（01）
公理（こうり、英: axiom）は、その他の命題を導きだすための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。一つの形式体系における議論の前提として置かれる一連の公理の集まりを公理系（英語版） (axiomatic system) という[1] 。公理を前提として演繹手続きによって導きだされる命題は定理とよばれる（ウィキペディア）。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（〃）ＰならばＰである。１１ＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
①├ Ｐ→Ｐ
である。
然るに、
（04）
①├ Ｐ→Ｐ
に於いて、
① Ｐ→Ｐ
は、「仮定の数がゼロである証明可能な連式の結論である（論理学初歩、E.J.レモン、６４頁）。」
然るに、
（05）
このかたちで証明される連式の結論を、定理（theorem）とよぶのである。故に仮定の数がゼロである証明可能な連式の結論である。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、６４頁）
従って、
（01）～（05）により、
（06）
①├ Ｐ→Ｐ
①├ ＰならばＰである（同一律）。
は、「論理学初歩、E.J.レモン」で言ふ所の、「定理（theorem）」であって、「ウィキペディア」で言ふ「公理（axiom）」ではない。
然るに、
（07）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
に於いて、「Ａ，ＣＰ」は、「規則（rules）」である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
「論理学初歩、E.J.レモン」に於ける、
① ＰならばＰである（同一律）。
といふ「恒真式（トートロジー）」は、「規則」によって、「証明」される所の「定理」である。
従って、
（09）
「ウィキペディア」で言ふ所の、「公理」は、
「論理学初歩、E.J.レモン」で言ふ所の「規則」に「対応」し、
「論理学初歩、E.J.レモン」で言ふ所の「定理」は、「普通の言い方」では、「恒真式（トートロジー）」に「相当」する。
然るに、
（10） （ⅰ）
１ （１） Ｎａ＆（ａ＝ｂ） Ａ
１ （２） Ｎａ １＆Ｅ
１ （３） ａ＝ｂ １＆Ｅ
１ （４） Ｎｂ ２３＝Ｅ
（５） Ｎａ＆（ａ＝ｂ）→Ｎｂ １４ＣＰ
６ （６） ～Ｎｂ Ａ
６ （７） ～｛Ｎａ＆（ａ＝ｂ）｝ ５６ＭＴＴ
６ （８） ～Ｎａ∨（ａ≠ｂ） ７ド・モルガンの法則
６ （９） Ｎａ→（ａ≠ｂ） ８含意の定義
（ア）～Ｎｂ→｛Ｎａ→（ａ≠ｂ）｝ ６９ＣＰ
イ（イ） Ｎａ＆～Ｎｂ Ａ
イ（ウ）～Ｎｂ イ＆Ｅ
イ（エ） ｛Ｎａ→（ａ≠ｂ）｝ アウＭＰＰ
イ（オ） Ｎａ イ＆Ｅ
イ（カ） （ａ≠ｂ） エオＭＰＰ
（キ） Ｎａ＆～Ｎｂ→（ａ≠ｂ） イカＣＰ
（ク） ∀ｙ｛Ｎａ＆～Ｎｙ→（ａ≠ｙ）｝ キＵＩ
（ケ）∀ｘ∀ｙ｛Ｎｘ＆～Ｎｙ→（ｘ≠ｙ）｝ クＵＩ
（〃）すべてｘとすべてのｙについて｛ｘが日本人であって、ｙが日本人でないならば、ｘとｙは同一人物ではない｝。
（ⅱ）
１ （１） Ｎａ＆（ａ＝ｂ） Ａ
１ （２） Ｎａ １＆Ｅ
１ （３） ａ＝ｂ １＆Ｅ
１ （４） Ｎｂ ２３＝Ｅ
（５） Ｎａ＆（ａ＝ｂ）→Ｎｂ １４ＣＰ
６ （６） ～Ｎｂ Ａ
６ （７） ～｛Ｎａ＆（ａ＝ｂ）｝ ５６ＭＴＴ
６ （８） ～Ｎａ∨（ａ≠ｂ） ７ド・モルガンの法則
６ （９） Ｎａ→（ａ≠ｂ） ８含意の定義
（ア）～Ｎｂ→｛Ｎａ→（ａ≠ｂ）｝ ６９ＣＰ
イ （イ） Ｎａ＆～Ｎｂ Ａ
イ （ウ）～Ｎｂ イ＆Ｅ
イ （エ） ｛Ｎａ→（ａ≠ｂ）｝ アウＭＰＰ
イ （オ） Ｎａ イ＆Ｅ
イ （カ） （ａ≠ｂ） エオＭＰＰ
（キ） Ｎａ＆～Ｎｂ→（ａ≠ｂ） イカＣＰ
ク （ク） （ａ＝ｂ） Ａ
ク （ケ） ～（ａ≠ｂ） クＤＮ
ク （コ） ～（Ｎａ＆～Ｎｂ） キケＭＴＴ
ク （サ） ～Ｎａ∨ Ｎｂ コ、ド・モルガンの法則
ク （シ） Ｎａ→ Ｎｂ サ含意の定義
（ス） （ａ＝ｂ）→（Ｎａ→Ｎｂ） クシＣＰ
セ（セ） （ａ＝ｂ）＆ Ｎａ Ａ
セ（ソ） （ａ＝ｂ） セ＆Ｅ
セ（タ） Ｎａ→Ｎｂ スソＭＰＰ
セ（チ） Ｎａ セ＆Ｅ
セ（ツ） Ｎｂ タチＭＰＰ
（テ） （ａ＝ｂ）＆Ｎａ→Ｎｂ セツＣＰ （ト） ∀ｙ｛（ａ＝ｙ）＆Ｎａ→Ｎｙ｝ テＵＩ
（ナ）∀ｘ∀ｙ｛（ｘ＝ｙ）＆Ｎｘ→Ｎｙ｝ トＵＩ
（〃）すべてｘとすべてのｙについて｛ｘとｙが同一人物であって、ｘが日本人であるならば、ｙも日本人である｝。
従って、
（04）（05）（06）（08）により、
（11）
②├ ∀ｘ∀ｙ｛Ｎｘ＆～Ｎｙ→（ｘ≠ｙ）｝
③├ ∀ｘ∀ｙ｛（ｘ＝ｙ）＆Ｎｘ→Ｎｙ｝
といふ「定理」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（11）により、
（12）
例へば、
①「ｘが日本人であって、ｙが日本人でない。」ならば、「ｘとｙは、同一人物ではない。」
②「ｘとｙが、同一人物であって、ｘが日本人である。」ならば、「ｙも日本人である。」
といふ『自明の理』は、「恒真式（トートロジー）」である。
―「昨日（令和２年１０月１３日）の記事」を書き直します。―
（01）
１ （１） Ｒａ＆（ａ＝ｂ） Ａ
１ （２） Ｒａ １＆Ｅ
１ （３） ａ＝ｂ １＆Ｅ
１ （４） Ｒｂ ２３＝Ｅ
（５） Ｒａ＆（ａ＝ｂ）→Ｒｂ １４ＣＰ
６ （６） ～Ｒｂ Ａ
６ （７） ～｛Ｒａ＆（ａ＝ｂ）｝ ５６ＭＴＴ
６ （８） ～Ｒａ∨（ａ≠ｂ） ７ド・モルガンの法則
６ （９） Ｒａ→（ａ≠ｂ） ８含意の定義
（ア）～Ｒｂ→｛Ｒａ→（ａ≠ｂ）｝ ６９ＣＰ
イ（イ） Ｒａ＆～Ｒｂ Ａ
イ（ウ）～Ｒｂ イ＆Ｅ
イ（エ） ｛Ｒａ→（ａ≠ｂ）｝ アウＭＰＰ
イ（オ） Ｒａ イ＆Ｅ
イ（カ） （ａ≠ｂ） エオＭＰＰ
（キ） Ｒａ＆～Ｒｂ→（ａ≠ｂ） イカＣＰ
（ク） ∀ｙ｛Ｒａ＆～Ｒｙ→（ａ≠ｙ）｝ キＵＩ
（ケ）∀ｘ∀ｙ｛Ｒｘ＆～Ｒｙ→（ｘ≠ｙ）｝ クＵＩ
（〃）すべてｘとすべてのｙについて｛ｘがＲであって、ｙがＲでないならば、ｘとｙは同一ではない｝。
従って、
（01）により、
（02）
Ｒ＝理事 であるとして、
① ∀ｘ∀ｙ｛理事ｘ＆～理事ｙ→（ｘ≠ｙ）｝⇔
① すべてｘとすべてのｙについて｛ｘが理事であって、ｙが理事でないならば、ｘとｙは同一ではない｝。
といふ「論理式」は、「トートロジー（恒真式）」である。
従って、
（02）により、
（03）
① ｘが理事であって、ｙが理事でないならば、ｘとｙは「同一人物」ではない。
といふ「命題（関数）」は、「恒に、真」である。
ｃｆ.
①「理事であって、尚且つ、理事でない人」は、存在しない。
然るに、
（04）
① 理事 が、仮に、５人ゐるのであれば、
① ｘが理事長であって、ｙも理事長であるならば、ｘとｙは「同一人物」である。
とは、言へない。
然るに、
（05）
① 理事 ではなく、
① 理事長は、１人しかゐないため、
① ｘが理事長であって、ｙが理事長でないならば、ｘとｙは「同一人物」ではない。
① ｘが理事長であって、ｙも理事長であるならば、ｘとｙは「同一人物」である。
といふ「命題（関数）」は、「両方」とも、「恒に、真」である。
従って、
（05）により、
（06）
① ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘがＴ会の会員であるならば、あるｙは私であって、ｙはｘの理事長であって、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｙ＝ｚ である）｝。
とするならば、
① 私はＴ記念会の理事長であって、私以外に、Ｔ記念会の理事長はゐない。
といふ、ことになる。
然るに、
（07）
② 私は、「大倉」であるならば、
② 私は、「小倉」ではない。
然るに、
（06）（07）により、
（08）
① 私はタゴール記念会の理事長であって、私以外に、タゴール記念会の理事長はゐない。
② 私は、大倉であって、小倉ではない。
といふのであれば、
③ タゴール記念会は、小倉氏は、理事長ではない。
然るに、
（09）
１ （１）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝ Ａ
１ （２） Ｔ会の会員ａ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） Ｔ会の会員ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ ３４ＭＰＰ
５ （５） 私ｂ＆理事長ｂａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） Ａ
５ （６） 私ｂ＆理事長ｂａ ５＆Ｅ
５ （７） ∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） ５＆Ｅ
５ （８） 理事長ｃａ→ｂ＝ｃ ７ＵＥ
９ （９） ∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ） Ａ
ア （ア） 小倉ｃ＆～私ｃ Ａ
ア （イ） 小倉ｃ ア＆Ｅ
ア （ウ） ～私ｃ ア＆Ｅ
エ（エ） ｂ＝ｃ Ａ
アエ（オ） ～私ｂ ウエ＝Ｅ
５ （カ） 私ｂ ６＆Ｅ
５ アエ（キ） ～私ｂ＆私ｂ オカ＆Ｉ
５ ア （ク） ｂ≠ｃ エキＲＡＡ
５ ア （ケ） ～理事長ｃａ ８クＭＴＴ
５ ア （コ） 小倉ｃ＆～理事長ｃａ イケ＆Ｉ
５ ア （サ） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） コＥＩ
５９ （シ） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ９アサＥＥ
１３ ９ （ス） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ４５シＥＥ
１ ９ （セ） Ｔ会の会員ａ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ３スＣＰ
１ ９ （シ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）｝ セＵＩ
１ ９ （〃）タゴール記念会は、小倉氏は、理事長ではない。 セＵＩ
従って、
（05）～（09）により、
（10）
① 私はタゴール記念会の理事長であって、私以外に、タゴール記念会の理事長はゐない。⇔
① ∀ｘ｛タゴール会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘがタゴール会の会員であるならば、あるｙは私であって、ｙはｘの理事長であって、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｙ＝ｚ である）｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（11）
① 理事長は私です。
② 私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。
然るに、
（12）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
① タゴール記念会は、私が理事です。⇔
① 私はタゴール記念会の理事長であって、私以外に、タゴール記念会の理事長はゐない。⇔
① ∀ｘ｛タゴール記念会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘがタゴール会の会員であるならば、あるｙは私であって、ｙはｘの理事長であって、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｙ＝ｚ である）｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（14）
（ⅰ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲は、問題になっている変数が現れる「少なくとも２つの箇所」を含むであろう（その１つの箇所は量記号そのもののなかにある）；
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１８３頁）
従って、
（13）（14）により、
（15）
例へば、
① タゴール記念会は、私が理事です。⇔
① ∀ｘ｛タゴール記念会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
といふ「等式」に於ける、
① ∀ｘ を、「総主語」と呼ぶ。
といふ風に、「定義」するならば、
① ∀ｘ≡タゴール記念会（タゴール記念会の会員）
といふ「語」が、
① タゴール記念会は、私が理事です。
といふ「日本語」の、「総主語」である。
といふ、ことになる。
同様に、
（16）
② 象は、鼻が長い。⇔
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「等式」に於ける、
② ∀ｘ を、「総主語」と呼ぶ。
といふ風に、「定義」するならば、
② ∀ｘ≡象
といふ「語」が、
② 象は、鼻が長い。
といふ「日本語」の、「総主語」である。
然るに、
（17）
「明治時代の標準的な文体（普通文）」である所の、「漢文訓読体」の場合は、
② 象は、鼻が長い。⇔
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「言ひ方」は無く、
③ 象は、鼻長し。⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
といふ「言ひ方」しか、無い。
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
「明治三十ニ年」であれば、
③ 象は、體（体）大なり。⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（体ｙｘ＆大ｙ）｝⇔
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの体であって、ｙは大きい｝。
に於ける、
③ ∀ｘ≡象
といふ「語」が、
③ 象は、體（体）大なり。
といふ「日本語」の、「総主語」である。
然るに、
（19）
一、總主トハ如何ナル者ゾ
