（01）
① ＡなのでＢである（Ａ├ Ｂ）。
といふ風に、「言へる」のであれば、「その前に」、
② ＡならばＢである（Ａ→ Ｂ）。
といふ「決まり（ルール）」や、「習慣」が、無ければならない。
然るに、
（02）
１（１）Ｐ Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
（３）Ｐ→Ｐ∨Ｑ １２ＣＰ
といふ「計算」、すなはち、
Ｐ（１）Ｐ Ａ
Ｐ（２）Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
（３）Ｐ→Ｐ∨Ｑ １２ＣＰ
といふ「計算」は、
① Ｐなので、Ｐ∨Ｑである（Ｐ├ Ｐ∨Ｑ）。何故ならば、
①「選言導入（∨Ｉ）」といふ「決まり（ルール）」が有るからであって、
①「選言導入（∨Ｉ）」といいふのは、
② Ｐならば、Ｐ∨Ｑである（Ｐ→Ｐ∨Ｑ）。
といふ「決まり（ルール）」である。
といふ風に、解することが、出来る。
然るに、
（03）
１（１）Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２）Ｐ １＆Ｅ
（３）Ｐ＆Ｑ→Ｐ １２ＣＰ
といふ「計算」、すなはち、
Ｐ＆Ｑ（１）Ｐ＆Ｑ Ａ
Ｐ＆Ｑ（２）Ｐ １＆Ｅ
（３）Ｐ＆Ｑ→Ｐ １２ＣＰ
といふ「計算」は、
① Ｐ＆Ｑなので、Ｐである（Ｐ＆Ｑ├ Ｐ）。何故なら、
①「連言除去（＆Ｅ）」といふ「決まり（ルール）」が有るからであって、
①「連言除去（＆Ｅ）」といふのは、
② Ｐ＆Ｑならば、Ｐである（Ｐ＆Ｑ→ Ｐ）。
といふ「決まり（ルール）」である。
といふ風に、解することが、出来る。
然るに、
（04）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） ～Ｑ Ａ
１２（３）～Ｐ １２ＭＴＴ
１ （４）～Ｑ→～Ｐ ２３ＣＰ
といふ「計算」、すなはち、
Ｐ→Ｑ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
Ｐ→Ｑ，～Ｑ（２） ～Ｑ Ａ
Ｐ→Ｑ，～Ｑ（３）～Ｐ １２ＭＴＴ
Ｐ→Ｑ （４）～Ｑ→～Ｐ ２３ＣＰ
といふ「計算」は、
① Ｐ→Ｑ，～Ｑなので、～Ｐである（Ｐ→Ｑ，～Ｑ├ ～Ｑ）。何故ならば、
①「否定否定式（ＭＴＴ）」といふ「決まり（ルール）」が有るからであって、
①「否定否定式（ＭＴＴ）」といふのは、
② Ｐ→Ｑ，～Ｑならば、～Ｐ（（Ｐ→Ｑ，～Ｑ）→～Ｐ）。
といふ「決まり（ルール）」である。
といふ風に、解することが、出来る。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
（３）Ｐ→Ｐ∨Ｑ １２ＣＰ
（３）Ｐ＆Ｑ→Ｐ １２ＣＰ
（４）～Ｑ→～Ｐ ２３ＣＰ
といふ、３つの「条件的証明（ＣＰ）」は、上から順に、
（ⅰ）選言導入（∨Ｉ）
（ⅱ）連言除去（＆Ｅ）
（ⅲ）否定否定式（ＭＴＴ）
といふ、「決まり（ルール）」を、示してゐる。
従って、
（01）（05）により、
（06）
（ⅰ）今日、明日は物忌なれば、蔀もまゐらぬぞ（枕草子）。
（〃）今日、明日は物忌なので、蔀も開けないのです。
といふのであれば、
（ⅱ）その日が物忌みであるならば、蔀も開けない。
といふ「決まり（習慣）」が有った。
といふ、ことになる。
（01）
① 悪天候なので、外出しない。
② 悪天候であっても、外出する。
に於いて、
①と② は「矛盾」する。
従って、
（01）により、
（02）
① 悪天候なので、外出しない。
② 悪天候であっても、外出する。
に於いて、
① が「真（本当）」であるならば、
② は「偽（ウソ）」である。
然るに、
（03）
② 悪天候であっても、外出する。
③ 悪天候ならば、外出しない。
に於いて、
② が「偽」である。
といふことは、
③ が「真」である。
といふことである。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
「番号」を付け直すと、
① 悪天候なので、家に居る。
② 悪天候ならば、家に居る。
に於いて、
① ならば、② である。
従って、
（04）により、
（05）
① Ｐなので、Ｐである。
② Ｐならば、Ｐである。
に於いても、
① ならば、② である。
然るに、
（06）
２９ Ｐ├ Ｐ
Ｐ（１）Ｐ Ａ
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、４４頁）
然るに、
（07）
証明の各行の左側に、仮定を数字であげる方法は、伝統的な方法にくらべて遥かに明瞭であるとわたしには思われる。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、序ⅲ）
従って、
（06）（07）により、
（08）
１（１）Ｐ Ａ
といふ「計算」は、
Ｐ（１）Ｐ Ａ
といふ「計算」に「等しい」。
然るに、
（09）
「・・・・・という仮定が与えられたならば、・・・・・と正しく結論することが出来る」という煩雑な表現の略記法があれば好都合であろう。このためにわたしは、論理学の文献のなかでしばしば、しかし誤解を招きやすい仕方で、断定記号（assertion-sign）とよばれている記号、
├
を導入する。これは「故に」（therefore）と読むのが便利であろう。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１６頁）
従って、
（08）（09）により、
（10）
１（１）Ｐ Ａ
といふ「計算」、すなはち、
Ｐ（１）Ｐ Ａ
といふ「計算」は、
① Ｐ├ Ｐ（Ｐなので、Ｐである。）
といふことを、「意味」してゐる。
然るに、
（11）
３８ ├ Ｐ→Ｐ（連式２９を参照）
Ｐ（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、６４頁）
従って、
（06）（10）（11）により、
（12）
Ｐ（１）Ｐ Ａ（仮定の規則）
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ（条件法）
といふ「計算」は、
① Ｐ├ Ｐ（Ｐなので、Ｐである。）
② Ｐ→ Ｐ（Ｐならば、Ｐである。）
に於いて、
① ならば、② である。
といふことを、「意味」してゐる。
然るに、
（13）
―「含意の定義」の「証明」。―
（ⅱ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
１２ （イ） （～Ｐ∨Ｑ） ２ア＆Ｉ
１ （ウ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２イＲＡＡ
１ （エ） ～Ｐ∨Ｑ ウＤＮ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（13）により、
（14）
② Ｐ→Ｑ
③ ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
②＝③ は、「含意の定義」である。
従って、
（14）により、
（15）
② Ｐ→Ｐ（同一律）
③ ～Ｐ∨Ｐ（排中律）
に於いても、
②＝③ である。
従って、
（12）（15）により、
（16）
① Ｐ├ Ｐ（Ｐなので、Ｐである。）
② Ｐ→ Ｐ（Ｐならば、Ｐである。）
③ ～Ｐ∨ Ｐ（Ｐでないか、または、Ｐである。）
に於いて、
①⇒② であって、尚且つ、
②＝③ である。
然るに、
（16）により、
（17）
① Ｐ├ Ｐ（Ｐなので、Ｐである。）
③ ～Ｐ∨ Ｐ（Ｐでないか、または、Ｐである。）
に於いて、
③ ならば、① である。
とは、言へない。
従って、
（12）（16）（17）により、
（18）
① Ｐ├ Ｐ（Ｐなので、Ｐである。）
② Ｐ→ Ｐ（Ｐならば、Ｐである。）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
（19）
① Ｐ├ Ｐ（Ｐなので、Ｐである。）
② Ｐ→ Ｐ（Ｐならば、Ｐである。）
に於いて、
① ならば、② である。
といふ「指摘」は、あるいは、「奇異」に思はれるやも、知れない。
然るに、
（06）（11）により、
（20）
もう一度、確認すると、
２９ Ｐ├ Ｐ
Ｐ（１）Ｐ Ａ
これ以上短い連式は証明できないし、またその証明は可能な最も短い証明である。
３８ ├ Ｐ→Ｐ（連式２９を参照）
Ｐ（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、４４・６４頁改）
従って、
（09）（20）により、
（21）
明らかに、
３８ ├ Ｐ→Ｐ（連式２９を参照）
Ｐ（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
といふ「計算」は、
① Ｐ├ Ｐ（Ｐなので、Ｐである。）
② Ｐ→ Ｐ（Ｐならば、Ｐである。）
に於いて、
① ならば、② である。
といふことを、「証明」してゐる。
（01）
① 悪天候なので、外出しない。
② 悪天候であっても、外出する。
に於いて、
①と② は「矛盾」する。
従って、
（01）により、
（02）
① 悪天候なので、外出しない。
② 悪天候であっても、外出する。
に於いて、
① が「真（本当）」であるならば、
② は「偽（ウソ）」である。
然るに、
（03）
② 悪天候であっても、外出する。
③ 悪天候ならば、外出しない。
に於いて、
② が「偽」である。
といふことは、
