（01）
―「含意の定義」の「証明」。―
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
１２ （イ） （～Ｐ∨Ｑ） ２ア＆Ｉ
１ （ウ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２イＲＡＡ
１ （エ） ～Ｐ∨Ｑ ウＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② であって、この「等式」を、「含意の定義」といふ。
（03）
―「ド・モルガンの法則」の「証明」。―
（ⅲ）
１ （１） ～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ４∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） ～Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
２ （エ） Ｐ＆Ｑ ７ウ＆Ｉ
１２ （オ） ～（Ｐ＆Ｑ）＆
（Ｐ＆Ｑ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
④ ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
③＝④ であって、この「等式」を、「ド・モルガンの法則」といふ。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
１ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ６ド・モルガンの法則
８ （８） Ｐ＆～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ７８９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ→～Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→～Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨～Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
１ （７） （Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ ６ド・モルガンの法則
８ （８） Ｐ＆ Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ７８９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
（ⅲ）
１ （１） ［Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ）］→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ） Ａ
２ （３） Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ） ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） ～Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ）→ Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～［～Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ）］∨Ｐ ５含意の定義
１ （７） Ｐ＆～（Ｑ∨～Ｑ）∨Ｐ ６ド・モルガンの法則
８ （８） Ｐ＆～（Ｑ∨～Ｑ） Ａ
７ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ７８９アア∨Ｅ
（ウ）｛［Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ）］→Ｐ｝→Ｐ １イＣＰ
従って、
（05）により、
（06）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③｛［Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ）］→Ｐ｝→Ｐ
に於いて、
① は、「トートロジー（恒真式）」であって、
② も、「トートロジー（恒真式）」であって、
③ も、「トートロジー（恒真式）」である。
然るに、
（07）
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う（ウィキペディア）。
従って、
（08）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③｛［Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ）］→Ｐ｝→Ｐ
に於いて、
① は、「パースの法則」である。
然るに、
（09）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が、「パースの法則」であるならば、
①（（Ｐ→ Ｒ）→Ｐ）→Ｐ
も、「パースの法則」に、「違ひ」ない。
然るに、
（10）
①（（Ｐ→ Ｒ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
① Ｒ＝～Ｑ
であるならば、
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
は、「パースの法則」である。
然るに、
（08）（09）（10）により、
（11）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③｛［Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ）］→Ｐ｝→Ｐ
に於いて、
① が、「パースの法則」であって、
② も、「パースの法則」である以上、
③ も、「パースの法則」であるに、「違ひ」ない。
従って、
（11）により、
（12）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「パースの法則」は、「実質的」には、
①（（Ｐならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、）いづれにせよ、Ｐ）ならばＰである。
②（（Ｐならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、）いづれにせよ、Ｐ）ならばＰである。
といふ「意味」になる。
然るに、
（13）
Peirce's law holds in classical propositional calculus, but not in intuitionistic propositional calculus. The precise axiom system that one chooses for classical propositional calculus determines whether Peirce's law is taken as an axiom or proven as a theorem.
パースの法則は、古典的な命題論理には当てはまりますが、直観主義的な命題論理には当てはまりません。古典的な命題論理のために選択する正確な公理システムは、パースの法則が公理と見なされるか、定理として証明されるかを決定します（Peirce's law - Wikiversity - Beta Wikiversity：グーグル翻訳）。
従って、
（12）（13）により、
（14）
「直観主義的な命題論理」からすると、
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（Ｐならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、）いづれにせよ、Ｐ）ならばＰである。
といふ「パースの法則」は、「正しくはない」か、または、「正しいとも、正しくない」とも、言へない。