動詞、形容詞ニ對シテ其主語アルト同ジク、主語ト説語（動詞或ハ形容詞）トヨリ成レル一ノ説話（即チ文）ニ對シテモ更ニソノ主語アルコト國語ニハ屡々アリ。例ヘバ「象は體大なり」ノ「象」、「熊は力強し」ノ「熊」、「鳥獸蟲魚皆性あり」ノ「鳥獸蟲魚」、「仁者は命長し」ノ「仁者」、「賣藥は效能薄し」ノ「賣藥」、「慾は限無し」ノ「慾」、「酒は養生に害あり」ノ「酒」、「支那は人口多し」ノ「支那」ノ如キハ、皆、「體大なり」「力強し」等ノ一説話ニ對シテ更ニソノ主語タル性格ヲ有ス。何トナレバ「象は體大なり」「熊は力強し」等ヨリ「象」「熊」等ノ再度ノ主語ヲ取去ル時ハ、殘餘ハ「體大なり」「力強し」等トナリテ、文法上ノ文ノ形ハ完全ニ之ヲ具フルニモ拘ラズ、意義ニ不足ヲ生ジ、其事ノ主トアルベキ「象」「熊」等ノ名詞ヲ竢ッテ始メテ意義ノ完全ナル一圓ノ説話ヲ成サントスル傾アルコト、ナホ普通ノ動詞、形容詞ノ名詞ヲ竢ッテ始メテ一ノ完全ナル説話ヲ成サントスル傾アルト同趣味ノモノアレバナリ。殊ニ「性有り」「限無し」等ノ一種ノ説話ニ對シテハ、實用ノ際ニ再度ノ主語ノ必要アル事ハ頗ル顯著ナルニアラズヤ。コレハ「うら（心）やまし（疚）」「て（質）がたし（堅）」ナドノ一説話ノ轉シテ一ノ形容詞トナリ、然ル上ハ實用ノ際ニ更ニソノ主語ヲ取ルト一般ナリ。サレバ「富貴は羨し」ノ「うらやまし」ニ對シテ「富貴」ヲ主語トイフヲ至當トセバ、「體大なり」「力強し」ニ對シテ「象」「熊」ヲソノ主語トイフモ亦不當ニハアラジ。斯カレバコノ類ノ再度ノ主ヲ予ハ別ニ「總主」ト名ヅケントス。
總主ハ斯ク頗ル簡單ニ説明セラルベク、亦容易ニ會得セラルベキ者ナリ。學者ノ潛思苦慮ヲモ要セズ、考古引證ヲモ須タズシテ、小學ノ兒童モ、口頭ニ、文章ニ、此語法ヲ用ヰ、歌人文士モ之ヲ用ヰテ毫モ疑フ事ナシ。コノ語法ハ本ヨリ我國ニ有リシナランガ、漢學ノ流行ニ連レテ益廣ク行ハレ、今日トナリテハ最早之ヲ目シテ國語ノ法則ニ非ズトイフヲ得ザルニ至レリ。然ルニ國語ノ法則トシテ日本ノ文法ニ之ヲ編入スル者ナキハ何故ゾ。西洋ノ言語ニ類似ノ語法ナク、西洋ノ文典ニ類似ノ記載ナキガ故ニハ非ザルカ。 （草野淸民、國語の特有セル語法 ― 總主、『帝國文學』五卷五號、明治三十二年：大修館書店、日本の言語学 第３巻 文法Ⅰ、1978年、５３３頁）
従って、
（18）（19）により、
（20）
③ 象は、體（体）大なり。⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（体ｙｘ＆大ｙ）｝⇔
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの体であって、ｙは大きい｝。
といふ「等式」に於ける、
③ ∀ｘ≡象
といふ「語」を、
③ ∀ｘ を、「総主語」と呼ぶ。
といふ風に、「定義」するならば、「総主語」とは、草野淸民 先生 が、所謂、「總主」である。
従って、
（15）（16）（20）により、
（21）
① タゴール記念会は、私が理事です。≡ ∀ｘ｛タゴール記念会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
② 象は、鼻が長い。 ≡ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ 象は、體大なり。 ≡ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（体ｙｘ＆大ｙ）｝
に於ける、
① ∀ｘ≡タゴール記念会（タゴール記念会の会員）
② ∀ｘ≡象
③ ∀ｘ≡象
といふ「語」は、３つとも、草野淸民 先生 が、謂ふ所の、「總主」である。
然るに、
（22）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は、象ではない。
といふ「（日本語による）推論」は、明らかに、「妥当」である。
然るに、
（23）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （〃）象は、鼻が長い。 Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
２ （〃）兎は、耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ） ア＆Ｅ
オ（オ） 長ｂ＆耳ｂａ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ ６ オ（ケ） ～鼻ｂａ オクＭＰＰ
１ ６ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア＆Ｅ
１ ６ （サ） ～鼻ｂａ→～長ｂ コＵＥ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない）。 ナＵＩ
１２ （〃）兎は、象ではない。 ナＵＩ
従って、
（22）（23）により、
（24）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は、象ではない。
といふ「推論」は、「日本語」としても、「述語論理」としても、「妥当」である。
従って、
（22）（23）（24）により、
（25）
② 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（25）により、
（26）
② 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
② 象は鼻が長い≡すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（27）
これに対して三上は、日本語には主語はない、とする。「象は」は、テーマを提示する主題であり、これから象についてのことを述べますよというメンタルスペースのセットアップであり、そのメンタルスペースのスコープを形成する働きをもつと主張する（この場合は「長い」までをスコープとする）〔三上文法！ : wrong, rogue and log〕。
然るに、
（26）（27）により、
（28）
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、
といふことは、
（ⅰ）これから象についてのことを述べますよ、
といふことに、他ならない。
然るに、
（29）
（ⅱ）括弧は、論理演算子のスコープ（scope）を明示する働きを持つ。スコープは、論理演算子の働きが及ぶ範囲のことをいう。
（産業図書、数理言語学辞典、2013年、四七頁：命題論理、今仁生美）
従って、
（27）（29）により、
（30）
（ⅱ）メンタルスペースのスコープを形成する働きをもつ。
といふことと、
（ⅱ）括弧は、論理演算子のスコープ（scope）を明示する働きを持つ。
といふことは、「無関係」ではない。はずである。
従って、
（26）～（30）により、
（31）
②「三上章先生 の学説」と、
② 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
② 象は鼻が長い≡すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
といふ「等式」は、「矛盾」しない。
然るに、
（32）
実際、文法学者が「主語」という「語」を使わなければならないことは、不幸なことだ。この語は、普通のことばでは、とりわけ「話題」（主題）という意味でも使われているからである。
（イェスペルセン著、安藤貞雄 訳、文法の原理（中）、2006年、４５頁）
従って、
（27）（31）（32）により、
（33）
「主語」という語は、普通のことばでは、とりわけ「話題」（主題）という意味でも使われている。
といふ、ことからすれば、
② 象は鼻が長い。
② The elephant has a long trunk.
に於いて、
② 象 といふ「主語」が、「主題（話題）」であるならば、
② The elephant といふ「主語」も、「主題（話題）」である。
従って、
（32）（33）により、
（34）
「主語」という語は、普通のことばでは、とりわけ「話題」（主題）という意味でも使われている。
といふ、ことからすれば、
② 象は鼻が長い。
② The elephant has a long trunk.
に於いて、
② 象 といふ「主題（話題）」が、「主語」であるならば、
② The elephant といふ「主題（話題）」も、「主語」である。
（01）
―「昨日（令和０２年１０月１１日）の記事」でも示した通り、―
１ （１） ∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝ Ａ
１ （〃）あるｘは｛吾輩であって猫であり、名前は無い）。 Ａ
２ （２） ∃ｘ｛タマｘ＆ ∃ｙ（名前ｙｘ）｝ Ａ
３ （３） 吾輩ａ＆猫ａ＆～∃ｙ（名前ｙａ） Ａ
４（４） タマａ＆ ∃ｙ（名前ｙａ） Ａ
３ （５） ～∃ｙ（名前ｙａ） ３＆Ｅ
４（６） ∃ｙ（名前ｙａ） ４＆Ｅ
３４（７） ～∃ｙ（名前ｙａ）＆∃ｙ（名前ｙａ） ５６＆Ｉ
２３ （８） ～∃ｙ（名前ｙａ）＆∃ｙ（名前ｙａ） ２４７ＥＥ
１２ （９） ～∃ｙ（名前ｙａ）＆∃ｙ（名前ｙａ） １３８ＥＥ
１ （ア） ～∃ｘ｛タマｘ＆ ∃ｙ（名前ｙｘ）｝ ２９ＲＡＡ
１ （イ） ∀ｘ～｛タマｘ＆ ∃ｙ（名前ｙｘ）｝ ア量化子の関係
１ （ウ） ～｛タマａ＆ ∃ｙ（名前ｙａ） イＵＥ
１ （エ） ～タマａ∨ ～∃ｙ（名前ｙａ） ウ、ド・モルガンの法則
１ （オ） ～∃ｙ（名前ｙａ）∨～タマａ エ交換法則
１ （カ） ∃ｙ（名前ｙａ）→～タマａ オ含意の定義
１ ４（キ） ～タマａ ６カＭＰＰ
１２ （ク） ～タマａ ２４キＥＥ
３ （ケ） 吾輩ａ＆猫ａ ３＆Ｅ
１２３ （コ） 吾輩ａ＆猫ａ＆～タマａ クケ＆Ｉ
１２３ （サ） ∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ＆～タマｘ） コＥＩ
１２ （シ） ∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ＆～タマｘ） １３サＥＥ
１２ （〃）あるｘは（吾輩であって猫であるが、タマではない）。 １３サＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝，∃ｘ｛タマｘ＆∃ｙ（名前ｙｘ）｝├ ∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ＆～タマｘ）
といふ「推論」、すなはち、
①｛吾輩は猫である。名前は無い。｝然るに、｛タマには名前が有る。｝従って、｛吾輩はタマではないが、猫である。｝
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（03）
ピリオド越えとは、「Ⅹは」という「主語」が「以降の文の主語」としても働く現象のことだ。それはどういうものなのか、実例として
夏目漱石の『吾輩は猫である』の冒頭の文章を見てみよう。
吾輩は猫である。名前はまだ無い。どこで生れたか頓と見当がつかぬ。
何でも薄暗いじめじめした所でニャーニャー泣いていた事だけは記憶している。
最初の文の主語（「主題」とも言う）である「吾輩」は、以降の文の主語でもある。
（オルタナティブブログ：どんなときに主語を省略できるのか。）
従って、
（03）により、
（04）
「ピリオド越え」といふのは、例へば、
① 吾輩は猫である。名前はまだ無い。
といふ「文」が、「実質的」に、
① 吾輩は猫である。（吾輩は）名前はまだ無い。
といふ「意味」である。といふ、ことを言ふ。
然るに、
（05）
１ （１） ∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝ Ａ
１ （〃） あるｘは｛吾輩であって猫であり、名前は無い）。 Ａ
２（２） 吾輩ａ＆猫ａ＆～∃ｙ（名前ｙａ） Ａ
２（３） 吾輩ａ ２＆Ｅ
２（４） 猫ａ ２＆Ｅ
２（５） ～∃ｙ（名前ｙａ） ２＆Ｅ
２（６） 吾輩ａ＆～∃ｙ（名前ｙａ） ３５＆Ｉ
２（７） ∃ｘ｛吾輩ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝ ６ＥＩ
１ （８） ∃ｘ｛吾輩ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝ １２７ＥＥ
２（９） 吾輩ａ＆猫ａ ３４＆Ｉ
２（ア） ∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ） ９ＥＩ
１ （イ） ∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ） １２アＥＥ
１ （ウ）∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ）＆∃ｘ｛吾輩ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝ ８イ＆Ｉ
１ （〃）あるｘは（吾輩であって猫である。）＆
あるｘは｛吾輩であって（ｘの名前である所のｙは）存在しない。｝８イ＆Ｉ
従って、
（05）により、
（06）
① ∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ ＆ ～∃ｙ（名前ｙｘ）｝├
∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ）＆∃ｘ｛吾輩ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝
といふ「連式」、すなはち、
①｛吾輩は猫である。 名前は無い。｝故に、
｛吾輩は猫であり｝、｛吾輩は名前は無い。｝
といふ「連式」は、「妥当」である。
然るに、
（07）
①｛吾輩は猫である。 名前は無い。｝故に、
｛吾輩は猫であり｝、｛吾輩は名前は無い。｝
といふ「推論」が、「妥当」である。といふことは、
① 吾輩は猫である。 名前は無い。
② 吾輩は猫である。（吾輩は）名前は無い。
に於いて、
① ならば、② である。
といふことに、他ならない。
然るに、
（04）～（07）により、
（08）
① 吾輩は猫である。 名前は無い。
② 吾輩は猫である。（吾輩は）名前は無い。
に於いて、
① ならば、② である。
といふことは、「ピリオド越え」に、他ならない。
従って、
（04）～（08）により、
（09）
「述語論理（Predicate logic）」といふ「観点」からすると、
① ∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ ＆ ～∃ｙ（名前ｙｘ）｝├
∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ）＆∃ｘ｛吾輩ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝
といふ「連式」が「妥当」であるからこそ、
① 吾輩は猫である。 名前は無い。
② 吾輩は猫である。（吾輩は）名前は無い。
に於いて、
① ならば、② である。
といふ「ピリオド越え」が、「実現」する。
然るに、
（10）
EXCERCISES
１ For each of the following formulae, state whether it is a well-formed formula, a propositional function not a well-formed formula, or neither.
