「現代数学への入門 数論入門」

「現代数学への入門　数論入門」

昨日は仕事で酷い目にあったが、まだGW中に蓄えた余力が残っていたため、９時頃アジトへ行って、「現代数学への入門　数論入門」（山本芳彦著）をずっと読んでいた。これまでに何度となく手に取り、繰り返し読んでいる好著である。

適当に細かく書いているところもあれば、ざっくり定理だけ載せて証明はせず、例を用いてイメージを掴めるところもある。一つのお話として分かったような気分になる。でも実際の処は、分かったような気になっているだけで、分かってない場合が多々ある。だから他の本で詳しく勉強して、改めて読むと、新しい発見があったり、逆に他の本で分からなかったところを、この本を読み直すと分かったような気になるのである。是非、おすすめの一冊である。

一応、章構成だけでも紹介しておこう。
第１章　有理整数環
第２章　合同式
第３章　剰余環
第４章　平方剰余の相互法則
第５章　ディリクレ指標
第６章　２次体の整数論
第７章　代数の整数論
第８章　楕円モジュラー関数
第９章　楕円曲線
第１０章　超楕円曲線とヤコビ多様体

今日は３章から７章まで斜め読み。特に「数学のかんどころ１５　素数と２次体の整数論」（青木昇著）で良くわからなかった、イデアル類群と類数のところを集中的に読み、分かったような気になったのと、２次体から代数体の整数まで拡張した時の整数論がどう変わるのか、そして類数公式によって整数論における類数とゼータ関数が結びつくというゼータ関数との不思議な結び付きについて、分かったような気になった点が収穫。やっぱりこの本は楽しい。

家に帰ってさらに第８章を読んだ。途中まで理解できたが、楕円モジュラー関数の訳の分からない計算式が出てきて、類多項式が出てきて、これらの根を付け加えたガロア拡大と類体が一致して、そこからアルチンの相互法則により、素イデアル分解がつまびらかに明らかになるようなことが書いてあったのだが、さっぱり分からんかったよ。玉砕。やっぱり類体論の敷居は高いなあ。

さらに第９章を読んだ。ここでは楕円曲線上で加法が定義でき、有限生成アーベル群になるという有名なモーデルーヴェイユの定理とj-不変量、虚数乗法の紹介がされている。楕円曲線暗号をマスターするには必須の知識である。面白いよ。

さて、残すところ第１０章のみだが、さすがに疲れた。とりあえず、明日中には、第１０章を読んで読了といきたい。という訳で全て紹介できなかったが、あしからず。

後記
今日はNHK土曜ドラマ夜１０時から「６４」を見た。面白かった。来週は最終回のようだ。最後まで引っ張るところは、なかなかのものである。やっぱりドラマはNHKが面白い。