国家一般職（高卒）の数的推理 2

2021年出題。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図のような縦12cm、横21cmの長方形ABCDがあり、辺ABの中点をEとし、辺CDの中点をFとする。　　　　　　　　　　　　　　　　　　点Pは線分FE上を点Fの位置から毎秒1cmの速度で、点Qは辺BC上を点Bの位置から毎秒2cmの速度で同時に移動する。　　　　　　　　　　　　　このとき、三角形APQの面積が、最初に長方形ABCDの面積の7分の1になるのは、点P及び点Qが移動を始めてから何秒後か。（選択肢省略）
長方形の面積の7分の1は、21×12÷7=36なので、三角形APQの面積が初めて36になるときを求めます。　　　　　　　　　　　　　　　　　　普通に、x秒後に三角形APQの面積が36になるとして、方程式をつくりましょう。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図は、こんな感じですね。
もちろん、斜線部の三角形の面積は、長方形ABCD−三角形ABQ−台形PQCF−台形APFDとなるところですが、そういう方程式にすると、かなり式が難しくなります。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　そこで、工夫をします。　　　　　　　　　　　　　　　　三角形APQの辺AQと線分EFの交点をRとして、三角形APQを、三角形ARPと三角形QRPに分割します。
RPの長さはxを使ってどう表されるでしょうか?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　中点連結定理②より、ER=xだから、RP=21−2x。




また、三角形ARPも、三角形QRPも、底辺がRPで、高さが6cmなのだから、同じ面積。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三角形APQ=2×三角形ARPです。　　　　　　　　　　　よって、
正解は、7.5秒後です。