練習問題
１ つぎの式のそれぞれについて、それが「論理式であるのか」、または、「論理式ではなくて、命題関数であるのか」、または、「論理式でも、命題関数でも、ないのか」を述べよ。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１８７頁改）
（私による）解答：
（ａ）∀ｘ（Ｇｘａ） は、「論理式」である。
（ｂ）∀ｘ（Ｇｙａ） は、「論理式」でも、「命題関数」でもないため、所謂、「非文」である。
（ｃ）∀ｘ（Ｇｘｙ） は、「ｙに関する、命題関数」である。
然るに、
（11）
「Ｆｘ」、「（Ｆｙ→∀ｘ（Ｇｘ））」、「Ｈｘｙ」のような式は、「縛られていない、変数ｘ」および「縛られていない、変数ｙ」が含まれていることから考えて、「真または偽なる命題」を表現する、「完全な文（complete sentence）」でないことから、われわれの今の定義によって「論理式」とはみなされないのではあるが、以下においては、それらの式に対する呼び名のある方が便利である。われわれは論理学の伝統にしたがって、「命題関数（propositional function）」の名を用いるであろう。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１８２頁改）
従って、
（10）（11）
（12）
「論理式」は「完全な文（complete sentence）」であるが、
「命題関数」は「完全な文（complete sentence）」ではない。
然るに、
（13）
「完全な文（complete sentence）」ではないのであれば、「文（sentence）」ではない。
従って、
（12）（13）により、
（14）
「命題関数」は、所謂、「文（sentence）」ではない。
然るに、
（15）
① ∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝≡吾輩は猫である。名前は無い。
② ～∃ｙ（名前ｙｘ） ≡名前は無い（ｘの名前である所のｙは存在しない）。
に於いて、
① は「 論理式（文である）」であるが、
② は「命題関数（文でない）」である。
従って、
（05）（09）（14）（15）により、
（16）
「述語論理（Predicate logic）」といふ「観点」からすると、
ピリオド越えとは、「Ⅹは」という「主語」が「以降の文（sentence）の主語」としても働く現象のことだ。
といふ「言ひ方」は、「正しく」はなく、
ピリオド越えとは、「Ⅹは」という「主語」が『以降の「命題関数（propositional function）」の主語』としても働く現象のことだ。
といふ「言ひ方」こそが、「正しい」。
（01）
三上章の『象は鼻が長い』を読み、「主語廃止論」と並んで衝撃的であったのは、「は」のコンマ超えとピリオド越えである。
（金谷武洋、日本語の文法の謎を解く、2003年、７２頁）
（02）
ピリオド越えとは、「Xは」という主語が以降の文の主語としても働く現象のことだ。それはどういうものなのか、実例として夏目漱石の『吾輩は猫である』の冒頭の文章を見てみよう。
吾輩は猫である。名前はまだ無い。どこで生れたか頓と見当がつかぬ。
何でも薄暗いじめじめした所でニャーニャー泣いていた事だけは記憶している。
最初の文の主語（「主題」とも言う）である「吾輩」は、以降の文の主語でもある。
（オルタナティブブログ：どんなときに主語を省略できるのか。）
従って、
（02）により、
（03）
「ピリオド越え」といふのは、例へば、
① 吾輩は猫である。名前はまだ無い。
に於ける、
① 名前はまだ無い。
といふ「文」が、「実質的」に、
① 吾輩は猫である。（吾輩は）名前はまだ無い。
といふ「意味」である。といふ、ことを言ふ。
然るに、
（04）
１ （１） ∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝ Ａ
１ （〃）あるｘは｛吾輩であって猫であり、名前は無い）。 Ａ
２ （２） ∃ｘ｛タマｘ＆ ∃ｙ（名前ｙｘ）｝ Ａ
３ （３） 吾輩ａ＆猫ａ＆～∃ｙ（名前ｙａ） Ａ
４（４） タマａ＆ ∃ｙ（名前ｙａ） Ａ
３ （５） ～∃ｙ（名前ｙａ） ３＆Ｅ
４（６） ∃ｙ（名前ｙａ） ４＆Ｅ
３４（７） ～∃ｙ（名前ｙａ）＆∃ｙ（名前ｙａ） ５６＆Ｉ
２３ （８） ～∃ｙ（名前ｙａ）＆∃ｙ（名前ｙａ） ２４７ＥＥ
１２ （９） ～∃ｙ（名前ｙａ）＆∃ｙ（名前ｙａ） １３８ＥＥ
１ （ア） ～∃ｘ｛タマｘ＆ ∃ｙ（名前ｙｘ）｝ ２９ＲＡＡ
１ （イ） ∀ｘ～｛タマｘ＆ ∃ｙ（名前ｙｘ）｝ ア量化子の関係
１ （ウ） ～｛タマａ＆ ∃ｙ（名前ｙａ） イＵＥ
１ （エ） ～タマａ∨ ～∃ｙ（名前ｙａ） ウ、ド・モルガンの法則
１ （オ） ～∃ｙ（名前ｙａ）∨～タマａ エ交換法則
１ （カ） ∃ｙ（名前ｙａ）→～タマａ オ含意の定義
１ ４（キ） ～タマａ ６カＭＰＰ
１２ （ク） ～タマａ ２４キＥＥ
３ （ケ） 吾輩ａ＆猫ａ ３＆Ｅ
１２３ （コ） 吾輩ａ＆猫ａ＆～タマａ クケ＆Ｉ
１２３ （サ） ∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ＆～タマｘ） コＥＩ
１２ （シ） ∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ＆～タマｘ） １３サＥＥ
１２ （〃）あるｘは（吾輩であって猫であるが、タマではない）。 １３サＥＥ
従って、
（04）により、
（05）
① ∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝，∃ｘ｛タマｘ＆∃ｙ（名前ｙｘ）｝├ ∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ＆～タマｘ）
といふ「推論」、すなはち、
① 吾輩は猫である。名前は無い。然るに、タマには名前が有る。従って、吾輩はタマではないが、猫である。
① I am a cat. Ｉ have no name for me. However, Tama has his own name. Therefore, I am not Tama, but a cat.
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（06）
（ⅰ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲は、問題になっている変数が現れる「少なくとも２つの箇所」を含むであろう（その１つの箇所は量記号そのもののなかにある）； （論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１８３頁）
（ⅱ）括弧は、論理演算子のスコープ（scope）を明示する働きを持つ。スコープは、論理演算子の働きが及ぶ範囲のことをいう。
（産業図書、数理言語学辞典、2013年、四七頁：命題論理、今仁生美）
従って、
（05）（06）により、
（07）
① ∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝
に於いて、
① ∃ｘ≡吾輩
の「意味」は、
① ∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝
といふ「述語論理式（完全な文）の全体」に、及んでゐる。
従って、
（07）により、
（08）
（ⅰ）「主語（MAIN WORD）」とは、「述語論理式（完全な文）の文頭」にあって、
（ⅱ）「文末」にまで、「その意味」が及んでゐる所の「語」をいふ。
とするならば、「定義」により、
① ∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝
に於ける「主語（MAIN WORD）]は、
① ∃ｘ≡吾輩
である。といふことになる。
然るに、
（09）
① ∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝
に於ける、
① ～∃ｙ（名前ｙｘ）≡名前は無い。
の場合は、
① ｘに関する、「命題関数（propositional function）」であって、
①「命題関数」は、「完全な文（Well-formed formula）」ではない。
従って、
（04）（09）
（10）
① 吾輩は猫である。名前は無い。⇔
① ∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝
といふ「等式」に基づく限り、
① 吾輩は猫である。名前は無い。
こそが、「１つの論理式（完全な文）」であって、それ故、
① 名前は無い。
といふ「命題関数」は、
① 吾輩は猫である。名前は無い。
といふ「論理式（完全な文）」の、飽くまでも、「一部」に過ぎない。
従って、
（10）により、
（11）
① 吾輩は猫である。名前は無い。⇔
① ∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝
といふ「等式」に基づく限り、
① 吾輩は猫である。名前は無い。 といふ「文」は、「２つの文」ではなく、飽くまでも、「１つの文」である。
従って、
（02）（11）により、
（12）
「ピリオド越え」とは、「Ⅹは」という主語が以降の文（論理式）の主語としても働く現象のことだ。
といふ風に「定義」する。のであれば、
① 吾輩は猫である。名前は無い。
に於いて、「ピリオド越え」は、無い。
然るに、
（13）
「一階述語論理は、数学のほぼ全領域を形式化するのに十分な表現力を持っている。実際、現代の標準的な集合論の公理系 ZFC は一階述語論理を用いて形式化されており、数学の大部分はそのように形式化された ZFC の中で行うことができる（ウィキペディア）。」としても、
「吾輩は猫である。名前はまだ無い。どこで生れたか頓と見当がつかぬ。何でも薄暗いじめじめした所でニャーニャー泣いていた事だけは記憶している。」
といふ「文の全体」を、「（数学用の）述語論理式」に「翻訳」することは、「無理」である。
然るに、
（11）（12）（13）により、
（14）
（ⅰ）名前はまだ無い。
（ⅱ）どこで生れたか頓と見当がつかぬ。
（ⅲ）何でも薄暗いじめじめした所でニャーニャー泣いていた事だけは記憶している。
に於いて、仮に、
（ⅰ）だけでなく、
（ⅱ）も「論理式（完全な文）」ではなく、「命題関数（不完全な文）」である。
（ⅲ）も「論理式（完全な文）」ではなく、「命題関数（不完全な文）」である。
とするならば、その限りに於いて、
① 吾輩は猫である。名前は無い。
② 吾輩は猫である。名前はまだ無い。どこで生れたか頓と見当がつかぬ。何でも薄暗いじめじめした所でニャーニャー泣いていた事だけは記憶している。
に於いて、
① だけなく、
② であっても、「ピリオド越え」は、無い。
然るに、
（08）により、
（15）
もう一度、確認すると、
（ⅰ）「主語（MAIN WORD）」とは、「述語論理式（完全な文）の文頭」にあって、
（ⅱ）「文末」にまで、「その意味」が及んでゐる所の「語」をいふ。
とするのであれば、
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （〃）象は、鼻が長い。 Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
２ （〃）兎は、耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ） ア＆Ｅ
オ（オ） 長ｂ＆耳ｂａ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ ６ オ（ケ） ～鼻ｂａ オクＭＰＰ
１ ６ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア＆Ｅ
１ ６ （サ） ～鼻ｂａ→～長ｂ コＵＥ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない）。 ナＵＩ
１２ （〃）兎は、象ではない。 ナＵＩ
といふ「計算（Predicate calculus）」が「可能」であるが故に、「定義」により、
② 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於ける、「主語（MAIN WORD）」は、
② 象≡∀ｘ
である。といふ、ことになる。
同様に、
（16）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝ Ａ
１ （〃）鼻は象が長い。 Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆長ａ→～鼻ａｙ）｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ） Ａ
３ （４） ～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ ３＆Ｅ
５ （５）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ） Ａ
５ （〃）兎は象ではないが、鼻がある。 Ａ
６ （６） ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ａｙ） Ａ
７（７） 兎ｂ＆～象ｂ＆鼻ａｂ Ａ
７（８） 兎ｂ＆ ７＆Ｅ
７（９） ～象ｂ ７＆Ｅ
７（ア） 鼻ａｂ ７＆Ｅ
７（イ） ～～鼻ａｂ アＤＮ
３ ７（ウ） ～（～象ｂ＆ 長ａ） ４イＭＴＴ
３ ７（エ） ～～象ｂ∨～長ａ ウ、ド・モルガンの法則
３ ７（オ） ～象ｂ→～長ａ エ含意の定義
３ ７（カ） ～長ａ ９オＭＰＰ
７（キ） 兎ｂ＆鼻ａｂ ８ア＆Ｉ
３ ７（ク） 兎ｂ＆鼻ａｂ＆～長ａ カキ＆Ｉ
３ ７（ケ） ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ＆～長ａ） クＥＩ
３ ６ （コ） ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ＆～長ａ） ６７ケＥＥ
３ ６ （サ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） コＥＩ
３５ （シ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） ５６サＥＥ
１ ５ （ス）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） １３シＥＥ
１ ５ （〃）兎の鼻は、長くない。 １３シＥＥ
といふ「計算（Predicate calculus）」が「可能」であるが故に、「定義」により、
③ 鼻は象が長い≡∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
に於ける、「主語（MAIN WORD）」は、
③ 鼻≡∀ｘ
である。といふ、ことになる。
然るに、
（17）
２ Show the validity of following arguments:
２ つぎの論証の妥当性を示せ。
（ｄ）Some girls like William; all boys like any girl; William is a boy; therefore there is someone who likes William and is liked by William.