③ が「真」である。
といふことである。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
「番号」を付け直すと、
① 悪天候なので、家に居る。
② 悪天候ならば、家に居る。
に於いて、
① ならば、② である。
従って、
（04）により、
（05）
① Ｐなので、Ｑである。
② Ｐならば、Ｑである。
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（06）
「・・・・・という仮定が与えられたならば、・・・・・と正しく結論することが出来る」という煩雑な表現の略記法があれば好都合であろう。このためにわたしは、論理学の文献のなかでしばしば、しかし誤解を招きやすい仕方で、断定記号（assertion-sign）とよばれている記号、
├
を導入する。これは「故に」（therefore）と読むのが便利であろう。
従って、
（05）（06）により、
（07）
① Ｐ├ Ｑ（Ｐなので、Ｑである。）
② Ｐ→ Ｑ（Ｐならば、Ｑである。）
に於いて、
① ならば、② である。
従って、
（07）により、
（08）
① Ｐ├ Ｑ
② Ｐ→ Ｑ
だけでなく、
① Ｐ├（Ｑ→Ｐ）
② Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
に於いても、
① ならば、② である。
然るに、
（09）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
３ （３） ～Ｐ＆Ｑ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｐ＆Ｑ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） ～Ｐ＆Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（～Ｐ＆Ｑ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（～Ｐ＆Ｑ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｐ Ａ
オ（オ） Ｑ Ａ
エオ（カ） ～Ｐ＆Ｑ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（～Ｐ＆Ｑ）＆
（～Ｐ＆Ｑ） ウカ＆Ｉ
１ オ（ク） ～～Ｐ オキＲＡＡ
１ オ（ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） Ｑ→Ｐ オケＣＰ
（サ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １コＣＰ
然るに、
（10）
証明の各行の左側に、仮定を数字であげる方法は、伝統的な方法にくらべて遥かに明瞭であるとわたしには思われる。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、序ⅲ）
従って、
（09）（10）により、
（11）
１ （１） Ｐ Ａ
といふことは、
Ｐ （１） Ｐ Ａ
といふことであって、
Ｐは「真」。（１） Ｐは「真」。Ａ
といふことである。
従って、
（09）（11）により、
（12）
「計算（09）」は、
Ｐ （１） Ｐ Ａ
Ｐ （２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
３ （３） ～Ｐ＆Ｑ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｐ＆Ｑ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） ～Ｐ＆Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（～Ｐ＆Ｑ） ３アＲＡＡ
Ｐ （ウ）～（～Ｐ＆Ｑ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｐ Ａ
オ（オ） Ｑ Ａ
エオ（カ） ～Ｐ＆Ｑ エオ＆Ｉ
Ｐ エオ（キ）～（～Ｐ＆Ｑ）＆
（～Ｐ＆Ｑ） ウカ＆Ｉ
Ｐ オ（ク） ～～Ｐ オキＲＡＡ
Ｐ オ（ケ） Ｐ クＤＮ
Ｐ （コ） Ｑ→Ｐ オケＣＰ
（サ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １コＣＰ
といふ「計算」と、「同じ」である。
然るに、
（13）
① Ｐ （コ） Ｑ→Ｐ オケＣＰ
② （サ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １コＣＰ
といふ「２行」は、
① Ｐ├（Ｑ→Ｐ）
② Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
に於いて、
① ならば、② である。
といふことを、「意味」してゐる。
（08）（13）により、
（14）
① Ｐ├（Ｑ→Ｐ）
② Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
に於いて、
① ならば、② である。
といふことは、E.J.レモン先生も、認めてゐる。
然るに、
（15）
系Ⅰ：命題計算のすべての定理はトートロジー的である。
系Ⅱ：命題計算は無矛盾である。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１０２頁）
従って、
（10）～（15）により、
（16）
① Ｐ （コ） Ｑ→Ｐ オケＣＰ
② （サ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １コＣＰ
に於いて、
③ Ｐ は「真」であり、
④ Ｑ→Ｐ も「真」である。
然るに、
（17）
② Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
に於いて、
③ Ｐ は「真」であり、
④ Ｑ→Ｐ も「真」である。
といふことは、
② が、「真」である。
といふ、ことである。
従って、
（17）により、
（18）
② Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
② 真→（Ｑ→真）
であるものの、この場合は、「真理表（Truth table）」により、
② Ｐ→（真→Ｐ） であっても、
② Ｐ→（偽→Ｐ） であっても、両方とも、「真」である。
従って、
（09）（18）により、
（19）
Ｔ は「真（True）」であるが、
Ｑ は「真・偽不明」であるとして、「計算（09）」は、
Ｔ （１） Ｔ Ａ
Ｔ （２） ～Ｑ∨Ｔ １∨Ｉ
３ （３） ～Ｔ＆Ｑ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｔ＆Ｑ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｔ Ａ
３ （９） ～Ｔ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） ～Ｔ＆Ｔ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（～Ｔ＆Ｑ） ３アＲＡＡ
Ｔ （ウ）～（～Ｔ＆Ｑ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｔ Ａ
オ（オ） Ｑ Ａ
エオ（カ） ～Ｔ＆Ｑ エオ＆Ｉ
Ｔ エオ（キ）～（～Ｔ＆Ｑ）＆
（～Ｔ＆Ｑ） ウカ＆Ｉ
Ｔ オ（ク） ～～Ｔ オキＲＡＡ
Ｔ オ（ケ） Ｔ クＤＮ
Ｔ （コ） Ｑ→Ｔ オケＣＴ
（サ）Ｔ→（Ｑ→Ｔ） １コＣＴ
といふ風に、書くことが、出来る。
然るに、
（20）
ルカジェヴィッツによる公理
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）｛Ｐ→（Ｑ→Ｒ）｝→｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）｝
（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
（これはフレーゲが提出した６つの公理をより簡単にしたものである。）
（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、1７３頁）
従って、
（19）（20）により、
（21）
（１）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
といふ「ルカジェヴィッツによる公理（１）」は、昨日も書いたものの、
（１）Ｐであるならば（Ｑであらうと、Ｑでなからうと、いづれにせよ、Ｐである。）
といふ「意味」になる。
然るに、
（22）
Ｆ は「偽（False）」であるが、
Ｑ は「真・偽 不明」 であるとして、「計算（09）」が、
Ｆ （１） Ｆ Ａ
Ｆ （２） ～Ｑ∨Ｆ １∨Ｉ
３ （３） ～Ｆ＆Ｑ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｆ＆Ｑ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｆ Ａ
