恒等式と方程式の違い。未知数について。

ここ数日間恒等式の問題について、考えれば考えるほどややこしくなるような気がしている。
ここでまた遠回りをして以下のようなものについて考えてみたい。

ｓｉｎ2α＋ｃｏs2α＝１　　・・・①

これは公式あるいは定理、もしくは三角関数の定義のようなものであって、あまり恒等式とは教えないように思う。

これはもちろん全てのα（角度）に関してあてはまるのだが、以下のようなものはどうだろう。

ｓｉｎ2α＋４ｓｉｎαーｃｏｓ2α＋１＝０　　・・・②

もちろん、これは全てのαについてあてはまるわけではない。②を満たすαを求めるのに①の恒等式を使うというわけである。

②のαは未知数といったりすると思うが、この②が方程式である。

さてもう一度一昨日の恒等式に関するあるテキストの記述を見ていただきたい。

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（１）（ａ＋ｂ）2＝ａ2＋２ａｂ＋ｂ2　は常に成り立つ。

この場合には「左辺を計算すると右辺がでてくる」あるいは「式の中の文字ａ、ｂにどんな値を与えても、常に成り立つ等式」という意味である。

（２）（ｘ－１）2＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃが常に成り立つ。

この場合には“ｘについての恒等式”ということばが省略されている。

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つまりここでは、（２）は恒等式というよりは方程式といえるのではないだろうか。
そして昨日この部分を問題として説く方法を示したが、ここにはもう一つ定理のようなものが必要なはずで、それは以下のようなものである。

（１）ａｘ＋ｂ＝０が全ての実数に対して成立するための必要十分条件はａ＝ｂ＝０、

（２）ａｘ2＋ｂｘ＋ｃが全ての実数に対して成立するための必要十分条件はａ＝ｂ＝ｃ＝０

というものである。

さて、ここで必要十分条件ということを持ち出したが、私が昨日示したテキストにある問題の解法で気になったのは、必要十分ということを満たしているどうかということで、これはただ単に数字を出せばいいなら、問題はないが、いずれにせよ、まともに考えると少しややこしい話しになるのではないかと感じている。