（〃）幾人かの少女はウィリアムが好きである。すべての少年はいかなる少女も好きである。ウィリアムは少年である。故にある人はウィリアムが好きであって、ウィリアムもその人を好きである。
（私による）解答：
（ｄ）
１ （１）∃ｘ（少女ｘ＆愛ｘｗ） Ａ
２ （２）∀ｙ｛少年ｙ→∀ｘ（少女ｘ→愛ｙｘ）｝ Ａ
３ （３） 少年ｗ Ａ
２ （４） 少年ｗ→∀ｘ（少女ｘ→愛ｗｘ） ２ＵＥ
２３ （５） ∀ｘ（少女ｘ→愛ｗｘ） ２３ＭＰＰ
２３ （６） 少女ａ→愛ｗａ ５ＵＥ
７（７） 少女ａ＆愛ａｗ Ａ
７（８） 少女ａ ７＆Ｅ
２３７（９） 愛ｗａ ６８ＭＰＰ
７（ア） 愛ａｗ ７＆Ｅ
２３７（イ） 愛ａｗ＆愛ｗａ ９ア＆Ｉ
２３７（ウ） ∃ｘ（愛ｘｗ＆愛ｗｘ） イＥＩ
１２３ （エ） ∃ｘ（愛ｘｗ＆愛ｗｘ） １７ウＥＥ
従って、
（08）（17）により、
（18）
（ⅰ）「主語（MAIN WORD）」とは、「述語論理式（完全な文）の文頭」にあって、
（ⅱ）「文末」にまで、「その意味」が及んでゐる所の「語」をいふ。
といふ「定義」により、
① ∃ｘ（少女ｘ＆愛ｘｗ） ≡Some girls like William≡幾人かの少女はウィリアムが好きである。
② ∀ｙ｛少年ｙ→∀ｘ（少女ｘ→愛ｙｘ）｝≡all boys like any girl ≡すべての少年はいかなる少女も好きである。
に於ける、「主語（MAIN WORDS）」は、
① ∃ｘ≡少女≡Some girls≡幾人かの少女
② ∀ｙ≡少年≡all boys ≡すべての少年
である。といふ、ことになる。
（19）
③ 少年ｗ＝William is a boy＝ウィリアムは少年である。
の場合は、「素文（atomic sentence）」といって、「述語論理式（完全な文）」である。
従って、
（18）（19）により、
（20）
（ⅰ）「主語（MAIN WORD）」とは、「述語論理式（完全な文）の文頭」にあって、
（ⅱ）「文末」にまで、「その意味」が及んでゐる所の「語」をいふ。
（ⅲ）ただし、「少年ｗ」のやうな「素文」の場合は、「ｗ」を、「主語（MAIN WORD）」とする。
とするならば、
① ∃ｘ（少女ｘ＆愛ｘｗ） ≡Some girls like William≡幾人かの少女はウィリアムが好きである。
② ∀ｙ｛少年ｙ→∀ｘ（少女ｘ→愛ｙｘ）｝≡all boys like any girl ≡すべての少年はいかなる少女も好きである。
③ 少年ｗ ≡William is a boy ≡ウィリアムは少年である。
に於ける、「主語（MAIN WORDS）」は、
① ∃ｘ≡少女≡Some girls≡幾人かの少女
② ∀ｙ≡少年≡all boys ≡すべての少年
③ ｗ≡William ≡ウィリアム
である。といふ、ことになる。
然るに、
（21）
④ ∃ｘ（愛ｘｗ＆愛ｗｘ）＝there is someone who likes William and is liked by William＝ある人はウィリアムが好きであって、ウィリアムもその人を好きである。
に関しては、
④ ∃ｘ≡someone≡ある人
が、「主語（MAIN WORD）」であるため、
① ∃ｘ≡少女≡Some girls≡幾人かの少女
② ∀ｙ≡少年≡all boys ≡すべての少年
③ ｗ≡William ≡ウィリアム
といふ「主語（MAIN WORDS）」とは、「様子が、違ふ」ことになる。
従って、
（20）（21）により、
（22）
（ⅰ）「主語（MAIN WORD）」とは、「述語論理式（完全な文）の文頭」にあって、
（ⅱ）「文末」にまで、「その意味」が及んでゐる所の「語」をいふ。
（ⅲ）ただし、「少年ｗ」のやうな「素文」の場合は、「ｗ」を、「主語（MAIN WORD）」とする。
（ⅳ）ただし、「there is（are）・・・・.」のやうな「英文」には、「注意」すること。
といふ風に、「主語（MAIN WORD）」を、「定義」出来る。
然るに、
（23）
「MAIN WORD」と訳される「主語」は、無い。
然るに、
（24）
実際、文法学者が「主語」という「語」を使わなければならないことは、不幸なことだ。この語は、普通のことばでは、とりわけ「話題」（主題）という意味でも使われているからである。
（イェスペルセン著、安藤貞雄 訳、文法の原理（中）、2006年、４５頁）
（25）
三、主語から主題へ 「主語」を廃止しようというのは、この用語のままでは困るからである。
（三上章、日本語の論理、1963年、１４８頁）
（26）
① 吾輩は猫である。名前は無い≡∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝
② 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ 鼻は象が長い≡∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
に於ける、「主語」は、
① 吾輩≡∃ｘ
② 象≡∀ｘ
③ 鼻≡∀ｘ
である。としても、「少なくとも、私は困らない」し、
① 吾輩は猫である。名前は無い。
② 象は鼻が長い。
③ 鼻は象が長い。
に於ける「主語」は、
① 吾輩 であって、
② 象 であって、
③ 鼻 である。
とするのは、明らかに、「多数派」である。
然るに、
（27）
かりに既成専門語をご破算にして、文法（英文法、日本文法）と論理学とが今後新たにそれぞれの専門語をきめるものと仮定しよう。問題は Subject という俗語を採用すべきか否かである。
（三上章、日本語の論理、1963年、６２頁）
従って、
（22）（26）（27）により、
（28）
「主語（Subject）」に換へて、
（ⅰ）「主語（MAIN WORD）」とは、「述語論理式（完全な文）の文頭」にあって、
（ⅱ）「文末」にまで、「その意味」が及んでゐる所の「語」をいふ。
（ⅲ）ただし、「少年ｗ」のやうな「素文」の場合は、「ｗ」を、「主語（MAIN WORD）」とする。
といふ「新たな定義」を、行ったとしても、
① 吾輩
② 象
③ 鼻
こそが、
① 吾輩は猫である。名前は無い。
② 象は鼻が長い。
③ 鼻は象が長い。
といふ「日本語」に於ける「主語」である。
といふ「常識」は、「これまで」と、「変り」が無い。
（01）
われわれはつぎの結果をたやすく証明できる。
１５８ ∃ｘ∃ｙ（Ｒｘｙ）├ ～｛∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→Ｒｙｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）｝
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、２３３頁）
然るに、
（02）
１ （１） ∃ｘ∃ｙ（Ｒｘｙ） Ａ
２ （２） ∃ｙ（Ｒａｙ） Ａ
３ （３） Ｒａｂ Ａ
４（４） ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→Ｒｙｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ） Ａ
４（５） ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→Ｒｙｘ） ４＆Ｅ
４（６） ∀ｙ（Ｒｘｂ→Ｒｂｘ） ５ＵＥ
４（７） Ｒａｂ→Ｒｂａ ６ＵＥ
４（８） ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ） ４＆Ｅ
４（９） ∀ｙ（Ｒａｙ→～Ｒｙａ） ８ＵＥ
４（ア） Ｒａｂ→～Ｒｂａ ９ＵＥ
３４（イ） Ｒｂａ ３７ＭＰＰ
３４（ウ） ～Ｒｂａ ３アＭＰＰ
３４（エ） Ｒｂａ＆～Ｒｂａ イウ＆Ｉ
３ （オ）～｛∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→Ｒｙｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）｝ ４エＲＡＡ
２ （カ）～｛∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→Ｒｙｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）｝ ２３オＥＥ
１ （キ）～｛∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→Ｒｙｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）｝ １２カＥＥ
従って、
（01）（02）により、
（03）
私にも、
１５８ ∃ｘ∃ｙ（Ｒｘｙ）├ ～｛∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→Ｒｙｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）｝
といふ結果をたやすく証明できる。
然るに、
（04）
つぎの結果は容易に証明される。
１５９ ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）├ ∀ｘ∀ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、２３４頁）
然るに、
（05）
１５□ ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）├ ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→ｘ≠ｙ＆～Ｒｙｘ）
１ （１） ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ） Ａ
１ （２） ∀ｙ（Ｒａｙ→～Ｒｙａ） １ＵＥ
１ （３） Ｒａｂ→～Ｒｂａ ２ＵＥ
４ （４） ａ＝ｂ＆ Ｒａｂ Ａ
４ （５） ａ＝ｂ ４＆Ｅ
４ （６） Ｒａｂ ４＆Ｅ
１４ （７） ～Ｒｂａ ３６ＭＰＰ
１４ （８） Ｒａａ ５６＝Ｅ
１４ （９） ～Ｒａａ ５７＝Ｅ
１４ （ア） Ｒａａ＆～Ｒａａ ８９＆Ｉ
１ （イ） ～（ａ＝ｂ＆ Ｒａｂ） ４アＲＡＡ
１ （ウ） ａ≠ｂ∨～Ｒａｂ イ、ド・モルガンの法則
１ （エ） ～Ｒａｂ∨ａ≠ｂ ウ交換法則
１ （オ） Ｒａｂ→ａ≠ｂ エ含意の定義
カ（カ） Ｒａｂ Ａ
１ カ（キ） ～Ｒｂａ ３カＭＰＰ
１ カ（ク） ａ≠ｂ オカＭＰＰ
１ カ（ケ） ａ≠ｂ＆～Ｒｂａ キク＆Ｉ
１ （コ） Ｒａｂ→ａ≠ｂ＆～Ｒｂａ カケＣＰ
１ （サ） ∀ｙ（Ｒａｙ→ａ≠ｙ＆～Ｒｙａ） コＵＩ
１ （シ）∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→ｘ≠ｙ＆～Ｒｙｘ） サＵＩ
従って、
（04）（05）により、
（06）
① ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）├ ∀ｘ∀ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）
② ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）├ ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→ｘ≠ｙ＆～Ｒｙｘ）
に於いて、
① は、Ｅ.Ｊ.レモン によって、「証明」されて、
② は、 私 によって、「証明」される。
然るに、
（07）
①（ｘ≠ｙ＆Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）
②（Ｒｘｙ→ｘ≠ｙ＆～Ｒｙｘ）
に於いて、
③ ｘ≠ｙ が「偽」であって、
③ Ｒｘｙ が「真」であるならば、
① は、「（式全体として、）真」であるが、
② は、「（式全体として、）偽」である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）├ ∀ｘ∀ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）
② ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）├ ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→ｘ≠ｙ＆～Ｒｙｘ）
に於いて、
①＝② ではない。
然るに、
（09）
（３）∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）
であるときまたそのときに限って非対称的である。
親であるという関係は非対称的である。なぜならば、ａがｂの親であるならば、ｂはａの親ではないからである。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、２３２頁）
従って、
（08）（09）により、
（10）
① ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）├ ∀ｘ∀ｙ（ｘ≠ｙ＆親ｘｙ→～親ｙｘ）
② ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）├ ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→ｘ≠ｙ＆～親ｙｘ）
に於いて、
①＝② ではない。
然るに、
（11）
① ∀ｘ∀ｙ（ｘ≠ｙ＆親ｘｙ→～親ｙｘ）
② ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→ｘ≠ｙ＆～親ｙｘ）
に於いて、それぞれ、
①「ｘとｙが同一人物でなくて、ｘがｙの親であること」は、「ｙがｘの親でないこと」の「十分条件」である。
②「ｘがｙの親であること」は、「ｘとｙが同一人物でなくて、ｙがｘの親でないこと」の「十分条件」である。
といふ、「意味」である。
然るに、
（12）
例へば、
②「サザエさんがタラちゃんの親である」ことは、「サザエさんとタラちゃんが、同一人物ではなく、タラちゃんがサザエさんの親でないこと」の「十分条件」である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
