（01）
練習問題 １
１ つぎの連式の妥当性を証明せよ。
（ａ）∀ｘ∀ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｚ）
（ｂ）∀ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｘ∀ｚ∃ｙ（Ｆｘｙｚ）
（ｃ）∃ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ）
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１７４頁）
〔（私の）解答〕：
（ａ）∀ｘ∀ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｚ）
１（１）∀ｘ∀ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ） Ａ
１（２） ∀ｙ∀ｚ（Ｆａｙｚ） １ＵＥ
１（３） ∀ｚ（Ｆａｂｚ） ２ＵＥ
１（４） Ｆａｂｃ ３ＵＥ
１（５） ∀ｘ（Ｆｘｂｃ） ４ＵＩ
１（６） ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｃ） ５ＵＩ
１（７）∀ｚ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｚ） ６ＵＩ
（ｂ）∀ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｘ∀ｚ∃ｙ（Ｆｘｙｚ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ） Ａ
１ （２） ∃ｙ∀ｚ（Ｆａｙｚ） １ＵＥ
２（３） ∀ｚ（Ｆａｂｚ） Ａ
２（４） Ｆａｂｃ １ＵＥ
２（５） ∃ｙ（Ｆａｙｃ） ４ＥＩ
２（６） ∀ｚ∃ｙ（Ｆａｙｚ） ５ＵＩ
１ （７） ∀ｚ∃ｙ（Ｆａｙｚ） １２６ＥＥ
１ （８）∀ｘ∀ｚ∃ｙ（Ｆｘｙｚ） ７ＵＩ
（ｃ）∃ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ）
１ （１）∃ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ） Ａ
２ （２） ∃ｙ∀ｚ（Ｆａｙｚ） Ａ
３（３） ∀ｚ（Ｆａｂｚ） Ａ
３（４） Ｆａｂｃ ３ＵＥ
３（５） ∃ｘ（Ｆｘｂｃ） ４ＥＩ
２ （６） ∃ｘ（Ｆｘｂｃ） ２３５ＥＥ
２ （７） ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｃ） ６ＥＩ
２ （８）∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ） ７ＵＩ
１ （９）∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ） １２８ＥＥ
然るに、
（02）
（ａ）∀ｘ∀ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）：（（連言の）、連言の）、連言。
（ⅰ） Ｆｘｙｚ
（ⅱ） Ｆｘｙｚ＆Ｆｘｙｚ
（ⅲ） Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ
（ⅳ） （Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ）＆（Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ）
（ⅴ） （Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）＆（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）
（ⅵ）｛（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）＆（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）｝＆｛（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）＆（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）｝
（ⅶ）｛（Ｆａａａ＆Ｆａａｂ）＆（Ｆａｂａ＆Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ＆Ｆｂａｂ）＆（Ｆｂｂａ＆Ｆｂｂｂ）｝
（α）∀ｚ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｚ）：（（連言の）、連言の）、連言。
（ⅰ） Ｆｘｙｚ
（ⅱ） Ｆｘｙｚ＆Ｆｘｙｚ
（ⅲ） Ｆａｙｚ＆Ｆｂｙｚ
（ⅳ） （Ｆａｙｚ＆Ｆｂｙｚ）＆（Ｆａｙｚ＆Ｆｂｙｚ）
（ⅴ） （Ｆａａｚ＆Ｆｂａｚ）＆（Ｆａｂｚ＆Ｆｂｂｚ）
（ⅵ）｛（Ｆａａｚ＆Ｆｂａｚ）＆（Ｆａｂｚ＆Ｆｂｂｚ）｝＆｛（Ｆａａｚ＆Ｆｂａｚ）＆（Ｆａｂｚ＆Ｆｂｂｚ）｝
（ⅶ）｛（Ｆａａａ＆Ｆｂａａ）＆（Ｆａｂａ＆Ｆｂｂａ）｝＆｛（Ｆａａｂ＆Ｆｂａｂ）＆（Ｆａｂｂ＆Ｆｂｂｂ）｝
（ｂ）∀ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）：（（連言の）、選言の）、連言。
（ⅰ） Ｆｘｙｚ
（ⅱ） Ｆｘｙｚ＆Ｆｘｙｚ
（ⅲ） Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ
（ⅳ） （Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ）∨（Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ）
（ⅴ） （Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）∨（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）
（ⅵ）｛（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）∨（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）｝＆｛（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）∨（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）｝
