a,bの少なくとも一方は整数とし、kを自然数とし、a^2+b^2=k^2とする。
このとき、x^2=a+biを解く。
a+bi=p(cosα+isinα)とする。
p=√(a^2+b^2)=k, cosα=a/p, sinα=b/p
x=c+di=r(cosθ+isinθ)とする。
c=rcosθ, d=rsinθ
x^2
=r^2(cos2θ+isin2θ)=p(cosα+sinα)
よって、
r^2=p
cos2θ=cosα→2(cosθ)^2-1=a/p
sin2θ=sinα→2sinθcosθ=b/p
2(rcosθ)^2-p=a
2c^2=a+p
c^2=(a+p)/2→c^2=(a+√(a^2+b^2))/2
2(rsinθ)(rcosθ)=b
2cd=b
【例】x^2=5+12i
p^2=5^2+12^2=169→p=13
c^2=(5+13)/2=9→c=±3
6d=12→d=2
よって、
x=±(3+2i)
【例】x^2=3-4i
p^2=3^2+(-4)^2=25→p=5
c^2=(3+5)/2=4→c=±2
4d=-4→d=-1
よって、
x=±(2-i)
【例】x^2=2+√5i
p^2=2^2+(√5)^2=9→p=3
c^2=(2+3)/2=5/2→c=±√5/√2=±√10/2
√10d=√5→d=1/√2=√2/2
よって、
x=±(√10+√2i)/2
【例】x^2=√7+3i
p^2=(√7)^2+3^2=16→p=4
c^2=(√7+4)/2→c=±√(4+√7)/√2
√(4+√7)=(√7+1)/√2だから
c=±(√7+1)/2
(√7+1)d=3→d=3/(√7+1)=3(√7-1)/6
=(√7-1)/2
よって、
x=±{(√7+1)/2+{(√7-1)/2}i}
※a,b共に整数でないときやa^2+b^2=k^2
でないときは、cは外れない二重根号になる。
(2024/3/18)
連立方程式
c^2-d^2=a
2cd=b
(c+di)^2=(c^2-d^2)+2cdi=a+bi
x^2=a+biを解くことになる。
【例】連立方程式
c^2-d^2=5
2cd=√11
【解】
x^2=5+√11i
p^2=5^2+(√11)^2=36→p=6
c^2=(5+6)/2=11/2→c=±√22/2
√22d=√11→d=√2/2
よって、
x=±{√22/2+(√2/2)i}
したがって、
(c,d)=(√22/2, √2/2)(-√22/2, -√2/2)
(2024/3/19)