②「ｘがｙの親であること」は、「ｘとｙが同一人物でなくて、ｙがｘの親でないこと」の「十分条件」である。⇔
②「サザエさんがタラちゃんの親であること」は、「サザエさんとタラちゃんが、同一人物ではなく、タラちゃんがサザエさんの親でないこと」の「十分条件」である。
といふ「常識」からすると、
① ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）├ ∀ｘ∀ｙ（ｘ≠ｙ＆親ｘｙ→～親ｙｘ）
② ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）├ ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→ｘ≠ｙ＆～親ｙｘ）
といふ「連式（Sequents）」に於いて、
① は、「妥当」ではなく、
② が、「妥当」であると、すべきである。
従って、
（04）（13）により、
（14）
つぎの結果は容易に証明される。
１５９ ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）├ ∀ｘ∀ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、２３４頁）
といふ「２行」は、「正しく」はないと、思はれる（？）。
（01）
練習問題 １
１ つぎの連式の妥当性を証明せよ。
（ａ）∀ｘ∀ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｚ）
（ｂ）∀ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｘ∀ｚ∃ｙ（Ｆｘｙｚ）
（ｃ）∃ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ）
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１７４頁）
〔（私の）解答〕：
（ａ）∀ｘ∀ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｚ）
１（１）∀ｘ∀ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ） Ａ
１（２） ∀ｙ∀ｚ（Ｆａｙｚ） １ＵＥ
１（３） ∀ｚ（Ｆａｂｚ） ２ＵＥ
１（４） Ｆａｂｃ ３ＵＥ
１（５） ∀ｘ（Ｆｘｂｃ） ４ＵＩ
１（６） ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｃ） ５ＵＩ
１（７）∀ｚ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｚ） ６ＵＩ
（ｂ）∀ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｘ∀ｚ∃ｙ（Ｆｘｙｚ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ） Ａ
１ （２） ∃ｙ∀ｚ（Ｆａｙｚ） １ＵＥ
２（３） ∀ｚ（Ｆａｂｚ） Ａ
２（４） Ｆａｂｃ １ＵＥ
２（５） ∃ｙ（Ｆａｙｃ） ４ＥＩ
２（６） ∀ｚ∃ｙ（Ｆａｙｚ） ５ＵＩ
１ （７） ∀ｚ∃ｙ（Ｆａｙｚ） １２６ＥＥ
１ （８）∀ｘ∀ｚ∃ｙ（Ｆｘｙｚ） ７ＵＩ
（ｃ）∃ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ）
１ （１）∃ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ） Ａ
２ （２） ∃ｙ∀ｚ（Ｆａｙｚ） Ａ
３（３） ∀ｚ（Ｆａｂｚ） Ａ
３（４） Ｆａｂｃ ３ＵＥ
３（５） ∃ｘ（Ｆｘｂｃ） ４ＥＩ
２ （６） ∃ｘ（Ｆｘｂｃ） ２３５ＥＥ
２ （７） ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｃ） ６ＥＩ
２ （８）∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ） ７ＵＩ
１ （９）∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ） １２８ＥＥ
然るに、
（02）
（ａ）∀ｘ∀ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）：（（連言の）、連言の）、連言。
（ⅰ） Ｆｘｙｚ
（ⅱ） Ｆｘｙｚ＆Ｆｘｙｚ
（ⅲ） Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ
（ⅳ） （Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ）＆（Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ）
（ⅴ） （Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）＆（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）
（ⅵ）｛（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）＆（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）｝＆｛（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）＆（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）｝
（ⅶ）｛（Ｆａａａ＆Ｆａａｂ）＆（Ｆａｂａ＆Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ＆Ｆｂａｂ）＆（Ｆｂｂａ＆Ｆｂｂｂ）｝
（α）∀ｚ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｚ）：（（連言の）、連言の）、連言。
（ⅰ） Ｆｘｙｚ
（ⅱ） Ｆｘｙｚ＆Ｆｘｙｚ
（ⅲ） Ｆａｙｚ＆Ｆｂｙｚ
（ⅳ） （Ｆａｙｚ＆Ｆｂｙｚ）＆（Ｆａｙｚ＆Ｆｂｙｚ）
（ⅴ） （Ｆａａｚ＆Ｆｂａｚ）＆（Ｆａｂｚ＆Ｆｂｂｚ）
（ⅵ）｛（Ｆａａｚ＆Ｆｂａｚ）＆（Ｆａｂｚ＆Ｆｂｂｚ）｝＆｛（Ｆａａｚ＆Ｆｂａｚ）＆（Ｆａｂｚ＆Ｆｂｂｚ）｝
（ⅶ）｛（Ｆａａａ＆Ｆｂａａ）＆（Ｆａｂａ＆Ｆｂｂａ）｝＆｛（Ｆａａｂ＆Ｆｂａｂ）＆（Ｆａｂｂ＆Ｆｂｂｂ）｝
（ｂ）∀ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）：（（連言の）、選言の）、連言。
（ⅰ） Ｆｘｙｚ
（ⅱ） Ｆｘｙｚ＆Ｆｘｙｚ
（ⅲ） Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ
（ⅳ） （Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ）∨（Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ）
（ⅴ） （Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）∨（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）
（ⅵ）｛（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）∨（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）｝＆｛（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）∨（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）｝
（ⅶ）｛（Ｆａａａ＆Ｆａａｂ）∨（Ｆａｂａ＆Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ＆Ｆｂａｂ）∨（Ｆｂｂａ＆Ｆｂｂｂ）｝
（β）∀ｘ∀ｚ∃ｙ（Ｆｘｙｚ）：（（選言の）、連言の）、連言。
（ⅰ） Ｆｘｙｚ
（ⅱ） Ｆｘｙｚ∨Ｆｘｙｚ
（ⅲ） Ｆｘａｚ∨Ｆｘｂｚ
（ⅳ） （Ｆｘａｚ∨Ｆｘｂｚ）＆（Ｆｘａｚ∨Ｆｘｂｚ）
（ⅴ） （Ｆｘａａ∨Ｆｘｂａ）＆（Ｆｘａｂ∨Ｆｘｂｂ）
（ⅵ）｛（Ｆｘａａ∨Ｆｘｂａ）＆（Ｆｘａｂ∨Ｆｘｂｂ）｝＆｛（Ｆｘａａ∨Ｆｘｂａ）＆（Ｆｘａｂ∨Ｆｘｂｂ）｝
（ⅶ）｛（Ｆａａａ∨Ｆａｂａ）＆（Ｆａａｂ∨Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ∨Ｆｂｂａ）＆（Ｆｂａｂ∨Ｆｂｂｂ）｝
（ｃ）∃ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）：（（連言の）、選言の、）選言。
（ⅰ） Ｆｘｙｚ
（ⅱ） Ｆｘｙｚ＆Ｆｘｙｚ
（ⅲ） Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ
（ⅳ） （Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ）∨（Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ）
（ⅴ） （Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）∨（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）
（ⅵ）｛（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）∨（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）｝＆｛（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）∨（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）｝
（ⅶ）｛（Ｆａａａ＆Ｆａａｂ）∨（Ｆａｂａ＆Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ＆Ｆｂａｂ）∨（Ｆｂｂａ＆Ｆｂｂｂ）｝
（γ）∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ）：（選言の）、選言の、）連言。
（ⅰ） Ｆｘｙｚ
（ⅱ） Ｆｘｙｚ∨Ｆｘｙｚ
（ⅲ） Ｆａｙｚ∨Ｆｂｙｚ
（ⅳ） （Ｆａｙｚ∨Ｆｂｙｚ）∨（Ｆａｙｚ∨Ｆｂｙｚ）
（ⅴ） （Ｆａａｚ∨Ｆｂａｚ）∨（Ｆａｂｚ∨Ｆｂｂｚ）
（ⅵ）｛（Ｆａａｚ∨Ｆｂａｚ）∨（Ｆａｂｚ∨Ｆｂｂｚ）｝＆｛（Ｆａａｚ∨Ｆｂａｚ）∨（Ｆａｂｚ∨Ｆｂｂｚ）｝
（ⅶ）｛（Ｆａａａ∨Ｆｂａａ）∨（Ｆａｂａ∨Ｆｂｂａ）｝＆｛（Ｆａａｂ∨Ｆｂａｂ）∨（Ｆａｂｂ∨Ｆｂｂｂ）｝
従って、
（03）
（ａ）∀ｘ∀ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｚ）
（ｂ）∀ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｘ∀ｚ∃ｙ（Ｆｘｙｚ）
（ｃ）∃ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ）
といふ「連式（sequents）」は、｛ａ，ｂ｝のみを含む、「２つの対象」から成る「世界」に於いて、それぞれ、
（ａ）｛（Ｆａａａ＆Ｆａａｂ）＆（Ｆａｂａ＆Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ＆Ｆｂａｂ）＆（Ｆｂｂａ＆Ｆｂｂｂ）｝┤├
（α）｛（Ｆａａａ＆Ｆｂａａ）＆（Ｆａｂａ＆Ｆｂｂａ）｝＆｛（Ｆａａｂ＆Ｆｂａｂ）＆（Ｆａｂｂ＆Ｆｂｂｂ）｝
（ｂ）｛（Ｆａａａ＆Ｆａａｂ）∨（Ｆａｂａ＆Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ＆Ｆｂａｂ）∨（Ｆｂｂａ＆Ｆｂｂｂ）｝├
（β）｛（Ｆａａａ∨Ｆａｂａ）＆（Ｆａａｂ∨Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ∨Ｆｂｂａ）＆（Ｆｂａｂ∨Ｆｂｂｂ）｝
（ｃ）｛（Ｆａａａ＆Ｆａａｂ）∨（Ｆａｂａ＆Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ＆Ｆｂａｂ）∨（Ｆｂｂａ＆Ｆｂｂｂ）｝├
（γ）｛（Ｆａａａ∨Ｆｂａａ）∨（Ｆａｂａ∨Ｆｂｂａ）｝＆｛（Ｆａａｂ∨Ｆｂａｂ）∨（Ｆａｂｂ∨Ｆｂｂｂ）｝
といふ「連式（sequents）」に「相当」し、尚且つ、「これらの連式」は、３つとも、「妥当」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
（ａ）∀ｘ∀ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｚ）
（ｂ）∀ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｘ∀ｚ∃ｙ（Ｆｘｙｚ）
（ｃ）∃ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ）
といふ「３つの連式（sequents）」すなはち、
（ａ）├ （α）
（ｂ）├ （β）
（ｃ）├ （γ）
といふ「３つの連式（sequents）」が「妥当」である「所以」は、すべて、
① Ｐ＆Ｑ→（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｑ∨Ｐ）
② Ｐ∨Ｑ→（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｑ＆Ｐ）
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であるが、
② は、「非妥当（インバリッド）」である、からである。
ｃｆ.
