（01）
① ∃ｘ（Ｆｘ） ≡「１個以上のｘが、Ｆである。」
② ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝≡「１個以下のｘが、Ｆである。」
ｃｆ.
「１個以下」≡「０個か１個」。
然るに、
（02）
③「１個以上で、１個以下の、ｘがＦである。」といふことは、
③「過不足なく、ただ１個の、ｘがＦである。」といふ、ことである。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ∃ｘ（Ｆｘ） ≡「１個以上のｘがＦである。」
② ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝ ≡「１個以下のｘがＦである。」
③ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝≡「ただ１個のｘがＦである。」
然るに、
（04）
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘ（Ｆｘ） １＆Ｅ
３（３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ＆Ｆａ→ａ＝ａ ５ＵＥ
３（７） Ｆａ＆Ｆａ ３３＆Ｉ
１３（８） ａ＝ａ ６７ＭＰＰ
１ （９） Ｆａ→ａ＝ａ ３８ＣＰ
１ （ア） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ９ＵＩ
１３（イ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３ア＆Ｉ
１３（ウ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ イＥＩ
１ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ １３ウＥＥ
（Ⅲ）
１ （１） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） Ｆａ ２＆Ｅ
２ （４） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２ （５） Ｆｂ→ａ＝ｂ ４ＵＥ
６（６） Ｆｂ＆Ｆｂ Ａ
６（７） Ｆｂ ６冪等律
２６（８） ａ＝ｂ ５７ＭＰＰ
（９） ａ＝ａ ＝Ｉ
２６（ア） ｂ＝ａ ８９＝Ｅ
２６（イ） ｂ＝ｂ ８ア＝Ｅ
２ （ウ） Ｆｂ＆Ｆｂ→ｂ＝ｂ ６イＣＰ
２ （エ） ∀ｙ（Ｆｂ＆Ｆｙ→ｂ＝ｙ） ウＵＩ
２ （オ） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） エＵＩ
２ （カ）∃ｘ（Ｆｘ） ３ＥＩ
１ （キ）∃ｘ（Ｆｘ） １２カＥＥ
１ （ク）∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） オキ＆Ｉ
従って、
（04）により、
（05）
（ⅲ）∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
（Ⅲ）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
（ⅲ）＝（Ⅲ） である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
① ∃ｘ（Ｆｘ） ≡「１個以上のｘがＦである。」
② ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝≡「１個以下のｘがＦである。」
③ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝≡「１個の、ｘだけがＦである。」
然るに、
（07）
③ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝≡「１個の、ｘだけがＦである。」
であるならば、
④ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝≡「２個の、ｘだけがＦである。」
であるに、違ひない。
ｃｆ.
「ｘはＦであり、ｙもＦである。」＆「ｘとｙは別人である。」＆「誰かがＦであるならば、ｘかｙの、どちらかと同一人物である（三人目のＦはゐない）。」
然るに、
（08）
（ⅴ）
１ （１）～∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ ）＆ ∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝ Ａ
１ （２）∀ｘ～∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ） ＆ ∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝ １量化子の関係
１ （３）∀ｘ∀ｙ～｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ） ＆ ∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝ ２量化子の関係
１ （４） ∀ｙ～｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ≠ｙ） ＆ ∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｙ）］｝ ３ＵＥ
１ （５） ～｛Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ） ＆ ∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］｝ ４ＵＥ
１ （６） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ） ∨～∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］ ５ド・モルガンの法則
１ （７） ［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］∨～∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］ ６結合法則
８ （８） ～∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］ Ａ
８ （９） ∃ｚ～［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］ ８量化子の関係
ア （ア） ～［Ｆｃ→（ｃ＝ａ）∨（ｃ＝ｂ）］ Ａ
ア （イ） ～｛～Ｆｃ∨［（ｃ＝ａ）∨（ｃ＝ｂ）］｝ ア含意の定義
ア （ウ） Ｆｃ＆～［（ｃ＝ａ）∨（ｃ＝ｂ）］ イ、ド・モルガンの法則
ア （エ） Ｆｃ ウ＆Ｅ
ア （オ） ～［（ｃ＝ａ）∨（ｃ＝ｂ）］ ウ＆Ｅ
ア （カ） （ｃ≠ａ）＆（ｃ≠ｂ） オ、ド・モルガンの法則
ア （キ） Ｆｃ＆（ｃ≠ａ）＆（ｃ≠ｂ） エカ＆Ｉ
ア （ク） ∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］ キＥＩ
８ （ケ） ∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］ ８アクＥＥ
８ （コ） ［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］∨∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］ キ∨Ｉ
サ （サ） ［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］ Ａ
サ （シ） ［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］∨∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］ ケ∨Ｉ
１ （ス） ［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］∨∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］ ７８コサシ∨Ｅ
セ （セ） ［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］ Ａ
セ （ソ） ～～［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］ セＤＮ
セ （タ） ～［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］ ソ、ド・モルガンの法則
セ （チ） ～［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］∨∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］ タ∨Ｉ
