x=-2+√5とする。
x^7+(1/x)^7の値を求めよ。
【解】
1/x=1/(√5-2)=√5+2
√5-2と√5+2を解とする2次方程式は、
x^2-2√5n+1=0
p[n]=α^n+β^n とする。
(α^n+β^n)(α+β)
=α^(n+1)+β^(n+1)+αβ{α^(n-1)+β^(n-1)}
よって、
p[n+1](α+β)=p[n+2]+αβp[n]
p[n+2]-(α+β)p[n+1]+αβp[n]=0
p[n+2]=(α+β)p[n+1]-αβp[n]
p[n]=x^n+(1/x)^nとする。
p[n+2]=2√5p[n+1]-p[n]
p[0]=2, p[1]=2√5
p[2]=2√5p[1]-p[0]=20-2=18
p[3]=2√5p[2]-p[1]=36√5-2√5=34√5
p[4]=2√5p[3]-p[2]=340-18=322
p[5]=2√5p[4]-p[3]=644√5-34√5=610√5
p[6]=2√5p[5]-p[4]=6100-322=5778
p[7]=2√5p[6]-p[5]=11556√5-610√5
=10946√5
【別解】
(x+1/x)^2=x^2+(1/x)^2+2
p[n]=x^n+(1/x)^nとする。
p[2]=x^2+(1/x)^2=(x+1/x)^2-2=18
p[3]=(x+1/x)^3-3x(1/x)(x+1/x)
=40√5-6√5=34√5
p[4]=(p[2])^2-2x^2(1/x)^2
=324-2=322
p[3]p[4]=p[7]+x^3(1/x)^3(x+1/x)
p[7]=34√5×322-2√5=10946√5
(2024/3/3)