√10+√15の整数部分を求める。
【解】
p=√10+√15とする。
p^2=(10+15)+2√150=25+√600
24^2=576＜600＜625=25^2より、
24＜√600＜25
25+24＜25+√600＜25+25
49＜r^2＜50＜64だから
7^2＜r^2＜8^2
よって、7＜r＜8
したがって、
√10+√15の整数部分は、7
√10+√15=√(3^2+1)+√(4^2-1)
となることから、
p=√(a^2+k)+√(b^2-k)の場合が気になった。
y=√x=x^(1/2)だから、
y'=(1/2)x^(-1/2)
y"=-(1/4)x^(-3/2)
y=√xは増加関数であるが、その増加量はだんだん減少する。
√(a^2+k)=a+α→√(a^2+k)-a=α
√(b^2-k)=b-β→b-√(b^2-k)=β
a＜b⇒α＞β⇒√(a^2+k)-a＞b-√(b^2-k)
⇒√(a^2+k)+√(b^2-k)＞a+b
a≧b⇒α＜β⇒√(a^2+k)-a＜b-√(b^2-k)
⇒√(a^2+k)+√(b^2-k)＜a+b
整数部分を考えるため、kに範囲がある。
√(5^2+12)=√37＞6となり、整数部分がaとbでは確定できない。
(a-1)^2＜a^2+k＜(a+1)^2
a^2-2a+1＜a^2+k＜a^2+2a+1
-2a+1＜k＜2a+1
よって、
a,bの小さい方c→1≦k≦2c
このとき、0＜α＜1, 0＜β＜1
√(a^2+k)+√(b^2-k)
=(a+α)+(b-β)=a+b+(α-β)
-1＜α-β＜1だから、
p=√(a^2+k)+√(b^2-k)
a＜b⇒pの整数部分は、a+b
a≧b⇒pの整数部分は、a+b-1
ただし、a,bの小さい方をc→1＜k＜2c
【例】
√26+√2024の整数部分
√26+√2024=√(5^2+1)+√(45^2-1)より、
整数部分は、5+45=50
√26+√2024=50.087907030401
【例】
√13+√39の整数部分
√13+√39=√(4^2-3)+√(6^2+3)より、
整数部分は、4+6-1=9
√13+√39=9.850549273862
(2024/2/22)