３ （９） ～Ｆ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） ～Ｆ＆Ｆ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（～Ｆ＆Ｑ） ３アＲＡＡ
Ｆ （ウ）～（～Ｆ＆Ｑ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｆ Ａ
オ（オ） Ｑ Ａ
エオ（カ） ～Ｆ＆Ｑ エオ＆Ｉ
Ｆ エオ（キ）～（～Ｆ＆Ｑ）＆
（～Ｆ＆Ｑ） ウカ＆Ｉ
Ｆ オ（ク） ～～Ｆ オキＲＡＡ
Ｆ オ（ケ） Ｆ クＤＮ
Ｆ （コ） Ｑ→Ｆ オケＣＰ
（サ）Ｆ→（Ｑ→Ｆ） １コＣＰ
といふ風に、書くことが、出来る。
といふ風に、「仮定」する。
然るに、
（23）
Ｆ は「偽（False）」であるが、
Ｑ は「真・偽 不明」であるとしても、
（１）Ｆ→（Ｑ→Ｆ）
といふ「式」は、「真」である。
然るに、
（24）
Ｆ （１） Ｆ Ａ
に於ける、「Ａ（仮定の規則）」は、「偽なる命題」の「仮定」を許さない。
従って、
（22）（23）（24）により、
（25）
「計算（22）」は、「マチガイ」であって、次に示す、
「計算（26）」が、「正しい」。
（26）
～Ｆ （１） ～Ｆ Ａ
～Ｆ （２） ～Ｑ∨～Ｆ １∨Ｉ
３ （３） ～～Ｆ＆Ｑ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆ Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７） ～（～～Ｆ＆Ｑ） ３６ＲＡＡ
８ （８） ～Ｆ Ａ
３ （９） ～～Ｆ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） ～～Ｆ＆～Ｆ ８９＆Ｉ
８ （イ） ～（～～Ｆ＆Ｑ） ３アＲＡＡ
～Ｆ （ウ） ～（～～Ｆ＆Ｑ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～～Ｆ Ａ
オ（オ） Ｑ Ａ
エオ（カ） ～～Ｆ＆Ｑ エオ＆Ｉ
～Ｆ エオ（キ） ～（～～Ｆ＆Ｑ）＆
（～～Ｆ＆Ｑ） ウカ＆Ｉ
～Ｆ オ（ク） ～～～Ｆ オキＲＡＡ
～Ｆ オ（ケ） ～Ｆ クＤＮ
～Ｆ （コ） Ｑ→～Ｆ オケＣＰ
（サ）～Ｆ→（Ｑ→～Ｆ） １コＣＰ
従って、
（22）（26）により、
（27）
（サ） Ｆ→（Ｑ→ Ｆ） １コＣＰ
といふ「結論」は、「マチガイ」であって、
（サ）～Ｆ→（Ｑ→～Ｆ） １コＣＰ
といふ「結論」こそが、「正しい」。
従って、
（09）（19）（27）により、
（28）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
３ （３） ～Ｐ＆Ｑ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｐ＆Ｑ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） ～Ｐ＆Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（～Ｐ＆Ｑ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（～Ｐ＆Ｑ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｐ Ａ
オ（オ） Ｑ Ａ
エオ（カ） ～Ｐ＆Ｑ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（～Ｐ＆Ｑ）＆
（～Ｐ＆Ｑ） ウカ＆Ｉ
１ オ（ク） ～～Ｐ オキＲＡＡ
１ オ（ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） Ｑ→Ｐ オケＣＰ
（サ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １コＣＰ
といふ「計算」が「証明」してゐるのは、
（サ）真→（Ｑ→真） といふ「恒真式」であって、
（〃）偽→（Ｑ→偽） といふ「恒真式」ではない。
（01）
① Ｐ
② ～Ｐ＆Ｑ
に於いて、すなはち、
① Ｐである。
② Ｐでないが、Ｑである。
に於いて、
①と② は「矛盾」する。
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ
② ～Ｐ＆Ｑ
に於いて、
① が「真（本当）」であるならば、
② は「偽（ウソ）」であって、
② が「偽（ウソ）」であるといふことは、
② の「否定」、すなはち、
② ～（～Ｐ＆Ｑ） が「真（本当）」である。
といふことである。
然るに、
（03）
「・・・・・という仮定が与えられたならば、・・・・・と正しく結論することが出来る」という煩雑な表現の略記法があれば好都合であろう。このためにわたしは、論理学の文献のなかでしばしば、しかし誤解を招きやすい仕方で、断定記号（assertion-sign）とよばれている記号、
├
を導入する。これは「故に」（therefore）と読むのが便利であろう。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① Ｐ├ ～（～Ｐ＆Ｑ）
といふ「連式（Sequent）」は、「妥当」である。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
３ （３） ～Ｐ＆Ｑ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｐ＆Ｑ） ３６ＲＡＡ
８（８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８（ア） ～Ｐ＆Ｐ ８９＆Ｉ
８（イ）～（～Ｐ＆Ｑ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（～Ｐ＆Ｑ） ２４７８イ∨Ｅ
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
「命題計算」の「結果」からも、
① Ｐ├ ～（～Ｐ＆Ｑ）
といふ「連式（Sequent）」は、すなはち、
① Ｐなので、（Ｐでなくて、Ｑである）といふことはない。
といふ「言ひ方」は、「妥当」である。
然るに、
（07）
（ⅱ）
１ （１） Ｐ Ａ
（ⅲ）
１ （２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
（ⅳ）
３ （３） ～Ｐ＆Ｑ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７） ～（～Ｐ＆Ｑ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） ～Ｐ＆Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ） ～（～Ｐ＆Ｑ） ３アＲＡＡ
１ （ウ） ～（～Ｐ＆Ｑ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｐ Ａ
オ （オ） Ｑ Ａ
エオ （カ） ～Ｐ＆Ｑ エオ＆Ｉ
１ エオ （キ） ～（～Ｐ＆Ｑ）＆
（～Ｐ＆Ｑ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
１ （ケ） ～Ｐ→～Ｑ エクＣＰ
（ⅴ）
（コ） Ｐ→（～Ｐ→～Ｑ） １ケＣＰ
サ（サ） Ｐ＆ ～Ｐ Ａ
サ（シ） Ｐ サ＆Ｅ
サ（ス） ～Ｐ→～Ｑ コシＭＰＰ
サ（セ） ～Ｐ サ＆Ｅ
サ（ソ） ～Ｑ スセＭＰＰ
（タ）（Ｐ＆～Ｐ）→～Ｑ サソＣＰ
従って、
（07）により、
（08）
② Ｐ├ Ｐ
③ Ｐ├ ～Ｑ∨Ｐ
④ Ｐ├ ～Ｐ→～Ｑ
⑤ ├ （Ｐ＆～Ｐ）→～Ｑ
といふ「連式（Sequents）」は、３つとも、「妥当」である。
従って、
（03）（08）により、
（09）
② Ｐなので、Ｐである。
③ Ｐなので、Ｑでないか、または、Ｐである。
④ Ｐなので、 Ｐでない ならば、Ｑでない。
⑤（Ｐであって、Ｐでない）ならば、Ｑでない。
といふ「言ひ方」は、４つとも、「妥当」である。
然るに、
（09）により、
（10）
③ Ｐなので、Ｑでないか、または、Ｐである。
といふ「言ひ方」は、「奇異」である。
然るに、
（09）により、
（11）
② Ｐなので、Ｐである。
といふことからするれば、
③ Ｐなので、Ｑでないか、または、Ｐである。
に於いて、
② Ｐ の「真・偽」は、「真」として「確定」であるが、
② Ｑ の「真・偽」は、「不明」である。
従って、
（08）～（11）により、
（12）
③ Ｐ├ ～Ｑ∨Ｐ
③ Ｐなので、Ｑでないか、または、Ｐである。
といふことは、実際には、
③ Ｐであるが、Ｑでないか、Ｑであるかは、分からない。
といふ「意味」になる。
（13）
④ Ｐなので、Ｐでないならば、Ｑでない。
といふ「言ひ方」も、「奇異」である。
然るに、
（09）（12）（13）により、
（14）
③ Ｐであるが、Ｑでないか、Ｑであるかは、分からない。
⑤（Ｐであって、Ｐでない）ならば、Ｑでない。
といふことからすると、
④ Ｐなので、Ｐでないならば、Ｑでない。
といふ「言ひ方」は、
④「Ｐ＆～Ｐ（矛盾）」を認めるならば、「任意の命題」が、「真」になってしまふ。
が故に、
④「Ｐ＆～Ｐ（矛盾）」を認めるべきではない。
といふ「意味」に、解することが出来る。
（15）
（ⅴ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
