【15!は何桁の数か】

log(x)を、xの常用対数とする。

log(2)=0.3010, log(3)=0.4771, log(7)=0.8451

とする。15!は何桁の数か。

【解】

10!=(2^8)×(3^4)×(5^2)×7

=(10^2)×(2^6)×(3^4)×7

log(10!)=2+6log(2)+4log(3)+log(7)

=6.5595

log(12)=2×log(2)+log(3)=0.6020+0.4771

=1.0791

log(14)=log(2)+log(7)=0.3010+0.8451

=1.1461

log(15)=log(30/2)=1+0.4771-0.301

=1.1761

x=log(11×12×13×14×15)

x＜2×log(12)+2×log(14)+log(15)

=2×1.0791+2×1.1461+1.1761

=5.6265

x＞log(10)+2×log(12)+log(14)+log(15)

=1+2×1.0791+1.1461+1.1761

=5.4804

6.5595+5.4804＜log(15!)＜6.5595+5.6265

12.0399＜log(15!)＜12.186

よって、

12＜log(15!)＜13

10^12＜15!＜10^13

したがって、15!は13桁の数

(2024/11/8)

15!=130 76743 68000

log(15!)=12.116499611123…

(※)与えられた近似値は0.0001未満の誤差のため、12を切ることはない。

『算額』は、和算において、問題が解けたことを神仏に感謝し、ますます勉学に励むことを祈念して奉納されたと言われる。

難問や、問題だけを書いて解答を付けずに奉納するものも現れ、それを見て解答や想定される問題を再び算額にして奉納することも行われた。

これからもこのブログに多くの算額を奉納したい。