【漸化式:マークシート式対応】

a[n+1]=ka[n]+f(n) :f(n)は多項式

の一般項を求める。

ただし、k≠1

kg(n)-g(n+1)=f(n)→g(n)とf(n)は同じ次数

を満たす多項式g(n)を考える。

a[n+1]=ka[n]+kg(n)-g(n+1)

a[n+1]+g(n+1)=k{a[n]+g(n)}

b[n]=a[n]+g(n)とする。

b[n+1]=kb[n]→等比数列となる。

b[n]=b[1]k^(n-1)

よって、

a[n]=b[1]k^(n-1)-g(n)

(※)k=1のとき、

a[n+1]-a[n]=f(n)→階差数列

a[n]=a[1]+Σ[i=1,n-1]f(i)

【例】

a[1]=1, a[n+1]=2a[n]+6n-5の一般項

g(n)=an+bとする。

2g(n)-g(n+1)=2an+2b-an-(a+b)=an+(b-a)

係数を比較して、

a=6, b=1→g(n)=6n+1

a[n+1]=2a[n]+2g(n)-g(n+1)

a[n+1]+g(n+1)=2{a[n]+g(n)}

b[n]=a[n]+g(n)とする。

b[n+1]=2b[n]→公比2の等比数列

b[1]=a[1]+g(1)=1+6+1=8

→b[n]=8×2^(n+1)=2^(n+2)

a[n]=2^(n+2)-6n-1

途中の計算が不要なマークシート式の出題では、a[n]=ak^(n-1)+An+Bの形になることに注目して

定義より

a[1]=1

a[2]=2+6-5=3

a[3]=6+12-5=13

a[n]=a×2^(n-1)+An+Bとする。

a[1]=a+A+B=1…①

a[2]=2a+2A+B=3…②

a[3]=4a+3A+B=13…③

連立方程式を解く。

①×2-②B=-1

①→a+A=2…④

③→4a+3A=14…⑤

⑤-④×3→a=8

④×4-⑤→A=-6

したがって、

a[n]=8×2^(n-1)-6n-1=2^(n+2)-6n-1

(2024/1/12)