３ （３） ～Ｐ＆Ｑ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｐ＆Ｑ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） ～Ｐ＆Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（～Ｐ＆Ｑ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（～Ｐ＆Ｑ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｐ Ａ
オ（オ） Ｑ Ａ
エオ（カ） ～Ｐ＆Ｑ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（～Ｐ＆Ｑ）＆
（～Ｐ＆Ｑ） ウカ＆Ｉ
１ オ（ク） ～～Ｐ オキＲＡＡ
１ オ（ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） Ｑ→Ｐ オケＣＰ
（サ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １コＣＰ
従って、
（11）（12）（15）により、
（16）
⑤├ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
といふ「連式」と、
⑤ Ｐであるならば（Ｑであるか、Ｑでないかは、不明であるが、いづれにせよ、Ｐである。）
といふ「言ひ方」は、「妥当」である。
然るに、
（17）
⑤ Ｐであるならば（Ｑであるか、Ｑでないかは、不明であるが、いづれにせよ、Ｐである。）
といふことは。
⑤ Ｐであるならば（Ｑであらうと、Ｑでなからうと、いづれにせよ、Ｐである。）
といふ、ことである。
従って、
（16）（17）により、
（18）
⑤├ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
といふ「連式」は、
⑤ Ｐであるならば（Ｑであらうと、Ｑでなからうと、いづれにせよ、Ｐである。）
といふ「意味」になる。
然るに、
（19）
例えば以下の二つの条件文は全て「古典論理」においては真であるが、我々は真であるとは考えない。
「１＋１＝２」ならば「雪は白い」
「１＋１＝５」ならば「雪は白い」
この我々が普段使用する「ならば」と「古典論理」における実質含意（質料含意ともいふ）の乖離が「実質含意のパラドクス」である。
（ウィキペディア改）
然るに、
（18）（19）により、
（20）
⑤├ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
⑤├ Ｐであるならば（Ｑであらうと、Ｑでなからうと、いづれにせよ、Ｐである。）
である所の、「ルカジェヴィッツによる公理（１）」からすると、
⑤「雪が白い」ならば（「１＋１＝２」であらうと、「１＋１＝５」であらうと、いづれにせよ、「雪は白い」。）
は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（21）
ルカジェヴィッツによる公理
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）｛Ｐ→（Ｑ→Ｒ）｝→｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）｝
（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
（これはフレーゲが提出した６つの公理をより簡単にしたものである。）
（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、1７３頁）
といふ「ルカジェヴィッツによる公理」は、「古典論理」である。
従って、
（20）（21）により、
（22）
⑤├ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
⑤├ Ｐであるならば（Ｑであらうと、Ｑでなからうと、いづれにせよ、Ｐである。）
である所の、「古典論理の公理」からしても、
⑤「雪が白い」ならば（「１＋１＝２」であらうと、「１＋１＝５」であらうと、いづれにせよ、「雪は白い」。）
といふ「命題」は「真」になるため、
「１＋１＝２」ならば「雪は白い」
「１＋１＝５」ならば「雪は白い」
といふ「二つの条件文」が「同時に、真」であることは、「パラドックス」であるとは、言へない。
然るに、
（23）
１ （１） ～Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｑ∨～Ｐ １∨Ｉ
３ （３） ～～Ｐ＆Ｑ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７） ～（～～Ｐ＆Ｑ） ３６ＲＡＡ
８ （８） ～Ｐ Ａ
３ （９） ～～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） ～～Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ） ～（～～Ｐ＆Ｑ） ３アＲＡＡ
１ （ウ） ～（～～Ｐ＆Ｑ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～～Ｐ Ａ
オ（オ） Ｑ Ａ
エオ（カ） ～～Ｐ＆Ｑ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ） ～（～～Ｐ＆Ｑ）＆
（～～Ｐ＆Ｑ） ウカ＆Ｉ
１ オ（ク） ～～～Ｐ オキＲＡＡ
１ オ（ケ） ～Ｐ クＤＮ
１ （コ） Ｑ→～Ｐ オケＣ～Ｐ
（サ）～Ｐ→（Ｑ→～Ｐ） １コＣ～Ｐ
従って、
（22）（23）により、
（24）
⑤├ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
⑤├ Ｐであるならば（Ｑであらうと、Ｑでなからうと、いづれにせよ、Ｐである。）
が、「公理（恒真式）」である以上、
⑥├ ～Ｐ→（Ｑ→～Ｐ）
⑥├ Ｐでないならば（Ｑであらうと、Ｑでなからうと、いづれにせよ、Ｐでない。）
も、「公理（恒真式）」である。
従って、
（22）（24）により、
（25）
⑤「雪が白い 」ならば（「１＋１＝２」であらうと、「１＋１＝５」であらうと、いづれにせよ、「雪は白い 」。）
⑥「雪が白くない」ならば（「１＋１＝２」であらうと、「１＋１＝５」であらうと、いづれにせよ、「雪は白くない」。）
といふ「仮言命題」は、２つとも「真」であるため、
「１＋１＝５」ならば「雪は白い」
「１＋１＝２」ならば「雪は白い」
「１＋１＝５」ならば「雪は黒い」
といふ「三つの条件文」が「同時に、真」であることは、「パラドックス」であるとは、言へない。
―「昨日（令和０２年１１月０４日）の記事」を書き直します。―
（01）
① 悪天候なので、外出しない。
② 悪天候であっても、外出する。
に於いて、
①と② は「矛盾」する。
従って、
（01）により、
（02）
① 悪天候なので、外出しない。
② 悪天候であっても、外出する。
に於いて、
① が「真（本当）」であるならば、
② は「偽（ウソ）」である。
然るに、
（03）
② 悪天候であっても、外出する。
③ 悪天候ならば、外出しない。
に於いて、
② が「偽」である。
といふことは、
③ が「真」である。
といふことである。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
「番号」を付け直すと、
① 悪天候なので、外出しない。
② 悪天候ならば、外出しない。
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１ （１）① であるならば、② である。 仮定
２ （２） ② でない。 仮定
３（３）① である。 仮定
１ ３（４） ② である。 １３肯定肯定式
１２３（５）② ではないが、 ② である。 ２４連言導入
１２ （６）① ではない。 ３５背理法
１ （７）② でないならば、① でない。 ２６条件法
（ⅱ）
１ （１）② でないならば、① でない。 仮定
２ （２） ① である。 仮定
３（３）② でない。 仮定
１ ３（４） ① でない。 １３肯定肯定式
１２３（５）① であるのに、 ① でない。 ２４連言導入
１２ （６）② でない。ではない。 ３５背理法
１２ （７）② である。 ６二重否定
１ （８）① であるならば、② である。 ２７条件法
従って、
（05）により、
（06）
（ⅰ）① であるならば、② である。
（ⅱ）② でないならば、① でない。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） であるものの、この「等式」を、「対偶（Contraposition）」といふ。
然るに、
（07）
（ⅰ）① であるならば、② である。
（ⅱ）② でないならば、① でない。
であるが故に、
（ⅰ）① であるならば、② である。
に於いて、
（ⅰ）① を「② であるための、十分条件」といひ、
（ⅱ）② を「① であるための、必要条件」といふ。
従って、
（04）～（07）により、
（08）
① 悪天候なので、家に居る。
② 悪天候ならば、家に居る。
に於いて、
① ならば、② である。
であるが故に、
① は、「② の、十分条件」であって、