（ⅶ）｛（Ｆａａａ＆Ｆａａｂ）∨（Ｆａｂａ＆Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ＆Ｆｂａｂ）∨（Ｆｂｂａ＆Ｆｂｂｂ）｝
（β）∀ｘ∀ｚ∃ｙ（Ｆｘｙｚ）：（（選言の）、連言の）、連言。
（ⅰ） Ｆｘｙｚ
（ⅱ） Ｆｘｙｚ∨Ｆｘｙｚ
（ⅲ） Ｆｘａｚ∨Ｆｘｂｚ
（ⅳ） （Ｆｘａｚ∨Ｆｘｂｚ）＆（Ｆｘａｚ∨Ｆｘｂｚ）
（ⅴ） （Ｆｘａａ∨Ｆｘｂａ）＆（Ｆｘａｂ∨Ｆｘｂｂ）
（ⅵ）｛（Ｆｘａａ∨Ｆｘｂａ）＆（Ｆｘａｂ∨Ｆｘｂｂ）｝＆｛（Ｆｘａａ∨Ｆｘｂａ）＆（Ｆｘａｂ∨Ｆｘｂｂ）｝
（ⅶ）｛（Ｆａａａ∨Ｆａｂａ）＆（Ｆａａｂ∨Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ∨Ｆｂｂａ）＆（Ｆｂａｂ∨Ｆｂｂｂ）｝
（ｃ）∃ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）：（（連言の）、選言の、）選言。
（ⅰ） Ｆｘｙｚ
（ⅱ） Ｆｘｙｚ＆Ｆｘｙｚ
（ⅲ） Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ
（ⅳ） （Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ）∨（Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ）
（ⅴ） （Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）∨（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）
（ⅵ）｛（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）∨（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）｝＆｛（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）∨（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）｝
（ⅶ）｛（Ｆａａａ＆Ｆａａｂ）∨（Ｆａｂａ＆Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ＆Ｆｂａｂ）∨（Ｆｂｂａ＆Ｆｂｂｂ）｝
（γ）∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ）：（選言の）、選言の、）連言。
（ⅰ） Ｆｘｙｚ
（ⅱ） Ｆｘｙｚ∨Ｆｘｙｚ
（ⅲ） Ｆａｙｚ∨Ｆｂｙｚ
（ⅳ） （Ｆａｙｚ∨Ｆｂｙｚ）∨（Ｆａｙｚ∨Ｆｂｙｚ）
（ⅴ） （Ｆａａｚ∨Ｆｂａｚ）∨（Ｆａｂｚ∨Ｆｂｂｚ）
（ⅵ）｛（Ｆａａｚ∨Ｆｂａｚ）∨（Ｆａｂｚ∨Ｆｂｂｚ）｝＆｛（Ｆａａｚ∨Ｆｂａｚ）∨（Ｆａｂｚ∨Ｆｂｂｚ）｝
（ⅶ）｛（Ｆａａａ∨Ｆｂａａ）∨（Ｆａｂａ∨Ｆｂｂａ）｝＆｛（Ｆａａｂ∨Ｆｂａｂ）∨（Ｆａｂｂ∨Ｆｂｂｂ）｝
従って、
（03）
（ａ）∀ｘ∀ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｚ）
（ｂ）∀ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｘ∀ｚ∃ｙ（Ｆｘｙｚ）
（ｃ）∃ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ）
といふ「連式（sequents）」は、｛ａ，ｂ｝のみを含む、「２つの対象」から成る「世界」に於いて、それぞれ、
（ａ）｛（Ｆａａａ＆Ｆａａｂ）＆（Ｆａｂａ＆Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ＆Ｆｂａｂ）＆（Ｆｂｂａ＆Ｆｂｂｂ）｝┤├
（α）｛（Ｆａａａ＆Ｆｂａａ）＆（Ｆａｂａ＆Ｆｂｂａ）｝＆｛（Ｆａａｂ＆Ｆｂａｂ）＆（Ｆａｂｂ＆Ｆｂｂｂ）｝
（ｂ）｛（Ｆａａａ＆Ｆａａｂ）∨（Ｆａｂａ＆Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ＆Ｆｂａｂ）∨（Ｆｂｂａ＆Ｆｂｂｂ）｝├
（β）｛（Ｆａａａ∨Ｆａｂａ）＆（Ｆａａｂ∨Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ∨Ｆｂｂａ）＆（Ｆｂａｂ∨Ｆｂｂｂ）｝
（ｃ）｛（Ｆａａａ＆Ｆａａｂ）∨（Ｆａｂａ＆Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ＆Ｆｂａｂ）∨（Ｆｂｂａ＆Ｆｂｂｂ）｝├
（γ）｛（Ｆａａａ∨Ｆｂａａ）∨（Ｆａｂａ∨Ｆｂｂａ）｝＆｛（Ｆａａｂ∨Ｆｂａｂ）∨（Ｆａｂｂ∨Ｆｂｂｂ）｝
といふ「連式（sequents）」に「相当」し、尚且つ、「これらの連式」は、３つとも、「妥当」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
（ａ）∀ｘ∀ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｚ）
（ｂ）∀ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｘ∀ｚ∃ｙ（Ｆｘｙｚ）
（ｃ）∃ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ）
といふ「３つの連式（sequents）」すなはち、
（ａ）├ （α）
（ｂ）├ （β）
（ｃ）├ （γ）
といふ「３つの連式（sequents）」が「妥当」である「所以」は、すべて、
① Ｐ＆Ｑ→（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｑ∨Ｐ）
② Ｐ∨Ｑ→（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｑ＆Ｐ）
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であるが、
② は、「非妥当（インバリッド）」である、からである。
ｃｆ.
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｑ １＆Ｅ
１（５） Ｑ∨Ｐ ４∨Ｉ
１（６） （Ｐ∨Ｑ）＆（Ｑ∨Ｐ） ３５＆Ｉ
（７） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｑ∨Ｐ） １６ＣＰ