【因数定理の裏技】

今回も、原案はyoutubeからです。

自分なりに考察してみました。

f(x)=ax^3+bx^2+cx+dの因数分解

有理根定理より、f(α)=0となるαは、

±(dの約数)/(aの約数)

【代入のときの裏技】

正のsを代入する。

f(s)=(as^3+cs)+(bs^2+d)

=s(as^2+c)+(bs^2+d)=p+q

pとqの絶対値が等しい場合を探す。

pとqが異符号→αは正

pとqが同符号→αは負

(※)

p=(3次の項)+(1次の項)

q=(2次の項)+(定数項)

(※)xに正の数sを入れたときと負の数-sを入れたときを比べると、pの符号だけ異なるから、0になるのはpとqの絶対値に注目すればよい。正の数sを代入してp,qを求めれば、負の数-sを代入したときの様子も分かる。

【例1】

f(x)=x^3-3x^2-8x-4=x(x^2-8)+(-3x^2-4)

αの候補は、±1, ±2, ±4

s=1,2,4だけ調べる。

f(1)=1×(-7)+(-7)=(-7)+(-7)→同符号

→α=-1

(※)この過程は別にメモし、α=-1が分かったかのように解答する。

【解】

f(-1)=(-1)^3-3×(-1)^2-8×(-1)-4=-1-3+8-4=0

因数定理より、

f(x)はx+1を因数に持つ。

<組み立て除法→略>

f(x)=(x+1)(x^2-4x-4)

【例2】

f(x)=2x^3-9x^2+2=2x^3+(-9x^2+2)

αの候補は、±1, ±2, ±1/2

s=1,2,1/2を調べる。

f(1)=2+(-7)→(※)f(-1)を調べなくてもよい

f(2)=16+(-16)→異符号→α=2

【例3】

f(x)=2x^3+x^2-x+3=x(2x^2-1)+(x^2+3)

αの候補は、±1, ±3, ±1/2, ±3/2

s=1, 3, 1/2, 3/2を調べる。

f(1)=1×1+4=1+4

f(3)=3×17+12=51+12

f(1/2)=(1/2)×(-1/2)+(13/4)=(-1/4)+(13/4)

f(3/2)=(3/2)×(7/2)+(21/4)

=(21/4)+(21/4)→同符号→α=-3/2

【解】

f(-3/2)=(-27/4)+(9/4)+(3/2)+3

=(-9/2)+(3/2)+3=(-3)+3=0

因数定理より、2x+3を因数に持つ。

f(x)=2x^3+3x^2-2x^2-3x+2x+3

=x^2(2x+3)-x(2x+3)+(2x+3)

=(2x+3)(x^2-x+1)

【例4】

f(x)=2x^3+3x^2-3x-2

=x(2x^2-3)+(3x^2-2)

s=1,2,1/2を調べる。

f(1)=(-1)+1→α=1

f(2)=2×5+10=10+10→α=-2

f(1/2)=(1/2)×(-5/2)+(-5/4)=(-5/2)+(-5/2)

→α=-1/2

したがって、f(x)=(x-1)(x+2)(2x+1)

(※)f(x)=0の有理数解の候補がαを求める。→因数分解ができる。

【例5】(応用:4次式)

f(x)=x^4-x^3-14x^2-15x+2の因数分解

f(x)=(x^4-14x^2+2)+(-x^3-15x)

=(x^4-14x^2+2)+x(-x^2-15)

s=1,2を調べる。

f(1)=(1-14+2)+1×(-1-15)=(-11)+(-15)

f(2)=(16-56+2)+2×(-4-15)=(-38)+(-38)

→同符号→α=-2

f(-2)=16+8-56+30+2=0

f(x)=(x+2)(x^3-3x^2-8x+1)

(※)有理数解のすべての候補を調べたので、3次式の部分は因数分解できない。

【例6】(応用:4次式)

f(x)=2x^4+x^3-6x^2+x+2の因数分解

f(x)=(2x^4-6x^2+2)+x(x^2+1)

s=1,2,1/2を調べる。

f(1)=(-2)+2→α=1

f(2)=(32-16+2)+2×(5)=18+10

f(1/2)=(1/8-6/4+2)+1/2×(1/4+1)

=(1-12+16)/8+5/8=5/8+5/8→α=-1/2

(x-1)(2x+1)=2x^2-x-1を因数に持つ。

f(x)=(2x^2-x-1)(ax^2+bx+c)

x^4の係数に着目→2a=2→a=1

定数項に着目→-c=2→c=-2

x^3の係数に着目→-a+2b=1→b=1

(2x^2-x-1)(x^2+x-2)

=2x^4+(2-1)x^3+(-4-1-1)x^2+(2-1)x+2

=2x^4+x^3-6x^2+x+2=f(x)

したがって、

f(x)=(x-1)(2x+1)(x^2+x-2)

(※)sの候補が多いときは、【例5&例6】の解法は大変になる。

(2021/11/10)