② は、「① の、必要条件」である。
然るに、
（09）
① ならば、② である。
であって、尚且つ、
② ならば、① である。
であるならば、
①＝② であるものの、
①＝② であるならば、
① は、「② の、必要十分条件」であって、
② は、「① の、必要十分条件」である。
然るに、
（10）
② 悪天候ならば、家に居る。
としても、「仮定は未定」であるため、
① 悪天候なので、家に居る。
といふことには、ならない。
従って、
（10）により、
（11）
① 悪天候なので、家に居る。
② 悪天候ならば、家に居る。
に於いて、
② ならば、① である。
といふことには、ならない。
従って、
（04）（11）により、
（12）
① 悪天候なので、外出しない。
② 悪天候ならば、外出しない。
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。とは、限らない。
従って、
（08）（09）（12）
（13）
① 悪天候なので、家に居る。
② 悪天候ならば、家に居る。
に於いて、
① ならば、② である。
であるが故に、
① は、「② の、十分条件」であって、
② は、「① の、必要条件」である。
としても、
① は、「② の、必要十分条件」ではないので、
② も、「① の、必要十分条件」ではない。
然るに、
（14）
１ （１）Ｐ→Ｑ Ａ
２（２）Ｐ Ａ
１２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
であるものの、
１２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
であることを、
① Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
といふ「連式（Sequent）」で、表現する。
然るに、
（15）
① Ｐ＝悪天候である。
① Ｑ＝家に居る。
であるとして、
① Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
といふことは、
① 悪天候ならば、家に居る。悪天候である。├ 家に居る。
といふことである。
然るに、
（16）
「・・・・・という仮定が与えられたならば、・・・・・と正しく結論することが出来る」という煩雑な表現の略記法があれば好都合であろう。このためにわたしは、論理学の文献のなかでしばしば、しかし誤解を招きやすい仕方で、断定記号（assertion-sign）とよばれている記号、
├
を導入する。これは「故に」（therefore）と読むのが便利であろう。
従って、
（15）（16）により、
（17）
② Ｐ＝悪天候である。
② Ｑ＝家に居る。
であるとして、
② Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
といふことは、
② 悪天候ならば、家に居るが、悪天候なので、家に居る。
といふことである。
従って、
（17）により、
（18）
① 悪天候なので、家に居る。
② 悪天候ならば、家に居るが、悪天候なので、家に居る。
に於ける、
② 悪天候ならば、家に居る。
を「省略」した「形」が、
① 悪天候なので、家に居る。
といふ「表現」である。
といふことになる。
従って、
（18）により、
（19）
① 悪天候なので、家に居る。
② 悪天候ならば、家に居る。
に於いて、
① は、② を「含意」するものの、このことは、
① ならば、② である。
といふことに、他ならない。
従って、
（12）（17）（18）（19）により、
（20）
一般的に言って、
① Ｐ├ Ｑ
② Ｐ→ Ｑ
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
（01）
１ （１） Ａ→Ｂ 仮定
２ （２） ～Ｂ 仮定
３（３） Ａ 仮定
１ ３（４） Ｂ １３肯定肯定式
１２３（５）～Ｂ＆Ｂ ２４連言導入
１２ （６）～Ａ ３５条件法
１ （７）～Ｂ→～Ａ ２６条件法
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）「Ａならば、Ｂである。」として、その上、
（ⅱ）「Ｂでない。」とすると、
（ⅲ）「Ａでない。」
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）「Ａならば、Ｂである。」として、その上、
（ⅱ）「Ａである。」といふのであれば、
（ⅲ）「Ｂでない。」ではなく、
（ⅳ）「Ｂである。」といふことを、「必要」とする。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
（ⅰ）「Ａならば、Ｂである。」ならば、
（ⅱ）「Ｂである。」といふことは、
（ⅲ）「Ａである。」といふことの、「必要条件」である。
（05）
１ （１）Ａ→Ｂ 仮定
２（２）Ａ 仮定
１２（３） Ｂ １２肯定肯定式
１ （４）Ａ→Ｂ ２３条件法
従って、
（05）により、
（06）
（ⅰ）「Ａならば、Ｂである。」として、その上、
（ⅱ）「Ａである。」といふのであれば、そのまま、
（ⅲ）「Ｂである。」
従って、
（07）
（ⅰ）「Ａならば、Ｂである。」ならば、
（ⅱ）「Ａである。」といふことは、
（ⅲ）「Ｂである。」といふことの、「十分条件」である。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
① Ａ→Ｂ（Ａならば、Ｂである。）
に於いて、
① Ｂ は、「Ａであるための、必要条件」であって、
① Ａ は、「Ｂであるための、十分条件」である。
従って、
（08）により、
（09）
言ふ迄もなく、
② Ｂ→Ａ（Ｂならば、Ａである。）
に於いて、
② Ａ は、「Ｂであるための、必要条件」であって、
② Ｂ は、「Ａであるための、十分条件」である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
③（Ａ→Ｂ）＆（Ｂ→Ａ）
に於いて、
③ Ａ は、「Ｂであるための、必要・十分条件」であって、
③ Ｂ も、「Ａであるための、必要・十分条件」である。
然るに、
（11）
１ （１）Ｐ→Ｑ 仮定
２（２）Ｐ 仮定
１２（３） Ｑ １２肯定肯定式
であるならば、すなはち、
１ （１）Ｐならば、Ｑである。 仮定
２（２）Ｐである。 仮定
１２（３） Ｑである。 １２肯定肯定式
であるため、
① Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
① ＰならばＱである。Ｐである。├ Ｑである。
といふ「連式（Sequent）」は、「妥当（Valid）」である。
然るに、
（12）
「・・・・・という仮定が与えられたならば、・・・・・と正しく結論することが出来る」という煩雑な表現の略記法があれば好都合であろう。このためにわたしは、論理学の文献のなかでしばしば、しかし誤解を招きやすい仕方で、断定記号（assertion-sign）とよばれている記号、
├
を導入する。これは「故に」（therefore）と読むのが便利であろう。
従って、
（11）（12）により、
（13）
① Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
① ＰならばＱであるが、Ｐなので、 Ｑである。
といふ「連式（Sequent）」は、「妥当（Valid）」である。
従って、
（13）により、
（14）
① Ｐなので、Ｑである（Ｐ├ Ｑ）。
② Ｐならば、Ｑである（Ｐ→ Ｑ）。
に於いて、
② が「無けれ」ば、① ではない。
従って、
（14）により、
（15）
① Ｐなので、Ｑである（Ｐ├ Ｑ）。
② Ｐならば、Ｑである（Ｐ→ Ｑ）。
に於いて、
② は、① であるための、「必要条件」である。
従って、
（08）（15）により、
（16）
① Ｐなので、Ｑである（Ｐ├ Ｑ）。
② Ｐならば、Ｑである（Ｐ→ Ｑ）。
に於いて、
① は、② であるための、「十分条件」である。
然るに、
（17）
② Ｐならば、Ｑである（Ｐ→ Ｑ）。
としても、それだけでは、
① Ｐなので、Ｑである（Ｐ├ Ｑ）。
といふことには、ならない。
然るに、
（18）
① Ｐなので、Ｑである（Ｐ├ Ｑ）。
② Ｐならば、Ｑである（Ｐ→ Ｑ）。
に於いて、
② Ｐならば、Ｑである（Ｐ→ Ｑ）。
としても、それだけでは、
① Ｐなので、Ｑである（Ｐ├ Ｑ）。
といふことには、ならない。
といふことは、
② は、① であるための、「十分条件」ではない。
といふことである。
従って、
（15）（17）（18）により、
（19）
① Ｐなので、Ｑである（Ｐ├ Ｑ）。
② Ｐならば、Ｑである（Ｐ→ Ｑ）。
に於いて、
② は、① であるための、「必要条件」であるとしても、
② は、① であるための、「十分条件」ではない。
従って、
（19）により、
（20）
① Ｐなので、Ｑである（Ｐ├ Ｑ）。
② Ｐならば、Ｑである（Ｐ→ Ｑ）。
に於いて、
② は、① であるための、「必要条件」であるとしても、
② は、① であるための、「必要・十分条件」ではない。
従って、
（10）（16）（20）により、
（21）
① Ｐなので、Ｑである（Ｐ├ Ｑ）。
② Ｐならば、Ｑである（Ｐ→ Ｑ）。
に於いて、
① は、② であるための、「十分条件」であるとしても、
① は、② であるための、「必要・十分条件」ではない。
ｃｆ.
