【法線ベクトル】

平行でない→a=(a,b,c), →b=(d,e,f)に垂直なベクトルを求める。

→p=(x,y,z)とする。

→a⊥→pより、ax+by+cz=0

→b⊥→pより、dx+ey+fz=0

(af-cd)x+(bf-ce)z=0

(af-cd)x=-(bf-ce)y

→x:y=-(bf-ce):(af-cd)=(bf-ce):(cd-af )

(bd-ae)y+(cd-af)z=0

(af-cd)z=-(ae-bd)y

→y:z=(af-cd):-(ae-bd)=(cd-af):(ae-bd)

x:y:z=(bf-ce):(cd-af):(ae-bd)

係数を並べる(右側にaとdを追加する)

2列で2次の正方行列を考え、それらの行列式を求める。

x:y:z=p:q:r

【例】→a=(1, -1, 2), →b=(2, -1, 1)に垂直な単位ベクトル→pを求めよ。

【解】

1, -1, 2, 1

2, -1, 1, 2

p=(-1)×1-2×(-1)=-1+2=1

q=2×2-1×1=4-1=3

r=1×(-1)-(-1)×2=-1+2=1

よって、x:y:z=1:3:1

垂直なベクトル→n=(1,3,1)

x=t, y=3t, z=tとする。

x^2+y^2+z^2=(1+9+1)t^2=11t^2

11t^2=1→t=±1/√11

よって、

→p=±1/√11×(1, 3, 1)

(2021/6/5)