2文字の対称式
基本対称式 a+b=s, ab=t
==============================
任意の対称式は、基本対称式の式で表すことができる。
==============================
【証明】
P[n]=a^n+b^nとする。
a,bを解に持つ2次方程式は
(x-a)(x-b)=0
x^2-(a+b)x+ab=0
x^2=sx-t
a,bは解だから、
a^2=sa-t→a^(n+2)=sa^(n+1)-ta^n
b^2=sb-t→b^(n+2)=sb^(n+1)-tb^n
辺々を足す。
P[n+2]=sP[n+1]-tP[n]
P[0]=2
P[1]=a+b=s
数学的帰納法により、
漸化式を利用してP[n]をs,tで表すことができる。
P[2]=sP[1]-tP[0]=s^2-2t
P[3]=s(s^2-2t)-ts=s^3-3st
P[4]=s(s^3-3st)-t(s^2-2t)=s^4-4s^2t+2t^2
P[5]=s^5-4s^3t+2st^2-s^3t+3st^2
=s^5-5s^3t+5st^2
(a^m)(b^n)の項を持てば、(a^n)(b^m)の項を持つ。
m,nの小さい方をqとし、大きい方-qをrとする。
(a^m)(b^n)+(a^n)(b^m)
=(ab)^q×(a^r+b^r)
=t^q ×P[r]
P[r]は、s,tで表すことができるから、
(a^m)(b^n)+(a^n)(b^m)も、s,tで表すことができる。
対称式は、Σ{(a^m)(b^n)+(a^n)(b^m)}と表すことができるから、
対称式は、s,tで表すことができる。
【証明終】
(例①)
3a^2+5ab+3b^2
=3(a^2+b^2)+5ab
=3P[2]+5t
=3(s^2-2t)+5t
=3s^2-t
(例②)
a^4+a^3b+ab^3+b^4
=(a^4+b^4)+ab(a^2+b^2)
=P[4]+tP[2]
=s^4-4s^2t+2t^2-t(s^2-2t)
=s^4-5s^2t+4t^4
(例③)
x+1/x=sのとき、x^5+1/x^5の値
x×1/x=1→(t=1)
x^5+1/x^5=P[5]=s^5-5s^3+5s