①＝② であるならば、そのときに限って、
（① ならば ②である。）＆（② ならば ① である。）
であって、
（① ならば ②である。）＆（② ならば ① である。）
であるならば、「① は、② の、必要・十分である。」
といふ点に、「注意」せよ。
従って、
（04）（07）（19）（21）により、
（22）
① Ｐなので、Ｑである（Ｐ├ Ｑ）。
② Ｐならば、Ｑである（Ｐ→ Ｑ）。
に於いて、
① は、② であるための、「十分条件」であって、
② は、① であるための、「必要条件」である。
従って、
（23）
例へば、
① 悪天候なので、家に居る（Ｐ├ Ｑ）。
② 悪天候ならば、家に居る（Ｐ→ Ｑ）。
に於いて、
① は、② であるための、「十分条件」であって、
② は、① であるための、「必要条件」である。
然るに、
（24）
① 悪天候なので、外出しない。
といふことが「言へる」のであれば、
② 悪天候ならば、外出しない。
といふ「命題」も、「真」でなければならない。
従って、
（24）により、
（25）
① 悪天候なので、外出しない。
② 悪天候ならば、外出しない。
に於いて、
① が「真」であるならば、② も「真」である。
従って、
（07）（25）により、
（26）
① 悪天候なので、外出しない。
② 悪天候ならば、外出しない。
に於いて、
① は、確かに、② であるための、「十分条件」である。
然るに、
（27）
② 悪天候ならば、外出しない。
ではなく、
② 悪天候であっとしても、外出する。
といふのであれば、
① 悪天候なので、外出しない。
といふ風には、「言へない」。
従って、
（27）により、
（28）
① 悪天候なので、外出しない。
② 悪天候ならば、外出しない。
に於いて、
② が「真」であることは、① が「真」であるための、「必要条件」である。
然るに、
（29）
② 悪天候ならば、外出しない。
としても、
① 悪天候。
ではない「段階」に於いては、
① 悪天候なので、外出しない。
とは、「言へない」。
従って、
（07）（29）により、
（30）
① 悪天候なので、外出しない。
② 悪天候ならば、外出しない。
に於いて、
② が「真」であることは、① が「真」であるための、「十分条件」ではない。
従って、
（22）（26）（28）（30）により、
（31）
例へば、
① 悪天候なので、外出しない。
② 悪天候ならば、外出しない。
に於いて、
① は、② であるための、「十分条件」であって、
② は、① であるための、「必要条件」である。
従って、
（05）（12）（22）（31）により、
（32）
１ （１）Ｐ→Ｑ Ａ
２（２）Ｐ Ａ
１２（３） Ｑ １２ＭＰＰ
といふ「計算」が、「妥当」であるが故に、
（３）Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
といふ「連式」は、「妥当」であり、それ故、
① Ｐなので、Ｑである（Ｐ├ Ｑ）。
② Ｐならば、Ｑである（Ｐ→ Ｑ）。
に於いて、
① は、② であるための、「十分条件」であって、
② は、① であるための、「必要条件」である。
といふ、ことになる。
（01）
① 悪天候なので、外出しない。
といふことが「言へる」のであれば、
② 悪天候ならば、外出しない。
といふ「命題」が、「真」でなければならない。
従って、
（02）
① 悪天候なので、外出しない。
② 悪天候ならば、外出しない。
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（03）
② 悪天候ならば、外出しない。
としても、
② 悪天候。
に至ってゐない「段階」では、
① 悪天候なので、外出しない。
といふことには、ならない。
従って、
（03）により、
（04）
① 悪天候なので、外出しない。
② 悪天候ならば、外出しない。
に於いて、
② ならば、① である。とは限らない。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① 悪天候なので、外出しない。
② 悪天候ならば、外出しない。
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
従って、
（05）により、
（06）
「当然」ではあるものの、
① 悪天候なので、外出しない。
② 悪天候ならば、外出しない。
に於いて、
①＝② ではない。
従って、
（05）（06）により、
（07）
① ＰなのでＱである（Ｐ├ Ｑ）。
② ＰならばＱである（Ｐ→ Ｑ）。
に於いて、
①⇒② であるが、
①＝② ではない。
然るに、
（08）
① １（１）Ｐ Ａ
と書くならば、
① Ｐ（１）Ｐ Ａ
と「同じこと」であって、
① Ｐ（１）Ｐ Ａ
といふことは、
① Ｐなので、Ｐである（Ｐ├ Ｐ）。
といふ「意味」である。
然るに、
（09）
ルカジェヴィッツによる公理
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）｛Ｐ→（Ｑ→Ｒ）｝→｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）｝
（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
（これはフレーゲが提出した６つの公理をより簡単にしたものである。）
（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
然るに、
（10）
（ⅰ）
１（１） Ｐ Ａ
１（２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １３ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ→ Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ→Ｒ １３ＭＰＰ
２３（５） Ｑ ２３ＭＰＰ
１２３（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１２ （７） Ｐ→Ｒ ３６ＣＰ
１ （８）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ２７ＣＰ
（９）｛Ｐ→（Ｑ→Ｒ）｝→
｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）｝ １８ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ→～Ｑ Ａ
２ （２） Ｑ Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
１ ３（４） ～Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｑ＆～Ｑ ２４＆Ｉ
１２ （６）～～Ｐ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１ （８） Ｑ→ Ｐ ２７ＣＰ
（９）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ） １８ＣＰ
従って、
（09）（10）により、
（11）
ルカジェヴィッツによる公理
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）｛Ｐ→（Ｑ→Ｒ）｝→｛（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）｝
（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
といふ「３つの公理」は、当然、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（08）（10）により、
（12）
１（１） Ｐ Ａ
１（２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
といふ「計算」は、
Ｐ（１） Ｐ Ａ
Ｐ（２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
Ｐ（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
といふ「計算」と、「同じこと」であって、
（１）Ｐなので「Ｐである。」
（２）Ｐなので「Ｑでないか、または、Ｐである。」
（３）Ｐなので「Ｑならば、Ｐである。」
といふ「意味」である。
然るに、
（13）
（１）Ｐなので「Ｐである。」
（２）Ｐなので「Ｑでないか、または、Ｐである。」
（３）Ｐなので「Ｑならば、Ｐである。」
といふのであれば、
（１）Ｐは「真」。
（２）Ｐは「真」。
（３）Ｐは「真」。
でなければ、ならない。
従って、
（13）により、
（14）
（１）Ｐ（真）なので「Ｐ（真）である。」
（２）Ｐ（真）なので「Ｑでないか、または、Ｐ（真）である。」
（３）Ｐ（真）なので「Ｑならば、Ｐ（真）である。」
然るに、
（15）
「真理表（Truth table）」により、
（３）「Ｑ（真）ならば、Ｐ（真）である。」
（〃）「Ｑ（偽）ならば、Ｐ（真）である。」
の場合は、両方とも、「真」である。
従って、
（10）～（15）により、
（16）
１（１） Ｐ Ａ
１（２）～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
に於ける、
１（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
といふ「行」は、
（３）Ｐ（が真）なので「Ｑ（の真・偽に拘らず）、Ｐ（は真）である。」
といふ「意味」になる。
従って、
（10）（16）により、
（17）
１（１） Ｐ Ａ
１（２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １３ＣＰ
に於ける、
（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １３ＣＰ
といふ「行」は、
（４）Ｐ（が真）ならば「Ｑ（の真・偽に拘らず）、Ｐ（は真）である。」
といふ「意味」になる。
従って、
（09）（10）（16）（17）により、
（18）
（１）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（〃）Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
といふ「ルカジェヴィッツによる公理１」は、
（１）Ｐ（が真）ならば「Ｑ（の真・偽に拘らず）、Ｐ（は真）である。」
といふ「意味」になる。
然るに、
（18）により、
（19）
（１）Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
といふ「言ひ方」は、「奇異」であるが、
（１）Ｐ（が真）ならば「Ｑ（の真・偽に拘らず）、Ｐ（は真）である。」
といふことは、「極めて、まともである」。
従って、
（10）（19）により、
（20）
（ⅰ）
１（１） Ｐ Ａ
１（２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １３ＣＰ
といふ「計算」の「結果」としての、
（１）Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
といふ「ルカジェヴィッツによる公理１」は、「極めて、当然である」。
然るに、
（21）
証明の各行の左側に、仮定を数字であげる方法は、伝統的な方法にくらべて遥かに明瞭であるとわたしには思われる。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、序ⅲ）
従って、
（07）（19）（20）（21）により、
（22）
１（１） Ｐ Ａ
１（２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １３ＣＰ
のやうな、『証明の各行の左側に、仮定を数字であげる方法』と、
① ＰなのでＱである（Ｐ├ Ｑ）。
② ＰならばＱである（Ｐ→ Ｑ）。
に於いて、
① ならば、② である。
といふことからすれば、
からすれば、
（１）Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
（〃）Ｐ（が真）ならば「Ｑ（の真・偽に拘らず）、Ｐ（は真）である。」
といふ「ルカジェヴィッツによる公理１」は、「極めて、当然である」。
（01）
（ⅰ）
１ （１）（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ） Ａ
