【数学のコスパ】

数学はコスパの良い学問だ。

youtubeに次の問題があった。

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x+2y+3z=7のとき、x^2+y^2+z^2の最小値を求めよ。

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【解】

コーシー=シュワルツの不等式

(Σa[i]^2)(Σb[i]^2)≧(Σa[i]b[i])^2

等号は、a[i]=kb[i]

(1^2+2^2+3^2)(x^2+y^2+z^2)

≧(x+2y+3z)^2=7^2

14(x^2+y^2+z^2)≧49

x^2+y^2+z^2≧7/2

等号は、x/1=y/2=z/3=k

x=k, y=2k, z=3k

14k=7→k=1/2

したがって、

x=1/2, y=1, z=3/2のとき最小値7/2

(2024/6/2 youtube)

コーシー=シュワルツの不等式を使って解くことができる。

これの一般化したものを同様な解法で解く。

abc≠0とする。

ax+by+cz=kのとき、x^2+y^2+z^2の最小値を考える。等号が成り立つのは、

x/a=y/b=z/c=tのときで、

x=at, y=bt, z=ct

(a^2+b^2+c^2)t=kだから、

p=a^2+b^2+c^2とすると、

x=a(k/p), y=b(k/p), z=c(k/p)のとき最小値(k^2)/p

すると、同様な問題を解くことができる。

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2x+y+3z=7のとき、x^2+4y^2+9z^2の最小値を求めよ。また、最小値を取るx,y,zを求めよ。

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【解】

与式の両辺を2倍して、4x+2y+6z=14

a=x, b=2y, c=3zとする。

4a+b+2c=14のとき、a^2+b^2+c^2の最小値を求めればよい。

コーシー=シュワルツの不等式より、

(4^2+1^2+2^2)(a^2+b^2+c^2)

≧(4a+b+2z)^2

21(a^2+b^2+c^2)≧196

a^2+b^2+c^2≧28/3

等号が成り立つのは、

a/4=b/1=c/2=t

a=4t, b=t, c=2t

(16+1+4)t=14→t=2/3

a=8/3, b=2/3, c=4/3

よって、

x=8/3, y=1/3, z=4/9のとき最小値28/3

過去の問題の一般化を考えてポイントが見えると、最小値を求める式がa^2+b^2+c^2で表される問題は無数に解くことができる。

なんとコスパの良いことか。

(2024/6/3)