（01）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）兎の耳は長く、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）有る兎は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
３ （〃）あるｘは兎であって象である。 Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
２ ６ （イ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
ウ（ウ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ６ （エ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （オ） ～鼻ｂａ→～長ｂ エＵＥ
２ ６ （カ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （キ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ カＵＥ
ウ（ク） 耳ｂａ ウ＆Ｅ
２ ６ウ（ケ） ～鼻ｂａ キクＭＰＰ
１２ ６ウ（コ） ～長ｂ オケＭＰＰ
ウ（サ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１２ ６ウ（シ） 長ｂ＆～長ｂ コサ＆Ｉ
１２ ６ （ス） 長ｂ＆～長ｂ イウシＥＥ
１２３ （セ） 長ｂ＆～長ｂ ３６スＥＥ
１２ （ソ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３セＲＡＡ
１２ （タ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） ソ量化子の関係
１２ （チ） ～（兎ａ＆象ａ） タＵＥ
１２ （ツ） ～兎ａ∨～象ａ チ、ド・モルガンの法則
１２ （テ） 兎ａ→～象ａ ツ含意の定義
１２ （ト）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） テＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 テＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 テＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（１）象は鼻が長い。 然るに、
（２）兎の耳は長く、兎の耳は鼻ではない。 従って、
（ト）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① 象は鼻が長い。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻がでないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（04）
１ （１）象は鼻と牙が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗｘ∨牙ｗｘ）｝ Ａ
２ （２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではないし、牙でもない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ＆～牙ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）ある兎は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ＆～牙ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚａ＆長ｚ）＆∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ＆～牙ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
ウ （エ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１ ６ （オ） ∀ｗ（長ｗ→鼻ｗａ∨牙ｗａ） ９＆Ｅ
１ ６ （カ） 長ｂ→鼻ｂａ∨牙ｂａ オＵＥ
２ ６ （キ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
ク （ク） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
ク （ケ） 耳ｂａ ク＆Ｅ
ク （コ） 長ｂ ク＆Ｅ
２ ６ （サ） ∀ｘ（耳ｚａ→～鼻ｚａ＆～牙ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （シ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ＆～牙ｂａ サＵＥ
１ ６ ク （ス） 鼻ｂａ∨牙ｂａ カコＭＰＰ
２ ６ ク （セ） ～鼻ｂａ＆～牙ｂａ ケシＭＰＰ
ソ （ソ） 鼻ｂａ Ａ
２ ６ ク （タ） ～鼻ｂａ セ＆Ｅ
２ ６ クソ （チ） ～鼻ｂａ＆鼻ｂａ ソタ＆Ｉ
２ ６ ソ （ツ） ～長ｂ コチＲＡＡ
テ（テ） 牙ｂａ Ａ
２ ６ ク （ト） ～牙ｂａ セ＆Ｅ
２ ６ ク テ（ナ） ～牙ｂａ＆牙ｂａ テト＆Ｉ
２ ６ テ（ニ） ～長ｂ コナＲＡＡ
１２ ６ （ヌ） ～長ｂ スソツテニ∨Ｅ
１２ ６ウ （ネ） 長ｂ＆～長ｂ エヌ＆Ｉ
１２ ６ （ノ） 長ｂ＆～長ｂ イウネＥＥ
１２３ （ハ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ノＥＥ
１２ （ヒ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３ハＲＡＡ
１２ （フ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） ヒ量化子の関係
１２ （ヘ） ～（兎ａ＆象ａ） フＵＥ
１２ （ホ） ～兎ａ∨～象ａ ヘ、ド・モルガンの法則
１２ （マ） 兎ａ→～象ａ ホ含意の定義
１２ （ミ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） マＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 マＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 マＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
（１）象は鼻と牙が長い。 然るに、
（２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではないし、牙でもない。 従って、
（ミ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｗ（長ｗ→鼻ｗｘ∨ 牙ｗｘ） Ａ
１ （２） 長ｂ→鼻ｂｘ∨ 牙ｂｘ Ａ
３（３） ～鼻ｂｘ＆～牙ｂｘ Ａ
３（４） ～（鼻ｂｘ∨ 牙ｂｘ） ３ド・モルガンの法則
１３（５） ～長ｂ ２４ＭＴＴ
１ （６） ～鼻ｂｘ＆～牙ｂｘ→～長ｂ ３５ＣＰ
１ （７）∀ｗ（～鼻ｂｘ＆～牙ｂｘ→～長ｂ） ６ＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｗ（～鼻ｂｘ＆～牙ｂｘ→～長ｂ） Ａ
１ （２） ～鼻ｂｘ＆～牙ｂｘ→～長ｂ １ＵＥ
３（３） 長ｂ Ａ
３（４） ～～長ｂ ３ＤＮ
１３（５） ～（～鼻ｂｘ＆～牙ｂｘ） ２４ＭＴＴ
１３（６） 鼻ｂｘ∨ 牙ｂｘ ５ド・モルガンの法則
１ （７） 長ｂ→鼻ｂｘ∨ 牙ｂｘ ３６ＣＰ
１ （８）∀ｗ（長ｗ→鼻ｗｘ∨ 牙ｗｘ） ７ＵＩ
従って、
（06）により、
（07）
① ∀ｗ（ 長ｗ→ 鼻ｗｘ∨ 牙ｗｘ）
② ∀ｗ（～鼻ｂｘ＆～牙ｂｘ→～長ｂ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）（05）（07）により、
（08）
② 象は鼻と牙が長い。⇔
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（～鼻ｗｘ＆～牙ｗｘ→～長ｗ）｝⇔
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、あるｚはｘの牙であって長く、すべてのｗについて、ｗがｘの鼻でなく、尚且つ、ｗがｘの牙でないならば、ｗは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（03）（08）により、
（09）
① 象は鼻が長い。 ⇔ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
② 象は鼻と牙が長い。⇔ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（牙ｚｘ＆長ｚ）＆∀ｗ（～鼻ｗｘ＆～牙ｗｘ→～長ｗ）｝。
といふ「等式」が、成立する。