といふことになるが、私には、『そんなことは、有り得ない所の「不思議な話」である。』としか、思へない。
（01）
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う（ウィキペディア）。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
１ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ６ド・モルガンの法則
８ （８） Ｐ＆～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ７８９アア
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ→～Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→～Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨～Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
１ （７） （Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ ６ド・モルガンの法則
８ （８） Ｐ＆ Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ７８９アア
（ウ）（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、すなはち、
①（（ＰならばＱである）ならばＰ）ならばＰである。
②（（ＰならばＱでない）ならばＰ）ならばＰである。
に於いて、「両者」は、「恒真式（トートロジー）」であって、
① は、「パースの法則」である。
然るに、
（04）
①（（Ｐ→ 真）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～偽）→Ｐ）→Ｐ
であるならば、「両方」とも、
①（（Ｐ→ 真）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→ 真）→Ｐ）→Ｐ
である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「恒真式（トートロジー）」に於いて、すなはち、
①（（ＰならばＱである）ならばＰ）ならばＰである。
②（（ＰならばＱでない）ならばＰ）ならばＰである。
に於いて、「両者」を、「区別」する必要はない。
従って、
（05）により、
（06）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「パースの法則」は、「実質的」には、
①（（Ｐならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、）いづれにせよ、Ｐ）ならばＰである。
といふ「意味」になる。
然るに、
（07）
１（１） Ｐ Ａ
１（２）～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
といふ「計算」は、
Ｐ（１） Ｐ Ａ
Ｐ（２）～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
Ｐ（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
といふ「計算」に「等しい」。
（08）
Ｐ（１） Ｐ Ａ
Ｐ（２）～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
Ｐ（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
といふ「計算」は、
Ｐが「真」なので、 Ｐ は「真」である。
Ｐが「真」なので、～Ｑ∨Ｐ も「真」である。
Ｐが「真」なので、 Ｑ→Ｐ も「真」である。
といふ「意味」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
１（１） Ｐ Ａ
１（２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １３ＣＰ
といふ「計算（質料含意のパラドックス）」は、
真（１） 真 Ａ
真（２） ～Ｑ∨真 １∨Ｉ
真（３） Ｑ→真 ２含意の定義
（４）真→（Ｑ→真） １３ＣＰ
といふ「計算」に、他ならない。
然るに、
（10）
① 偽→（真→偽）
② 偽→（偽→偽）
③ 真→（真→真）
④ 真→（偽→真）
に於ける「４通り」は、「すべて、真」である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
真（１） 真 Ａ
真（２） ～Ｑ∨真 １∨Ｉ
真（３） Ｑ→真 ２含意の定義
（４）真→（Ｑ→真） １３ＣＰ
といふ「計算（質料含意のパラドックス）」は、
① 偽→（真→偽）
② 偽→（偽→偽）
③ 真→（真→真）
④ 真→（偽→真）
に於ける「４通り」に於ける、特に、
③ 真→（真→真）
④ 真→（偽→真）
といふ「２通り」が「真」である。
といふことを、示してゐる。
従って、
（11）により、
（12）
③ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
③ 真→（Ｑ→真）
といふ「質量含意のパラドックス」は、
③ Ｐならば（Ｑであらうと、Ｑでなかららうと、いづれにせよ、Ｐである。）
といふ「意味」になる。
然るに、
（13）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１ （３） ～～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１ （４） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
１ （５） ～Ｑ→Ｐ ３含意の定義
６ （６） Ｑ∨～Ｑ Ａ
７ （７） Ｑ Ａ
１ ７ （８） Ｐ ４７ＭＰＰ
９（９） ～Ｑ Ａ
１ ９（ア） Ｐ ５９ＭＰＰ
１６ （イ） Ｐ ６７８９ア∨Ｉ
１ （ウ） Ｑ∨～Ｑ→Ｐ ６イＣＰ
（エ）Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ→Ｐ） １ウＣＰ
（〃）Ｐならば（Ｑであるか、ＱでないならばＰである。）
（〃）Ｐならば（Ｑであらうと、Ｑでなかららうと、いづれにせよ、Ｐである。）
従って、
（09）～（13）により、
（14）
③ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
④ Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ→Ｐ）
といふ「２つの恒真式（トートロジー）」は、両方とも、
③ Ｐならば（Ｑであらうと、Ｑでなかららうと、いづれにせよ、Ｐである。）
④ Ｐならば（Ｑであらうと、Ｑでなかららうと、いづれにせよ、Ｐである。）
といふ「意味」になる。
従って、
（05）（06）（14）により、
（15）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
④ Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ→Ｐ）
に於いて、
① は「パースの法則」であって、
② も「パースの法則」であって、
③ は「質量含意のパラドックス」であって、
④ も「質量含意のパラドックス」であって、これらは、
①（（Ｐならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、）いづれにせよ、Ｐ）ならばＰである。
②（（Ｐならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、）いづれにせよ、Ｐ）ならばＰである。
③ Ｐならば（Ｑであらうと、Ｑでなかららうと、いづれにせよ、Ｐである。）
④ Ｐならば（Ｑであらうと、Ｑでなかららうと、いづれにせよ、Ｐである。）
といふ「意味」になる。