3文字の基本対称式
a+b+c=α
ab+bc+ca=β
abc=γ
==============================
対称式は、基本対称式の多項式で表すことができる。
==============================
【第0章 準備】
P[n]=a^n+b^n+c^nとする。
(x-a)(x-b)(x-c)=0
x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0
a,b,cは、x^3-αx^2+βx-γ=0の解である。
a^3-αa^2+βa-γ=0→a^nを掛けると、
a^(n+3)-αa^(n+2)+βa^(n+1)-γa^n=0
同様に
b^(n+3)-αb^(n+2)+βb^(n+1)-γb^n=0
c^(n+3)-αc^(n+2)+βc^(n+1)-γc^n=0
辺々を足す
P[n+3]-αP[n+2]+βP[n+1]-γP[n]=0
P[n+3]=αP[n+2]-βP[n+1]+γP[n]
という漸化式が成り立つ
P[0]=a^0+b^0+c^0=3
P[1]=a+b+c=α
P[2]=a^2+b^2+c^2
=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=α^2-2β
漸化式を利用して、数学的帰納法により、
P[n]は、α,β,γで表すことができる。
P[3]=α(α^2-2β)-βα+3γ=α^3-3αβ+3γ
【第１章 対称式の分解】
a,b,cの多項式は、
k(a^s)(b^t)(c^u)の和で表すことができる
①文字が1つの項
a^sを項に持てば、b^s, c^sを項に持つ
その和S[1]=a^s+b^s+c^s=P[s]
S[1]は成り立つ
②文字が2つの項(A：s≠t)
(a^s)(b^t)を項に持てば、
(a^s)(c^t), (b^s)(a^t), (c^s)(b^t)を項に持ち、(b^s)(c^t),(c^s)(a^t)も項に持つ
その和S[2]
=(a^s)(b^t+c^t)+(b^s)(a^t+c^t)
+(c^s)(a^t+b^t)
=(a^s)(P[t]-a^t)+(b^s)(P[t]-b^t)
+(c^s)(P[t]-c^t)
=(a^s+b^s+c^s)P[t]-P[s+t]
=P[s]P[t]-P[s+t]
S[2]は成り立つ
③文字が2つの項(B：s=t)
(a^s)(b^s)を項に持てば、
(b^s)(c^s), (c^s)(a^s)を項に持つ
その和S[3]=(ab)^s+(bc)^s+(ca)^s
Q[n]=(ab)^n+(bc)^n+(ca)^nとする。
(x-ab)(x-bc)(x-ca)=0
x^3-(ab+bc+ca)x^b+abc(a+b+c)x-(abc)^2=0
ab,bc,caは、x^3-βx^2+αγx-γ^2=0の解
P[n]と同様に吟味すると、
Q[n+3]=βQ[n+2]-αγQ[n+1]+γ^2Q[n]
という漸化式が成り立つ
Q[0]=3
Q[1]=ab+bc+ca=β
Q[2]=(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)
=β^2-2αγ
漸化式を利用して、数学的帰納法により、
Q[n]は、α,β,γで表すことができる。
S[3]=Q[s]より、成り立つ
④文字が3つの項s,t,uは正の整数
(A)s,t,uがすべて異なる
Fが(a^s)(b^t)(c^u)の項を持てば、
(a^s)(c^t)(b^u)
(b^s)(a^t)(c^u)
(b^s)(c^t)(a^u)
(c^s)(a^t)(b^u)
(c^s)(b^t)(a^u)
も項に持つ。
s＞t＞uとしても、一般性を失わない
この6つの項の和をS[4]とする。
p=s-u, q=t-uとする。
T=(a^p)(b^q)+(a^p)(c^q)+(b^p)(a^q)
+(b^p)(c^q)+(c^p)(a^q)+(c^p)(b^q)
=(a^p)(b^q+c^q)+(b^p)(c^q+a^q)
+(c^p)(a^q+b^q)
=(a^p)(P[q]-a^q)+(b^q)(P[q]-b^q)
+(c^q)(P[q]-c^q)
=(a^p+b^p+c^p)P[q]-P[p+q]
=P[p]P[q]-P[p+q]
S[4]=γ^u×T
S[4]も成り立つ
(B)s＞t=uのとき、
Fが(a^s)(b^t)(c^t)を項に持てば、
(b^s)(a^t)(c^t), (c^s)(b^t)(a^t)も項に持つ
この3つの項の和をS[5]とする。
p=s-tとする。
S[5]=(abc)^t(a^p+b^p+c^p)
=γ^t×P[p]
S[5]も成り立つ
(C)s=t＞uのとき、
Fが(a^s)(b^s)(c^u)を項に持てば、
(c^s)(b^s)(a^u), (a^s)(c^s)(b^u)も項に持つ
この3つの項の和をS[6]
p=s-uとする。
S[6]=(abc)^u×{(ab)^p+(bc)^p+(ca)^p}
=γ^u×Q[p]
S[6]も成り立つ
(D)s=t=uのとき、
P[7]=(a^s)(b^s)(c^s)=(abc)^s=γ^s
成り立つ
【第２章 対称式】
==============================
対称式は、P[1]~P[7]の和で表すことができるから、
対称式Fもα,β,γの多項式で表すことができる。
==============================
(例)
a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b
=a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)
=a^2(P[1]-a)+b^2(P[1]-b)+c^2(P[1]-c)
=(a^2+b^2+c^2)P[1]-a^3-b^3-c^3
=P[2]P[1]-P[3]
=(α^2-2β)α-(α^3-3αβ+3γ)
=αβ-3γ
〔※②-(A)のケース〕