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｑ １＆Ｅ
１（５） Ｑ∨Ｐ ４∨Ｉ
１（６） （Ｐ∨Ｑ）＆（Ｑ∨Ｐ） ３５＆Ｉ
（７） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｑ∨Ｐ） １６ＣＰ
（01）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとして、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ）（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）
（ⅱ）（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）∨（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）∨（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）
（ⅲ）（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
といふ「手順」で、「展開」出来る。
同様に、
（02）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとして、
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅱ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅲ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「手順」で、「展開」出来る。
従って、
（01）により、
（03）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
（ⅰ）
１ （１）∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ） Ａ
２（２） ∀ｘ（愛ｘｂ） Ａ
２（３） 愛ａｂ ２ＵＥ
２（４） ∃ｙ（愛ａｙ） ２ＥＩ
２（５）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） ４ＵＩ
１ （６）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） １２５ＥＥ
といふ「述語計算（Predicate calculus）」は、
（ⅰ）
１ （１）（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨ （愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ） Ａ
１ （２）（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨｛（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）｝ １結合法則
３ （３）（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ） Ａ
３ （４） 愛ａａ ３＆Ｅ
３ （５） 愛ａａ∨愛ａｂ∨ ４∨Ｉ
３ （６）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ） ５∨Ｉ
３ （７） 愛ｂａ ３＆Ｅ
３ （８） 愛ｂａ∨愛ｂｂ ７∨Ｉ
３ （９） （愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ） ８∨Ｉ
３ （ア） 愛ｃａ ３＆Ｅ
３ （イ） 愛ｃａ∨愛ｃｂ ア∨Ｉ
３ （ウ） （愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） イ∨Ｉ
３ （エ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ） ６９＆Ｉ
３ （オ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） ウエ＆Ｉ
カ （カ） ｛（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）｝ Ａ
キ （キ） （愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ） Ａ
キ （ク） 愛ａｂ キ＆Ｅ
キ （ケ） 愛ａａ∨愛ａｂ ク∨Ｉ
キ （コ） （愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ） ケ∨Ｉ
キ （サ） 愛ｂｂ キ＆Ｅ
キ （シ） 愛ｂａ∨愛ｂｂ サ∨Ｉ
キ （ス） （愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ） シ∨Ｉ
キ （セ） 愛ｃｂ キ＆Ｅ
キ （ソ） 愛ｃｂ∨愛ｃｃ セ∨Ｉ
キ （タ） （愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） ソ∨Ｉ
キ （チ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ） コス＆Ｉ
キ （ツ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） タチ＆Ｉ
テ（テ） （愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ） Ａ
テ（ト） 愛ａｃ テ＆Ｅ
テ（ナ） 愛ａｂ∨愛ａｃ ト∨Ｉ
テ（ニ） （愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ） ナ∨Ｉ
テ（ヌ） 愛ｂｃ ニ＆Ｅ
テ（ネ） 愛ｂｂ∨愛ｂｃ ヌ∨Ｉ
テ（ノ） （愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ） ネ∨Ｉ
テ（ハ） 愛ｃｃ テ＆Ｅ
テ（ヒ） 愛ｃｂ∨愛ｃｃ ハ∨Ｉ
テ（フ） （愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） ヒ∨Ｉ
テ（ヘ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ） ニノ＆Ｉ
テ（ホ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） フヘ＆Ｉ
カ （マ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） カキツテホ∨Ｅ
１ （ミ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） ２３オカマ∨Ｅ
といふ「命題計算（Propositional calculus）」に、「等しい」。
然るに、
（02）により、
（04）
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） Ａ
１ （２） ∃ｙ（愛ａｙ） １ＵＥ
３（３） （愛ａｂ） Ａ
３（４） ∀ｘ（愛ｘｂ） ３ＵＩ
３（５）∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ） １３５ＥＥ
といふ「述語計算（？）」は、
（ⅱ）
１ （１）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） Ａ
１ （２）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ） １＆Ｅ
３（３） 愛ａｂ Ａ
３（４） 愛ａａ＆愛ａｂ ３３＆Ｉ？
３（〃）（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ｃａ） ３３＆Ｉ？
３（５）（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ） ４∨Ｉ
３（６）（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ） ５∨Ｉ
といふ「命題計算（？）」に、「相当」する。
然るに、
（05）
（ⅱ）
３（３） （愛ａｂ） Ａ
３（４） ∀ｘ（愛ｘｂ） ３ＵＩ
は、「規則ＵＩ」に対する、「違反」であって、尚且つ、
（ⅱ）
１ （２）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ） １＆Ｅ
３（３） 愛ａｂ Ａ
３（４） 愛ａａ＆愛ａｂ ３３＆Ｉ？
３（〃）（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ｃａ） ３３＆Ｉ？
といふ「計算（？）」も、「デタラメ」であって、
例へば、
①（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
②（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
③（愛ａａ ）＆（ 愛ｂｂ ）＆（ 愛ｃｃ）
に於いて、
① ならば、② であって、
③ ならば、② であるが、
③ と ② は、「同時に真である」ことが、出来るが、
③ と ① は、「同時に真である」ことは、出来ない。
ｃｆ.
１ （１） ①→② Ａ
２ （２） ③→② Ａ
３ （３）～（③＆①） Ａ
４ （４） ②→① Ａ
５（５） ③ Ａ
２ ５（６） ② ２５ＭＰＰ
２ ４５（７） ① ４６ＭＰＰ
２ ４５（８） （③＆①） ５７＆Ｉ
２３４５（９）～（③＆①）＆
（③＆①）
２３ ５（ア）～（②→①） ４９ＲＡＡ
従って、
（01）～（05）により、
（06）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。とは、限らない。
然るに、
（07）
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
の場合は、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）
であっても、「真」である。
従って、
（07）により、
（08）
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（ａは、ａ自身を愛してゐて、ｂは、ａを愛してゐて、ｃは、ａを愛してゐる。）
であっても、「真」である。
然るに、
（09）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとして、
①（ａは、ａ自身を愛してゐて、ｂは、ａを愛してゐて、ｃは、ａを愛してゐる。）
といふことは、
① ａといふ、ある人は、すべての人（ａ、ｂ、ｃ）に、愛されてゐる。
といふことに、他ならない。
然るに、
（10）
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
の場合は、
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）
であれば、「偽」であり、それ故、
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
でなければ、「真」には、ならない。
然るに、
（11）
②（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふことは、
②（ａはａ自身を愛してゐるか、または、ａはｂを愛してゐるか、または、ａはｃを愛してゐる。）そして、
②（ｂはａを愛してゐるか、または、ｂはｂ自身を愛してゐるか、または、ｂはｃを愛してゐる、）そして、
②（ｃはａを愛してゐるか、または、ｃはｂを愛してゐるか、または、ｃはｃ自身を愛してゐる。）
といふことであって、といふことは、
② すべての人（ａ、ｂ、ｃ）は、ある人を愛してゐる。
といふことに、他ならない。
従って、
（06）～（11）により、
（12）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとして、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「式」は、それそれ、
① ある人は、すべての人（ａ、ｂ、ｃ）に、愛されてゐる。
② すべての人（ａ、ｂ、ｃ）は、ある人を愛してゐる。
といふ「意味」である。
然るに、
（13）
① 例へば、ａが、すべての人によって愛されてゐる。
といふのであれば、
② すべての人は、ある人（ａ）を愛してゐる。
然るに、
（14）
② すべての人が、ある人を愛してゐる。
としても、
② すべての人が、一人の、同じ人物（例へば、ａ）を愛してゐる。
とは、限らない。
従って、
（01）～（14）により、
（15）
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡ ある人は、すべての人によって、愛されてゐる。
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡ すべての人が、ある人を愛してゐる。
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。とは、限らない。
（01）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ）（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）
（ⅱ）（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）∨（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）∨（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）
（ⅲ）（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
といふ「手順」で、「展開」出来る。
同様に、
（02）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅱ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅲ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「手順」で、「展開」出来る。
然るに、
（01）（02）により、
（03）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「式」は、それぞれ、
① ある人はすべての人によって、愛されてゐる（受動態）。
② すべての人は、ある人を愛してゐる（能動態）。
といふ、「意味」である。
然るに、
（04）
「＆（そして）」と「∨（または）」の「働き」からすれば、
①（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
②（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
に於いて、明らかに、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。とは、限らない。
（05）
例へば、
①（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
②（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
③（愛ａａ ）＆（ 愛ｂｂ ）＆（ 愛ｃｃ）
に於いて、
① ならば、② であって、
③ ならば、② であるが、
③ と ② は、「同時に真である」ことが、出来るが。
③ と ① は、「同時に真である」ことは、出来ない。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１ （１）∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ） Ａ
２（２） ∀ｘ（愛ｘｂ） Ａ
２（３） 愛ａｂ ２ＵＥ
２（４） ∃ｙ（愛ａｙ） ２ＥＩ
２（５）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） ４ＵＩ
１ （６）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） １２５ＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） Ａ
１ （２） ∃ｙ（愛ａｙ） １ＵＥ
３（３） （愛ａｂ） Ａ
３（４） ∀ｘ（愛ｘｂ） ３ＵＩ
３（５）∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ） １３５ＥＥ
然るに、
（06）により、
（07）
（ⅱ）
３（３） （愛ａｂ） Ａ
３（４） ∀ｘ（愛ｘｂ） ３ＵＩ
は、「規則ＵＩ」に対する、「違反」である。
従って、
（03）～（07）により、
（08）
いづれにせよ、
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「式」は、それぞれ、
① ある人はすべての人によって、愛されてゐる（受動態）。
② すべての人は、ある人を愛してゐる（能動態）。
といふ「意味」であって、尚且つ、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。とは、限らない。
然るに、
（09）
（ⅰ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲は、問題になっている変数が現れる「少なくとも２つの箇所」を含むであろう（その１つの箇所は量記号そのもののなかにある）；
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１８３頁）
然るに、
（10）
括弧は、論理演算子のスコープ（scope）を明示する働きを持つ。スコープは、論理演算子の働きが及ぶ範囲のことをいう。
（産業図書、数理言語学辞典、2013年、四七頁：命題論理、今仁生美）
従って、
（03）（08）（09）（10）により、
（11）
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡ ある人はすべての人によって、愛されてゐる。
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡ すべての人は、ある人を愛してゐる。
といふ「述語論理式」は、「量記号の作用範囲（scope）」といふことからすれば、それぞれ、
① ∃ｙ｛∀ｘ（愛ｘｙ）｝≡ ある人はすべての人によって愛されてゐる。
② ∀ｘ｛∃ｙ（愛ｘｙ）｝≡ すべての人はある人を愛してゐる。
といふ風に、書くのが、「正しい」。
従って、
（11）により、
（12）
① ∃ｙ｛∀ｘ（愛ｘｙ）｝≡ ある人はすべての人によって愛されてゐる。
② ∀ｘ｛∃ｙ（愛ｘｙ）｝≡ すべての人はある人を愛してゐる。
に於ける、「２つの右辺」にしても、
① ある人は｛すべての人によって愛されてゐる｝。
② すべての人は｛ある人を愛してゐる｝。
といふ「括弧（scope）」が、有るに、違ひ無い。
然るに、
（13）
① ある人は｛すべての人によって愛されてゐる｝。
② すべての人は｛ある人を愛してゐる｝。
に於いて、
① ある人は
② すべての人は
それぞれ、「文頭」にあって、「その意味」が「文末」にまで及んでゐる。
然るに、
（14）
① ある人は｛すべての人によって愛されてゐる｝。
② すべての人は｛ある人を愛してゐる｝。
に於いて、
① ある人は
② すべての人は
は、「２つ」とも、「常識的」には、「主語」と言ふ。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