２（２）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
１ （３） Ｆａ→Ｇａ １＆Ｅ
１ （４） Ｆｂ→Ｇｂ １＆Ｅ
１ （５） Ｆｃ→Ｇｃ １＆Ｅ
２（６） Ｆａ ２＆Ｅ
１２（７） Ｇａ ３６ＭＰＰ
２（８） Ｆｂ ２＆Ｅ
１２（９） Ｇｂ ４８ＭＰＰ
２（ア） Ｆｃ ２＆Ｅ
１２（イ） Ｇｃ ５アＭＰＰ
１２（ウ） Ｇａ＆Ｇｂ ７９＆Ｉ
１２（エ） Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ イウ＆Ｉ
１ （オ）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ２エＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
に於いて、
①⇒② である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１ （１）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） Ａ
２ （２） Ｆａ Ａ
３ （３） Ｆｂ Ａ
４（４） Ｆｃ Ａ
２３ （５） Ｆａ＆Ｆｂ ２３＆Ｉ
２３４（６）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） ４５＆イ
１２３４（７） （Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） １６ＭＰＰ
１２３ （８） Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ４７ＣＰ
１２ （９） Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］ ３８ＣＰ
１ （ア）Ｆａ→｛Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］｝ ２９ＣＰ
（ⅲ）
１ （１）Ｆａ→｛Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］｝ Ａ
２（２）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
２（３） Ｆａ ２＆Ｅ
２（４） Ｆｂ ２＆Ｅ
２（５） Ｆｃ ２＆Ｅ
１２（６） Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］ １３ＭＰＰ
１２（７） Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ４６ＭＰＰ
１２（８） （Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ５７ＭＰＰ
１ （９）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ２８ＣＰ
従って、
（03）により、
（04）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） →（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
③ Ｆａ→｛Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
①（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→ （Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
③ Ｆａ→｛Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］｝
に於いて、
①⇒② であって、
②＝③ である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１ （１）（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
１ （３） Ｆａ→Ｇａ １＆Ｅ
１２（４） Ｇａ ２３ＭＰＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｆａ→｛Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］｝ Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
１２（３） ｛Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］｝ １２ＭＰＰ
従って、
（06）により、
（07）
①（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）， Ｆａ├ Ｇａ
③ Ｆａ→｛Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］｝，Ｆａ├ Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］
従って、
（07）により、
（08）
①（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
③ Ｆａ→｛Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］｝
に於いて、
① の場合は、その上、「Ｆａ（ａはＦである）」ならば、そのまま、直ちに、「Ｇａ（ａはＧである）」が、
③ の場合は、その上、「Ｆａ（ａはＦである）」であったとしても、直ちに、「Ｇａ（ａはＧである）」といふことには、ならない。
従って、
（08）により、
（09）
①（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
③ Ｆａ→｛Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］｝
に於いて、
①＝③ ではない。
従って、
（05）（09）により、
（10）
①（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） →（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
③ Ｆａ→｛Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］｝
に於いて、
①⇒② であって、
②＝③ であるが、
①＝③ ではない。
従って、
（10）により、
（11）
①⇒② であるが、
①＝② ではない。
従って、
（10）（11）により、
（12）
①（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
に於いて、
①⇒②（①ならば②である）が、逆に、
②⇒①（②ならば①である）ではない。
然るに、
（13）
｛ａ，ｂ，ｃ｝の３つが「変域（ドメイン）」であるならば、
①（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
といふ「式」は、
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
といふ「述語論理式」に「相当」する。
然るに、
（14）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２（２） ∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
１ （３） Ｆａ→Ｇａ １ＵＥ
２（４） Ｆａ ２ＵＥ
１２（５） Ｇａ ３４ＭＰＰ
１２（６） ∀ｘ（Ｇｘ） ５ＵＩ
１ （７）∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ） ２６ＣＰ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３）∀ｘ（Ｆｘ） ２ＵＩ
１２（４） ∀ｘ（Ｇｘ） １３ＭＰＰ
１２（５） Ｇａ ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ→Ｇａ ２５ＣＰ
１ （７）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ６ＵＩ
然るに、
（14）により、
（15）
２（２） Ｆａ Ａ
２（３）∀ｘ（Ｆｘ） ２ＵＩ
に関しては、「ＵＩ」の「規則」に対する、「違反」である。
従って、
（14）（15）により、
（16）
「述語計算」としても、当然、
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
①⇒②（①ならば②である）が、逆に、
②⇒①（②ならば①である）ではない。
従って、
（12）（16）により、
（17）
「述語計算」と「同じ結果」になるのだから、
（ⅰ）
１ （１）（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ） Ａ
２（２）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
１ （３） Ｆａ→Ｇａ １＆Ｅ
１ （４） Ｆｂ→Ｇｂ １＆Ｅ
１ （５） Ｆｃ→Ｇｃ １＆Ｅ
２（６） Ｆａ ２＆Ｅ
１２（７） Ｇａ ３６ＭＰＰ
２（８） Ｆｂ ２＆Ｅ
１２（９） Ｇｂ ４８ＭＰＰ
２（ア） Ｆｃ ２＆Ｅ
１２（イ） Ｇｃ ５アＭＰＰ
１２（ウ） Ｇａ＆Ｇｂ ７９＆Ｉ
１２（エ） Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ イウ＆Ｉ
１ （オ）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ２エＣＰ
（ⅱ）
１ （１）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） Ａ
２ （２） Ｆａ Ａ
３ （３） Ｆｂ Ａ
４（４） Ｆｃ Ａ
２３ （５） Ｆａ＆Ｆｂ ２３＆Ｉ
２３４（６）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） ４５＆イ
１２３４（７） （Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） １６ＭＰＰ
１２３ （８） Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ４７ＣＰ
１２ （９） Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］ ３８ＣＰ
１ （ア）Ｆａ→｛Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］｝ ２９ＣＰ
（ⅲ）
１ （１）Ｆａ→｛Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］｝ Ａ
２（２）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
２（３） Ｆａ ２＆Ｅ
２（４） Ｆｂ ２＆Ｅ
２（５） Ｆｃ ２＆Ｅ
１２（６） Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］ １３ＭＰＰ
１２（７） Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ４６ＭＰＰ
１２（８） （Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ５７ＭＰＰ
１ （９）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ２８ＣＰ
といふ「計算」は、「不要」であると言へば、「不要」である。
しかしながら、
（18）
①（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） →（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
③ Ｆａ→｛Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］｝
といふ風に、「書くこと」によって、
②＝③ であることが、「明確」になり、その「結果」として、