ツ（ツ） ∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］ Ａ
ツ（テ） ～［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］∨∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］ ツ∨Ｉ
１ （ト） ～［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］∨∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］ スセチツテ∨Ｅ
１ （ナ） ［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］ ト含意の定義
１ （ニ） ∀ｙ｛［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］｝ ナＵＩ
１ （ヌ） ∀ｘ∀ｙ｛［Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）］→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ｘ）＆（ｚ≠ｙ）］｝ ニＵＩ
（Ⅴ）
１ （１） ∀ｘ∀ｙ｛［Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）］→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ｘ）＆（ｚ≠ｙ）］｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ｛［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］｝ １ＵＥ
１ （３） ［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］ ２ＵＥ
１ （４） ～［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］∨∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］ ３含意の定義
５ （５） ～［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］ Ａ
５ （６） ［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］ ５ド・モルガンの法則
５ （７） ［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］∨～∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］ ６∨イ
８ （８） ∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］ Ａ
９ （９） Ｆｃ＆（ｃ≠ａ）＆（ｃ≠ｂ） Ａ
９ （ア） Ｆｃ ８＆Ｅ
９ （イ） （ｃ≠ａ）＆（ｃ≠ｂ） ８＆Ｅ
９ （ウ） ～［（ｃ＝ａ）∨（ｃ＝ｂ）］ ９ド・モルガンの法則
９ （オ） Ｆｃ＆～［（ｃ＝ａ）∨（ｃ＝ｂ）］ ９イ＆Ｉ
９ （カ） ～｛～Ｆｃ∨［（ｃ＝ａ）∨（ｃ＝ｂ）］｝ オ、ド・モルガンの法則
９ （キ） ～［Ｆｃ→（ｃ＝ａ）∨（ｃ＝ｂ）］ カ含意の定義
９ （ク） ∃ｚ～［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］ キＥＩ
８ （ケ） ∃ｚ～［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］ ８９クＥＥ
８ （コ） ～∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］ ケ量化子の関係
８ （サ） ［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］∨～∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］ コ∨Ｉ
１ （シ） ［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］∨～∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］ １５７８サＥＥ
１ （ス） ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆（ａ≠ｂ） ＆ ∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］｝ シ、ド・モルガンの法則
１ （セ） ∀ｙ～｛Ｆａ＆ Ｆｙ＆（ａ≠ｙ） ＆ ∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｙ）］｝ スＵＩ
１ （ソ）∀ｘ∀ｙ～｛Ｆｘ＆ Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ） ＆ ∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝ セＵＩ
１ （タ）∀ｘ～∃ｙ｛Ｆｘ＆ Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ） ＆ ∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝ ソ量化子の関係
１ （チ）～∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆ Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ） ＆ ∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝ タ
従って、
（08）により、
（09）
（ⅴ）～∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝
（Ⅴ） ∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ｘ）＆（ｚ≠ｙ）］｝
に於いて、
（ⅴ）＝（Ⅴ） である。
然るに、、
（09）により、
（10）
「ｘとｙとｚ」が「人物」であるとして、
（Ⅴ）∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ｘ）＆（ｚ≠ｙ）］｝
の場合は、
① ｘがＦであってｙも、 Ｆならば、必ず、ｚもＦである（３人がＦであるのかも知れない）。
② ｘとｙの、２人とも、 Ｆでない場合に、ｚはＦであるかも知れない（ｚだけがＦかも知れない）。
③ ｘとｙの、１人だけが、Ｆである場合に、ｚはＦであるかも知れない（ｚと他の一人がＦかも知れない）。
然るに、
（11）
① ３人がＦである。かも知れない。
② １人がＦである。かも知れない。
③ ２人がＦである。かも知れない。
といふことと、
④ 過不足なく、きっちり、２人がＦである。
といふことは、「矛盾」する。
ｃｆ.
（Ⅴ）は、実際には、「０人がＦである。」としても、「真」になる。
従って、
（07）～（11）により、
（12）
④ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝
⑤ ∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ｘ）＆（ｚ≠ｙ）］｝
に於いて、確かに、
⑤ は、④ の「否定」になってゐる。
従って、
（07）（12）により、
（13）
④「過不足なく、２個のｘだけがＦである。」
⑤「過不足なく、２個のｘだけがＦである。」といふわけではない。
といふ「日本語」は、
④ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝
⑤ ∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ｘ）＆（ｚ≠ｙ）］｝
といふ「述語論理」に、「相当」する。
（14）
④ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝
⑤ ∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ｘ）＆（ｚ≠ｙ）］｝
⑥ ～∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝
に於いて、
④ ＆ ⑥ は、「矛盾」そのものであるが、
⑤ は ⑥ に、「等しく」、その、
⑤ の「意味」からすると、
④ は、確かに、
④ 過不足なく、２個のｘだけがＦである。
といふ、「意味」になる。