『主に「文頭」にあって、「その意味」が「文末」にまで及んでゐる「語」』を「日本語の主語」とするならば、
① ある人は｛すべての人によって愛されてゐる｝≡∃ｙ｛∀ｘ（愛ｘｙ）｝。
② すべての人は｛ある人を愛してゐる｝ ≡∀ｘ｛∃ｙ（愛ｘｙ）｝。
③ 象は｛鼻が長い｝≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
④ 鼻は｛象が長い｝≡∀ｘ｛∃ｙ［鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）］｝。
に於いて、
① ある人は
② すべての人は
③ 象は
④ 鼻は
は、それぞれ、
①｛すべての人によって愛されてゐる｝。
②｛ある人を愛してゐる｝。
③｛鼻が長い｝。
④｛象が長い｝。
に対する、「主語」である。
然るに、
（16）
実際、文法学者が「主語」という「語」を使わなければならないことは、不幸なことだ。この語は、普通のことばでは、とりわけ「話題」（主題）という意味でも使われているからである。
（イェスペルセン著、安藤貞雄 訳、文法の原理（中）、2006年、４５頁）
（17）
三、主語から主題へ
「主語」を廃止しようというのは、この用語のままでは困るからである。
（三上章、日本語の論理、1963年、１４８頁）
然るに、
（18）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （〃）象は、鼻が長い。 Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
２ （〃）兎は、耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ） ア＆Ｅ
オ（オ） 長ｂ＆耳ｂａ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ ６ オ（ケ） ～鼻ｂａ オクＭＰＰ
１ ６ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア＆Ｅ
１ ６ （サ） ～鼻ｂａ→～長ｂ コＵＥ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない）。 ナＵＩ
１２ （〃）兎は、象ではない。 ナＵＩ
従って、
（15）～（18）により、
（19）
③ 象は｛鼻が長い｝≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「等式」は、「正しく」、それ故、
『主に「文頭」にあって、「その意味」が「文末」にまで及んでゐる「語」』を「日本語の主語」とするならば、
③ 象は｛鼻が長い｝。
に於ける「主語」は、明らかに、
③ 象は
であるといふことになり、そのため、「少しも、困らない。」
令和０２年１０月０６日（は奥歯が痛い）
（01）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅱ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅲ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「手順」で、「展開」出来る。
従って、
（01）により、
（02）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
③（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
に於いて、
①＝③ である。
然るに、
（03）
③（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）≡（ａはａ自身を愛してゐるか、または、ａはｂを愛してゐるか、または、ａはｃを愛してゐる。）そして、
③（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）≡（ｂはａを愛してゐるか、または、ｂはｂ自身を愛してゐるか、または、ｂはｃを愛してゐる、）そして、
③（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）≡（ｃはａを愛してゐるか、または、ｃはｂを愛してゐるか、または、ｃはｃ自身を愛してゐる。）
といふことは、
② すべての人（ａ、ｂ、ｃ）は、ある人を愛してゐる。
といふことに、他ならない。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
② すべての人は、ある人を愛してゐる。
③（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（05）
（ⅰ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅱ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅲ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「手順」を「応用」すると、
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
として、
① 鼻は象が長い（鼻は象以外は長くない）。
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
③ ｛［（鼻αａ＆象ａ→長α）＆（～象ａ＆長α→～鼻αａ）］∨［（鼻αｂ＆象ｂ→長α）＆（～象ｂ＆長α→～鼻αｂ）］｝＆｛［（鼻βａ＆象ａ→長β）＆（～象ａ＆長β→～鼻βａ）］∨［（鼻βｂ＆象ｂ→長β）＆（～象ｂ＆長β→～鼻βｂ）］｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
（06）
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
として、
③｛［（鼻αａ＆象ａ→長α）＆（～象ａ＆長α→～鼻αａ）］∨［（鼻αｂ＆象ｂ→長α）＆（～象ｂ＆長α→～鼻αｂ）］｝
＆｛［（鼻βａ＆象ａ→長β）＆（～象ａ＆長β→～鼻βａ）］∨［（鼻βｂ＆象ｂ→長β）＆（～象ｂ＆長β→～鼻βｂ）］｝
といふ「式」は、
③｛［鼻αは象ａの鼻であって長く］尚且つ［ａが象ではなく、αが長いならば、αはａの鼻ではないか、］または、
［鼻αは象ｂの鼻であって長く］尚且つ［ｂが象ではなく、αが長いならば、αはｂの鼻ではなくて、］｝尚且つ、
③｛［鼻βは象ａの鼻であって長く］尚且つ［ａが象ではなく、βが長いならば、βはａの鼻ではないか、］または、
［鼻βは象ｂの鼻であって長く］尚且つ［ｂが象ではなく、βが長いならば、βはｂの鼻ではなくて、］｝。
といふ「意味」である。
従って、
（06）により、
（07）
③｛［（鼻αａ＆象ａ→長α）＆（～象ａ＆長α→～鼻αａ）］∨［（鼻αｂ＆象ｂ→長α）＆（～象ｂ＆長α→～鼻αｂ）］｝
＆｛［（鼻βａ＆象ａ→長β）＆（～象ａ＆長β→～鼻βａ）］∨［（鼻βｂ＆象ｂ→長β）＆（～象ｂ＆長β→～鼻βｂ）］｝
といふ「式」は、
③｛鼻αは、象ａの鼻であるか、象ｂの鼻であるならば、その時に限って、長く、｝尚且つ、｛鼻βは、象ａの鼻であるか、象ｂの鼻であるならば、その時に限って、長い｝。
といふ「意味」になる。
然るに、
（08）
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
として、
③｛鼻αは、象ａの鼻であるか、象ｂの鼻であるならば、その時に限って、長く、｝尚且つ、｛鼻βは、象ａの鼻であるか、象ｂの鼻であるならば、その時に限って、長い｝。
といふことは、
① 鼻は象が長い（鼻は象以外は長くない）。⇔
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
といふことに、他ならない。
令和０２年１０月０６日（は奥歯が痛い）。
（01）
（ⅰ）鼻は象が長い（鼻は象以外は長くない）。然るに、
（ⅱ）ある兎は、象ではないが鼻が有る。 従って、
（ⅲ）ある兎の鼻は長くない。
といふ「論証（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（01）により、
（02）
「記号」と書くと、
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ）。 従って、
（ⅲ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）。
といふ「論証（三段論法）」は、「妥当」である。
然るに、
（03）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆長ａ→～鼻ａｙ）｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ） Ａ
３ （４） ～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ ３＆Ｅ
５ （５）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ） Ａ
６ （６） ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ａｙ） Ａ
７（７） 兎ｂ＆～象ｂ＆鼻ａｂ Ａ
７（８） 兎ｂ＆ ７＆Ｅ
７（９） ～象ｂ ７＆Ｅ
７（ア） 鼻ａｂ ７＆Ｅ
７（イ） ～～鼻ａｂ アＤＮ
３ ７（ウ） ～（～象ｂ＆ 長ａ） ４イＭＴＴ
３ ７（エ） ～～象ｂ∨～長ａ ウ、ド・モルガンの法則
３ ７（オ） ～象ｂ→～長ａ エ含意の定義
３ ７（カ） ～長ａ ９オＭＰＰ
７（キ） 兎ｂ＆鼻ａｂ ８ア＆Ｉ
３ ７（ク） 兎ｂ＆鼻ａｂ＆～長ａ カキ＆Ｉ
３ ７（ケ） ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ＆～長ａ） クＥＩ
３ ６ （コ） ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ＆～長ａ） ６７ケＥＥ
３ ６ （サ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） コＥＩ
３５ （シ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） ５６サＥＥ
１ ５ （ス）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） １３シＥＥ
従って、
（02）（03）により、
（04）
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝，∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ）├ ∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）
といふ「推論（連式）」は、果たして、「妥当」である。
然るに、
（05）
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
として、
∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ） ［（鼻ｘａ＆象ａ→長ｘ）＆（～象ａ＆長ｘ→～鼻ｘａ）］∨［（鼻ｘｂ＆象ｂ→長ｘ）＆（～象ｂ＆長ｘ→～鼻ｘｂ）］
（ⅱ）｛［（鼻ｘａ＆象ａ→長ｘ）＆（～象ａ＆長ｘ→～鼻ｘａ）］∨［（鼻ｘｂ＆象ｂ→長ｘ）＆（～象ｂ＆長ｘ→～鼻ｘｂ）］｝＆｛［（鼻ｘａ＆象ａ→長ｘ）＆（～象ａ＆長ｘ→～鼻ｘａ）］∨［（鼻ｘｂ＆象ｂ→長ｘ）＆（～象ｂ＆長ｘ→～鼻ｘｂ）］｝
（ⅲ）｛［（鼻αａ＆象ａ→長α）＆（～象ａ＆長α→～鼻αａ）］∨［（鼻αｂ＆象ｂ→長α）＆（～象ｂ＆長α→～鼻αｂ）］｝＆｛［（鼻βａ＆象ａ→長β）＆（～象ａ＆長β→～鼻βａ）］∨［（鼻βｂ＆象ｂ→長β）＆（～象ｂ＆長β→～鼻βｂ）］｝
といふ「手順」で、「展開」出来る。
従って、
（04）（05）により、
（06）
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
として、
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
③ ｛［（鼻αａ＆象ａ→長α）＆（～象ａ＆長α→～鼻αａ）］∨［（鼻αｂ＆象ｂ→長α）＆（～象ｂ＆長α→～鼻αｂ）］｝＆｛［（鼻βａ＆象ａ→長β）＆（～象ａ＆長β→～鼻βａ）］∨［（鼻βｂ＆象ｂ→長β）＆（～象ｂ＆長β→～鼻βｂ）］｝
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（07）
① 鼻は象が長い（鼻は象以外は長くない）。
といふ「日本語」を、
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝⇔
② すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長いならば、ｘはｙの鼻ではない｝。
といふ風に、
② ∀ｘ∃ｙ
といふ「量記号（quantifiers）」を用ひて、「翻訳」すべきであると、「感じた」のは、
①｛ｘ│ｘは鼻である。｝
といふ「集合」の、「真部分集合」として、
②｛ｙ│ｙは象の鼻である。｝
といふ「集合」があるためである。
然るに、
（07）により、
（08）
さうだとすると、
ｎ（鼻）＝「鼻といふ集合の要素の個数」は、必ず、
ｎ（象）＝「象といふ集合の要素の個数」よりも、「多い」ことになる。
従って、
（06）（08）により、
（09）
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
といふ風に、
ｎ（鼻）＝ｎ（象）
であるのは、「マズイ」のであって、例へば、
鼻＝｛α，β，γ，δ，ε，｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝ は「集合」である。
といふに、
ｎ（鼻）＞ｎ（象）
でなければ、ならない。
従って、
（06）（09）により、
（10）
「厳密」には、
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
として、
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
③ ｛［（鼻αａ＆象ａ→長α）＆（～象ａ＆長α→～鼻αａ）］∨［（鼻αｂ＆象ｂ→長α）＆（～象ｂ＆長α→～鼻αｂ）］｝＆｛［（鼻βａ＆象ａ→長β）＆（～象ａ＆長β→～鼻βａ）］∨［（鼻βｂ＆象ｂ→長β）＆（～象ｂ＆長β→～鼻βｂ）］｝
に於いて、
②＝③ である。
といふ風には、言へない。
（11）
① 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
② 鼻は象が長い≡∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝。
といふ「翻訳」もさうであるやうに、
日常言語の文から述語計算の文の翻訳のためには、一般にあたまが柔軟であることが必要である。なんら確定的な規則があるわけでなく、量記号に十分に馴れるまでには、練習を積むことが必要である。
Flexibility of mind is generally required for translating from ordinary speech into sentences of the predicate calculus. No firm rules can be given, and practice is needed before full familiarity with quantifiers is reached.
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１３０頁）
（01）
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
鼻＝｛α，β｝も「集合」である。
として、
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （２）∃ｘ（象ｘ） Ａ
１ （３） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） １ＵＥ
３ （４） 象ａ Ａ
１ ３ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３４＆Ｉ
６（６） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
３６（７） 象ａ＆鼻ｂａ＆長ｂ ４６＆Ｉ
３６（８） ∃ｙ（象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ） ７ＥＩ
１ ３ （９） ∃ｙ（象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ） ５６８ＥＥ
１ ３ （ア） ∃ｘ∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ） ９ＥＩ
１２ （イ） ∃ｘ∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ） ２３アＥＥ
といふ「述語計算（Predicate calculus）」は、
１ （１）｛象ａ→（鼻αａ＆長α）∨象ａ→（鼻βａ＆長β）｝＆
｛象ｂ→（鼻αｂ＆長α）∨象ｂ→（鼻βｂ＆長β）｝ Ａ
２ （２） 象ａ∨象ｂ Ａ
１ （３）｛象ａ→（鼻αａ＆長α）∨象ａ→（鼻βａ＆長β）｝ １＆Ｅ
４ （４） 象ａ Ａ
５ （５） 象ａ→（鼻αａ＆長α） Ａ
４５ （６） 鼻αａ＆長α ４５ＭＰＰ
４５ （７） 象ａ＆鼻αａ＆長α ４６＆Ｉ
４５ （８） （象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β） ７∨Ｉ
９ （９） 象ａ→（鼻βａ＆長β） Ａ
４ ９ （ア） 鼻βａ＆長β ４９ＭＰＰ
４ ９ （イ） 象ａ＆鼻βａ＆長β ４ア＆Ｉ
４ ９ （ウ） （象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β） イ∨Ｉ
１ ４ （エ） （象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β） ３５８９ウ∨Ｅ
１ ４ （オ）｛（象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β）｝∨
｛（象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β）｝ オ∨Ｉ
１ （カ）｛象ｂ→（鼻αｂ＆長α）∨象ｂ→（鼻βｂ＆長β）｝ １＆Ｅ
キ （キ） 象ａ Ａ
ク （ク） 象ｂ→（鼻αｂ＆長α） Ａ
キク （ケ） 鼻αｂ＆長α キクＭＰＰ
キク （コ） 象ｂ＆鼻αｂ＆長α キケ＆Ｉ
キク （シ） （象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β） コ∨Ｉ
ス（ス） 象ｂ→（鼻βｂ＆長β） Ａ
キ ス（セ） 鼻βｂ＆長β キシＭＰＰ
キ ス（ス） 象ｂ＆鼻βｂ＆長β キス＆Ｉ
キ ス（セ） （象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β） セ∨Ｉ
１ キ （ソ） （象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β） カクシスセ∨Ｅ
１ キ （タ）｛（象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β）｝∨
｛（象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β）｝ ソ∨Ｉ
１２ （チ）｛（象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β）｝∨