①⇒② であることが、「明確」になり、
②⇒① でないことが、「明確」になる。
（19）
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
といふ「式」は、幾らか「抽象的」であって、
①（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→ （Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
といふ「式」は、十分に「具体的」であって、「分り易い」。
ただし、
（20）
（ⅰ）
１ （１）（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ） Ａ
２（２）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
１ （３） Ｆａ→Ｇａ １＆Ｅ
１ （４） Ｆｂ→Ｇｂ １＆Ｅ
１ （５） Ｆｃ→Ｇｃ １＆Ｅ
２（６） Ｆａ ２＆Ｅ
１２（７） Ｇａ ３６ＭＰＰ
２（８） Ｆｂ ２＆Ｅ
１２（９） Ｇｂ ４８ＭＰＰ
２（ア） Ｆｃ ２＆Ｅ
１２（イ） Ｇｃ ５アＭＰＰ
１２（ウ） Ｇａ＆Ｇｂ ７９＆Ｉ
１２（エ） Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ イウ＆Ｉ
１ （オ）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ２エＣＰ
といふ「計算」より、
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２（２） ∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
１ （３） Ｆａ→Ｇａ １ＵＥ
２（４） Ｆａ ２ＵＥ
１２（５） Ｇａ ３４ＭＰＰ
１２（６） ∀ｘ（Ｇｘ） ５ＵＩ
１ （７）∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ） ２６ＣＰ
といふ「述語計算」の方が、「手間が、掛からない」。
従って、
（20）により、
（21）
「分り易い」からと言って、「毎回・毎回」、
（ⅰ）
１ （１）（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ） Ａ
２（２）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
１ （３） Ｆａ→Ｇａ １＆Ｅ
１ （４） Ｆｂ→Ｇｂ １＆Ｅ
１ （５） Ｆｃ→Ｇｃ １＆Ｅ
２（６） Ｆａ ２＆Ｅ
１２（７） Ｇａ ３６ＭＰＰ
２（８） Ｆｂ ２＆Ｅ
１２（９） Ｇｂ ４８ＭＰＰ
２（ア） Ｆｃ ２＆Ｅ
１２（イ） Ｇｃ ５アＭＰＰ
１２（ウ） Ｇａ＆Ｇｂ ７９＆Ｉ
１２（エ） Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ イウ＆Ｉ
１ （オ）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ２エＣＰ
といふ「計算」を、するわけには、いかない。
（01）
① □（α→β）├ □α→□β
といふ「式」は、「様相論理の式」であって（？）、
①（αならばβであること）は「必然」である。故に、（αであることが「必然」である）あるならば、（βであることも「必然」である）。
といふ「意味」である（？）。
従って、
（01）により、
（02）
① □（Ｆｘ→Ｇｘ）├ □Ｆｘ→□Ｇｘ
といふ「様相論理の式」が、有るのであれば、
①（ＦｘならばＧｘであること）は「必然」である。故に、（Ｆｘであることが「必然」である）あるならば、（Ｇｘであることも「必然」である）。
といふ「意味」に、なるはずである（？）。
然るに、
（03）
①（ＦｘならばＧｘであること）は「必然」である。故に、（Ｆｘであることが「必然」である）あるならば、（Ｇｘであることも「必然」である）。
といふことは、
② すべてのｘについて（ｘがＦであるならば、ｘはＧである）。故に、すべてのｘについて（ｘがＦである）ならば、すべてのｘについて（ｘがＦである）。
といふことに、他ならない。
然るに、
（04）
② すべてのｘについて（ｘがＦであるならば、ｘはＧである）。故に。すべてのｘについて（ｘがＦである）ならば、すべてのｘについて（ｘがＦである）。
といふことは、「述語論理の式」としては、
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
といふ「式」になる。
然るに、
（05）
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２（２） ∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
１ （３） Ｆａ→Ｇａ １ＵＥ
２（４） Ｆａ ２ＵＥ
１２（５） Ｇａ ３４ＭＰＰ
１２（６） ∀ｘ（Ｇｘ） ５ＵＩ
１ （７）∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ） ２６ＣＰ
従って、
（04）（05）により、
（06）
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
といふ「式」は、「述語論理の式」として、「妥当」である。
然るに、
（07）
｛ａ，ｂ，ｃ｝の３つが「変域（ドメイン）」であるならば、
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）
といふ「式」は、
②（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「式」に、「等しい」。
然るに、
（08）
１ （１）（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ） Ａ
２（２）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
１ （３） Ｆａ→Ｇａ １＆Ｅ
１ （４） Ｆｂ→Ｇｂ １＆Ｅ
１ （５） Ｆｃ→Ｇｃ １＆Ｅ
２（６） Ｆａ ２＆Ｅ
１２（７） Ｇａ ３６ＭＰＰ
２（８） Ｆｂ ２＆Ｅ
１２（９） Ｇｂ ４８ＭＰＰ
２（ア） Ｆｃ ２＆Ｅ
１２（イ） Ｇｃ ５アＭＰＰ
１２（ウ） Ｇａ＆Ｇｂ ７９＆Ｉ
１２（エ） Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ イウ＆Ｉ
１ （オ）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ２エＣＰ
従って、
（08）により、
（09）
②（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）├（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
といふ「式」は、「妥当」である。
従って、
（06）～（09）により、
（10）
｛ａ，ｂ，ｃ｝の３つが「変域（ドメイン）」であるならば、
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
といふ「式」は、
②（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）├（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
といふ「式」に「等しく」、尚且つ、
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
②（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）├（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
といふ「式」は、２つとも、「妥当」である。
然るに、
（11）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
といふ「式」は、「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」により、
③（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）∨（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
といふ「式」に、「等しい」。
然るに、
（12）
③（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）∨（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
といふ「式」は、
③（～Ｆａ）だけが「真（本当）」であって、
③（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）が「偽（ウソ）」であっても「真」である。
然るに、
（12）により、
（13）
（ⅲ）
１（１）～Ｆａ Ａ
１（２）～Ｆａ∨Ｇａ １∨Ｉ
１（３） Ｆａ→Ｇａ ２含意の定義
従って、
（13）により、
（14）
③（～Ｆａ） だけが「真」であるならば、
③（Ｆａ→Ｇａ）だけが「真」であって、
②（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
といふ「３つ」が「３つとも真」になる。といふことは、無い。
従って、
（09）～（14）により、
（15）
②（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）├（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
③（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）├（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
に於いて、
② は「妥当」であるが、その「逆」である、
③ は「妥当」ではない。
従って、
（10）（15）により、
（16）
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
② は「妥当」であるが、その「逆」である、
③ は「妥当」ではない。
然るに、
（17）
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３）∀ｘ（Ｆｘ） ２ＵＩ
１２（４） ∀ｘ（Ｇｘ） １３ＭＰＰ
１２（５） Ｇａ ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ→Ｇａ ２５ＣＰ
１ （７）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ６ＵＩ
然るに、
（17）により、
（18）
２（２） Ｆａ Ａ
２（３）∀ｘ（Ｆｘ） ２ＵＩ
に関しては、「ＵＩ」の「規則」に対する、「違反」である。
従って、
（16）（17）（18）により、
（19）
いづれにせよ、
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
② は「妥当」であるが、その「逆」である、
③ は「妥当」ではない。
然るに、
（20）
〈公理〉
Ａ３．□（α⊃β）⊃ （□Ｆｘ⊃□Ｇｘ）
（大窪徳行・田畑博敏、論理学の方法、1994年、１９２頁改）
然るに、
（21）
Ａ３．□（α⊃β）⊃ （□Ｆｘ⊃□Ｇｘ）
といふ「表記」は、
Ａ３．□（α→β）├ （□α⊃□β）
といふ風に書いても、「同じこと」である。
従って、
（02）（19）（20）（21）により、
（22）
① □（Ｆｘ→Ｇｘ）├ □Ｆｘ→□Ｇｘ
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① は「様相論理の式」であって、「逆は、成立せず」、
② は「述語論理の式」であって、「逆は、成立しない」。
従って、
（20）により、
（21）
① □（Ｆｘ→Ｇｘ）├ □Ｆｘ→□Ｇｘ
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
に於ける、
①「様相論理の、□（必然的）」といふ「記号」は、
②「述語論理の、∀（全ての）」といふ「記号」の、「仲間」であると、思はれる。