ （ウ）～～∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ）∨∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ） イ∨Ｉ
イ （エ） ～∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ）→∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ） ウ含意の定義
１ （オ） ～∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ）→∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ） １２アイエ∨Ｅ
オ（カ） ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ） Ａ
１ オ（キ）～～∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） オカＭＴＴ
１ オ（ク） ∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） キＤＮ
１ （ケ） ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）→∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） オクＣＰ
（ⅱ）
１ （１） ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）→∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ） Ａ
３ （３） Ｆａ＆～Ｇａ Ａ
４（４） ∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） Ａ
４（５） Ｆａ→ Ｇａ ４ＵＥ
３ （６） ～Ｇａ ３＆Ｅ
３４（７） ～Ｆａ ５６ＭＴＴ
３ （８） Ｆａ ３＆Ｅ
３４（９） ～Ｆａ＆Ｆａ ７８＆Ｉ
３ （ア） ～∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） ４９ＲＡＡ
２ （イ） ～∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） ２３アＥＥ
１２ （ウ）～～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ） １イＭＴＴ
１２ （エ） ∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ） ウＤＮ
１ （オ） ∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）→∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ） ２エＣＰ
１ （カ） ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）∨∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ） オ含意の定義
従って、
（04）により、
（05）
① ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）∨∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）
② ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）→∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
（ⅲ）
１ （１） ∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ） Ａ
１ （３） Ｆａ→ Ｇａ １ＵＥ
４（４） Ｆａ＆～Ｇａ Ａ
４（５） Ｆａ ４＆Ｅ
４（６） ～Ｇａ ４＆Ｅ
１ ４（７） Ｇａ ３５ＭＰＰ
１ ４（８） ～Ｇａ＆Ｇａ ６７＆Ｉ
４（９） ～（Ｆａ→ Ｇａ） １８ＲＡＡ
１ （ア） Ｆａ→ Ｇａ １ＵＥ
１ ４（イ） ～（Ｆａ→ Ｇａ）＆
（Ｆａ→ Ｇａ） ９ア＆Ｉ
４（ウ）～∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） １イＲＡＡ
２ （エ）～∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） ２４ウＥＥ
１２ （オ） ∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ）＆
～∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ） ２オＲＡＡ
（ⅳ）
１ （１）～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ） Ａ
２ （２） Ｆａ＆～Ｇａ Ａ
２ （３） ∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ） ２ＥＩ
１２ （４）～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）＆
∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ） １３＆Ｉ
１ （５） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） ２４ＲＡＡ
６ （６） Ｆａ Ａ
７（７） ～Ｇａ Ａ
６７（８） Ｆａ＆～Ｇａ ６７＆
１ ６７（９） ～（Ｆａ＆～Ｇａ）＆
（Ｆａ＆～Ｇａ） ５８＆Ｉ
１ ６ （ア） ～～Ｇａ ７９ＲＡＡ
１ ６ （イ） Ｇａ アＤＮ
１ （ウ） Ｆａ→ Ｇａ ６イＣＰ
１ （エ） ∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） ウＵＩ
従って、
（06）により、
（07）
③ ∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ）
④ ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）∨∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）
② ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）→∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ）
③ ∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ）
④ ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
③＝④ である。
従って、
（03）（08）により、
（09）
① ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）∨ ∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）
② ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）→ ∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ）
③ ∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ）→～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）
に於いて、
① は、「排中律（トートロジー）」であって、
② も、「排中律（トートロジー）」であって、
③ も、「排中律（トートロジー）」であって、
①＝②＝③ である。
然るに、
（10）
いまひとつの、特に言っておいてよいほどに一般的な語法は、「Ｆをもつ幾らかのものはＧをもたない」あるいは「ＦをもつがＧをもたないものが存在する」（「幾らかのフランス人は寛大でない」、「寛大でないフランス人が存在する」）である。これは明らかに、「ｘがＦをもちそしてｘがＧをもたないようなｘが存在する」、すなわち、
（27）∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）
となる（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１２３頁）。
従って、
（03）（09）（10）により、
（11）
①（寛大でないフランス人は存在しないか）、または（寛大でないフランス人は存在する）。
②（寛大でないフランス人が存在しない）ならば（すべてのフランス人は寛大である）。
③（すべてのフランス人が寛大である）ならば（寛大でないフランス人は存在しない）。
に於いて、
① は、「排中律（トートロジー）」であって、
② は、「排中律（トートロジー）」であって、
③ は、「排中律（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝②＝③ である。
然るに、
（12）
排中律 ～Ｐ∨Ｐ の拒絶は古典論理に親しい者には奇妙に思われるが、直観主義論理で命題論理式を証明するには、全ての可能な命題論理式に対して真または偽の証明が要求され、これは様々な理由によって不可能である（ウィキペディア）。
従って、
（11）（12）により、
（13）
「古典論理」とは異なり、「直観主義論理」にの場合は、例へば、
③（すべてのフランス人が寛大である）ならば（寛大でないフランス人は存在しない）。
といふ「排中律」を、「恒真式（トートロジー）」である。とは、認めない（？）。
といふ、ことになる。
（14）
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