｛（象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β）｝ ２４オキタ∨Ｅ
といふ「命題計算（Propositional calculus）」に、「相当」する。
従って、
（01）により、
（02）
｛ａとｂ｝が「象」であって、
｛αとβ｝が「鼻」である「世界」を想定すると、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝，∃ｘ（象ｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）
②｛象ａ→（鼻αａ＆長α）∨象ａ→（鼻βａ＆長β）｝＆｛象ｂ→（鼻αｂ＆長α）∨象ｂ→（鼻βｂ＆長β）｝, (象ａ∨象ｂ）├ ｛（象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β）｝∨｛（象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β）｝
といふ「連式（Sequents）」に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
｛ａとｂ｝が「象」であって、
｛αとβ｝が「鼻」である「世界」を想定すると、
① 象は鼻は長い。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長い｝。
とするならば、
②｛（象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β）｝∨｛（象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β）｝⇔
②｛（象ａの鼻はαであって、αは長い）か、または、（象ａの鼻はβであって、βは長い）｝か、または、｛（象ｂの鼻はαであって、αは長い）か、または、（象ｂの鼻はβであって、βは長い）｝。
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（04）
つぎの２章において取り扱をうとする述語計算のような、より複雑なレベルの論理学においては、真理表の方法は無効となる。実際このレベルにおける表現を、妥当なものと不妥当なものにふるいわける機械的な手段は存在しないことが知られているのである。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１１５頁）
然るに、
（05）
「述語論理」ではなく、「命題論理」の場合は、「妥当なものと不妥当なものにふるいわける機械的な手段が存在する。」
従って、
（04）（05）
（06）
「すべての述語倫理式」が、「命題論理式」に「翻訳」出来るとするならば、「矛盾」する。
従って、
（03）（06）
（07）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝，∃ｘ（象ｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）
②｛象ａ→（鼻αａ＆長α）∨象ａ→（鼻βａ＆長β）｝＆｛象ｂ→（鼻αｂ＆長α）∨象ｂ→（鼻βｂ＆長β）｝, (象ａ∨象ｂ）├ ｛（象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β）｝∨｛（象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β）｝
といふ「連式（Sequents）」に於いて、
①＝② である。
といふのは、あるいは、「方便」である。
といふ、ことになる（？）。
（01）
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、「３つの対象」から成る「世界」に於いて、
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） Ａ
２ （２）∃ｘ（象ｘ） Ａ
１ （３） 象ａ→動物ａ １ＵＥ
４（４） 象ａ Ａ
１ ４（５） 動物ａ ３４ＭＰＰ
１ ４（６） 象ａ＆動物ａ ４５＆Ｉ
１ ４（７）∃ｘ（象ｘ＆動物ｘ） ６ＥＩ
１２ （８）∃ｘ（象ｘ＆動物ｘ） ２４７ＥＥ
１２ （〃）象といふ動物がゐる。 ２４７ＥＥ
といふ「述語計算（Predicate calculus）」は、
１ （１）（象ａ→動物ａ）＆（象ｂ→動物ｂ）＆（象ｃ→動物ｃ） Ａ
２ （２）（象ａ∨象ｂ∨象ｃ） Ａ
１ （３）（象ａ→動物ａ） １＆Ｅ
１ （４）（象ｂ→動物ｂ） １＆Ｅ
１ （５）（象ｃ→動物ｃ） １＆Ｅ
２ （６） 象ａ∨（象ｂ∨象ｃ） ２結合法則
７ （７） 象ａ Ａ
１ ７ （８） 動物ａ ３７ＭＰＰ
１ ７ （９） 象ａ＆動物ａ ７８＆Ｉ
１ ７ （ア）（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ） ９∨Ｉ
１ ７ （イ）（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｃ＆動物ｃ） ア∨Ｉ
ウ （ウ） （象ｂ∨象ｃ） Ａ
エ （エ） 象ｂ Ａ
１ エ （オ） 動物ｂ ４エＭＰＰ
１ エ （カ） 象ｂ＆動物ｂ エオ＆Ｉ
１ エ （キ） （象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｘ＆動物ｃ） カ∨Ｉ
１ エ （ク）（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｃ＆動物ｃ） キ∨Ｉ
ケ（ケ） 象ｃ Ａ
１ ケ（コ） 動物ｃ ５ケＭＰＰ
１ ケ（サ） 象ｃ＆動物ｃ ケコ＆Ｉ
１ ケ（シ） （象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｘ＆動物ｃ） サ∨Ｉ
１ ケ（ス）（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｃ＆動物ｃ） シ∨Ｉ
ウ （セ）（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｃ＆動物ｃ） ウエクケス∨Ｅ
１２ （ソ）（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｃ＆動物ｃ） ２７イウセ∨Ｅ
といふ「命題計算（Propositional calculus）」に、「等しい」。
従って、
（01）により、
（02）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （〃）象は、鼻が長い。 Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
２ （〃）兎は、耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ） ア＆Ｅ
オ（オ） 長ｂ＆耳ｂａ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ ６ オ（ケ） ～鼻ｂａ オクＭＰＰ
１ ６ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア＆Ｅ
１ ６ （サ） ～鼻ｂａ→～長ｂ コＵＥ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない）。 ナＵＩ
１２ （〃）兎は、象ではない。 ナＵＩ
といふ「述語計算（Predicate calculus）」であっても、「命題計算（Propositional calculus）」に、「置き換へ」ることが、出来るはずであるが、「大変（面倒）」なので、「やりたくない」。
然るに、
（01）により、
（03）
１２ （８）∃ｘ（象ｘ＆動物ｘ） ２４７ＥＥ
といふ「結論」は、
∀ｘ（象ｘ→動物ｘ），∃ｘ（象ｘ）├ ∃ｘ（象ｘ＆動物ｘ）
といふ「連式」に、相当する。
従って、
（01）（03）により、
（04）
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、「３つの対象」から成る「世界」に於いて、
１２ （８）∃ｘ（象ｘ＆動物ｘ） ２４７ＥＥ
といふ「結論」は、
（象ａ→動物ａ）＆（象ｂ→動物ｂ）＆（象ｃ→動物ｃ），（象ａ∨象ｂ∨象ｃ）├（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｃ＆動物ｃ）
といふ「連式」に、相当する。
従って、
（04）により、
（05）
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、「３つの対象」から成る「世界」に於いて、
１２ （８）∃ｘ（象ｘ＆動物ｘ） ２４７ＥＥ
といふ「結論」は、
（ａが象ならば、ａは動物である。）＆（ｂが象ならば、ｂは動物である。）＆（ｃが象ならば、ｃは動物である。），（ａは象であるか、または、ｂは象であるか、または、ｃは象である。）それ故、（ａは象であって、動物である）か、または、（ｂは象であって、動物である）か、または、（ｃは象であって、動物である）。
といふ「意味」である。
然るに、
（06）
（ａが象ならば、ａは動物である。）＆（ｂが象ならば、ｂは動物である。）＆（ｃが象ならば、ｃは動物である。）
といふのであれば、
（ａは、象ではない）かも知れないし、
（ｂは、象ではない）かも知れないし、
（ｃは、象ではない）かも知れない。
然るに、
（07）
（ａは象であるか、または、ｂは象であるか、または、ｃは象である。）
といふのであれば、「結論」としては、
（ａ、ｂ、ｃの内の、少なくとも、１個体は、象である。）
といふことになり、そのため、「象は、存在する。」
従って、
（01）（03）～（07）により、
（08）
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） Ａ
２（２）∃ｘ（象ｘ） Ａ
１ （１）（象ａ→動物ａ）＆（象ｂ→動物ｂ）＆（象ｃ→動物ｃ） Ａ
２（２）（象ａ∨象ｂ∨象ｃ） Ａ
に於いて、
２（２）∃ｘ（象ｘ） Ａ
といふ「前提２」ではなく、
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）≡（象ａ→動物ａ）＆（象ｂ→動物ｂ）＆（象ｃ→動物ｃ） Ａ
といふ「前提１」自体は、「象の存在」を「確認」してはゐない。
従って、
（08）により、
（09）
∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
の形の文が意味していることはＡのクラスにはどのようなｘも存在しないということであって、ｘがどこか特定のクラスの中に存在しているということをいっているのではない（沢田允、現代論理学入門、1962年、１２４頁）。
といふ、ことになる。
（01）
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、「３つの対象」から成る「世界」に於いて、
１１１
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） Ａ
２（２） Ｆａ＆Ｇａ Ａ
２（３） Ｆａ ２＆Ｅ
２（４）∃ｘ（Ｆｘ） ３ＥＩ
２（５） Ｇａ ２＆Ｅ
２（６） ∃ｘ（Ｇａ） ５ＥＩ
２（７）∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ） ４６＆Ｉ
１ （８）∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ） １２７ＥＥ
といふ「述語計算（Predicate calculus）」は、
１ （１）（Ｆａ＆Ｇａ）∨ （Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） Ａ
１ （２）（Ｆａ＆Ｇａ）∨｛（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）｝ １結合法則
３ （３）（Ｆａ＆Ｇａ） Ａ
３ （４） Ｆａ ３＆Ｅ
３ （５） Ｆａ∨Ｆｂ ４∨Ｉ
３ （６） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ５∨Ｉ
３ （７） Ｇａ ３＆Ｅ
３ （８） Ｇａ∨Ｇｂ ７∨Ｉ
３ （９） Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ ８∨Ｉ
３ （ア）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） ６９＆Ｉ
イ （イ） （Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） Ａ
ウ （ウ） Ｆｂ＆Ｇｂ Ａ
ウ （エ） Ｆｂ ウ＆Ｅ
ウ （オ） Ｆａ∨Ｆｂ エ∨Ｉ
ウ （カ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ オ∨Ｉ
ウ （キ） Ｇｂ ウ＆Ｅ
ウ （ク） Ｇａ∨Ｇｂ キ∨Ｉ
ウ （ケ） Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ ク∨Ｉ
ウ （コ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） カケ＆Ｉ
サ（サ） Ｆｃ＆Ｇｃ Ａ
サ（シ） Ｆｃ サ＆Ｅ
サ（ス） Ｆｂ∨Ｆｃ シ∨Ｉ
サ（セ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ス∨Ｉ
サ（ソ） Ｇｃ サ＆Ｅ
サ（タ） Ｇｂ∨Ｇｃ ソ∨Ｉ
サ（チ） Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ タ∨Ｉ
サ（ツ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） セチ＆Ｉ
イ （テ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） イウコサツ∨Ｅ
１ （ト）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） ２３アイテ∨Ｅ
といふ「命題計算（Propositional calculus）」に、「等しい」。
ｃｆ.
「述語計算」は「命題計算」の「拡張」であるが、「（１）～（ト）」は、「命題計算の規則」だけを用ひてゐる。従って、以上に示した「（１）～（ト）」は「命題計算」である。
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（03）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
③（Ｆａ ＆ Ｇｂ ）
に於いて、
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
といふ「３つの選言支」の中に、
③（Ｆａ＆Ｇｂ）
といふ「選言支」は無い。
従って、
（03）により、
（04）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
③（Ｆａ ＆ Ｇｂ ）
に於いて、
①と③ が、「同時に、真になる」ことはない。
然るに、
（05）
「∨のマトリックス（真理表）」と、「＆のマトリックス（真理表）」により、
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
③（Ｆａ ＆ Ｇｂ ）
に於いて、
②と③ が、「同時に、真になる」ことは、「可能」である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
③（Ｆａ ＆ Ｇｂ ）
に於いて、
①と③ は、「同時に、真になる」ことが、「不可能」であるが、
②と③ は、「同時に、真になる」ことが、「 可能」である。
従って、
（06）により、
（07）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
に於いて、
② ならば、① である。
とは、限らない。
従って、
（02）（05）（06）（07）により、
（08）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（09）
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、「３つの対象」から成る「世界」に於いて、
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
といふ「式」は、
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）
といふ「述語論理式」に、相当する。
従って、
（08）（09）により、
（10）
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（11）
１１１ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）
に対して、
逆の連式 ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） は妥当ではない。
― 中略、―
この連式を証明しようとする自然な試みが、ＥＥ に対する制限に照らして、どのようにして失敗に帰するかを見ておくことは有益である。われわれは次のように証明をはじめるであろう。
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ（Ｆｘ） １＆Ｅ
１ （３） ∃ｘ（Ｇｘ） １＆Ｅ
４ （４） Ｆａ Ａ
５（５） Ｇａ Ａ
４５（６） Ｆａ＆Ｇａ ４５＆Ｉ
４５（７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ６ＥＩ
存在命題（２）および（３）に対して、われわれは代表的選言項（４）および（５）を仮定して、それらから結論 ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） を導出した。しかし ＥＥ を適用するどのようなくわだても、（２）を用いるにせよ（３）を用いるにせよ、こんどはうまく行かない。（７）の行の結論は（４）と（５）に依存し、そのいずれも「ａ」が現れているからである。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１５４頁改）
従って、
（01）～（11）により、
（12）
いづれにせよ、
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）≡（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（13）
Ｆ＝フランス人
Ｇ＝学生
とするならば、
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）≡（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
といふ「式」は、それぞれ、
① あるフランス人は、学生である。
② フランス人がゐて、学生もゐる。
といふ「意味」である。
然るに、
（14）
① あるフランス人（ギイ）は、学生である。
とするならば、当然、
② フランス人（ギイ）がゐて、学生（ギイ）もゐる。
然るに、
（15）
② フランス人（ギイ）がゐて、学生（カトリーヌ）もゐる。
としても、
② ギイ≠カトリーヌ
であって、
② ギイ＝カトリーヌ
ではないのであれば、
① あるフランス人（ギイ）は、学生である。
といふことには、ならない。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）≡（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
といふ「式」が、例へば、
① あるフランス人は、学生である。
② フランス人がゐて、学生もゐる。
といふ「意味」であったとしても、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。