【3点を通る平面の方程式】

3点A,B,Cを通る平面の方程式

①→a=→AB, →b=→ACとする。

②→a, →bに垂直なベクトルを→n=(p,q,r)を求める。

よって、

点A(a,b,c)を通り法線ベクトル→n=(p,q,r)

平面の方程式 p(x-a)+q(y-b)+r(z-c)=0

【例】

3点 A(1,1,2),B(0,-2,1),C(3,-1,0) を通る平面の方程式を計算せよ。

【解】

→AB=(-1,-3,-1)

→AC=(2,-2,-2)

1 3 1 1

1 -1 -1 1

p:q:r=-2:2:-4=1:-1:2

x-y+2z+d=0とおける。

点A(1,1,2)を通る→1-1+4+d=0→d=-4

したがって、求める平面の方程式は

x-y+2z-4=0

記述式では、法線ベクトルを求めるとき、連立方程式を解く必要があるが、その部分を簡素化している。

(2021/6/5)

A(1,1,-1), B(2,4,1), C(1,-2,-7)を通る平面の方程式を求めよ。

【解】

→a=(1,3,2), →b=(0,-3,-6)

1, 3, 2,1

0,-3,-6,0

p:q:r=-12:6:-3=4:-2:1

よって、→n=(4,-2,1)

4x-2y+z+d=0

Aの座標を代入して、

4-2-1+d=0→d=-1

したがって、求める平面の方程式は、

4x-2y+z-1=0

△ABCの面積

|→n|=√(16+4+1)=√21

S=√21/2

→nは、→a, →bの外積で、

|→n|は、→a, →bを2辺とする平行四辺形の面積である。