平方完成は、ax^2+bx+cの形の2次式を
a(x+p)^2+qの形に直す計算である。
a(x+p)^2+q=ax^2+2apx+ap^2+q
だから係数を比較して、
2ap=b→p=b/(2a)
ap^2+q=c→q=-ap^2+c
したがって、
==============================
p=b/(2a)とすると、
ax^2+bx+c=a(x+p)^2-ap^2+c
==============================
(例①)3x^2+2x+1
p=2/6=1/3
3x^2+2x+1=3(x+1/3)^2-3×(1/3)^2+1
=3(x+1/3)^2-1/3+1
=3(x+1/3)^2+2/3
(例②)2x^2-4x+5
p=-4/4=-1
2x^2-4x+5=2(x-1)^2-2×(-1)^2+5
=2(x-1)^2+3
(例③)-2x^2+6x-1
p=-6/4=-3/2
-2x^2+6x-1=-2(x-3/2)^2+2×(-3/2)^2-1
=-2(x-3/2)^2+9/2-1
=-2(x-3/2)^2+7/2
(例④)x^2+6x+11
p=6/2=3
x^2+6x+11=(x+3)^2-3^2+11
=(x+3)^2+2
(例⑤)
f(x)=-2/3x^2+6/5x+3/4
p=6/5÷(-4/3)=-6/5×3/4=-9/10
f(x)
=-2/3(x-9/10)^2+2/3×81/100+3/4
=-2/3(x-9/10)^2+54/100+75/100
=-2/3(x-9/10)^2+129/100
〔※aが分数のときは、b/(2a)をb÷2aで計算する。〕
(例⑥)
f(x)=ax^2-2(a+3)x-3a+21
p=-(a+3)/a
f(x)=a{x-(a+3)/a}^2-(a+3)^2/a-3a+21
=a{x-(a+3)/a}^2-{(a+3)^2+3a^2-21a}/a
=a{x-(a+3)/a}^2-(4a^2-15a+9)/a
(2022/3/29)
