（01）
ルカジェヴィッツによる公理（１・２）
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） Ｑ＆～Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（Ｑ＆～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（Ｑ＆～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（Ｑ＆～Ｐ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） Ｑ Ａ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
エオ（カ） Ｑ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（Ｑ＆～Ｐ）＆
（Ｑ＆～Ｐ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｐ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） Ｑ→Ｐ エケＣＰ
（サ）Ｐ→（Ｑ→Ｒ） １コＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ→ Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ→Ｒ １３ＭＰＰ
２３（５） Ｑ ２３ＭＰＰ
１２３（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１２ （７） Ｐ→Ｒ ３６ＣＰ
１ （８）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ２７ＣＰ
（９）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］ １８ＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
である所の、「ルカジェヴィッツによる公理（１・２）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことは、「自然演繹」によって、「証明」出来る。
従って、
（03）により、
（04）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（〃）［Ｐ→（Ｑ→Ｐ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｐ）］
は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｐ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｐ）］
は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（06）
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ） Ａ
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｐ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｐ）］ Ａ
（３） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｐ） １２ＭＰＰ
（４） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）→（Ｐ→Ｐ） ３ Ｑに、（Ｑ→Ｐ）を代入。
（５） Ｐ→Ｐ １４ＭＰＰ
従って、
（03）～（06）により、
（07）
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
といふ「公理」に於いて、
（ⅰ）Ｒ＝Ｐ といふ「代入」を行った上で、
（ⅱ）ＭＰＰ を行ひ、次に、
（ⅲ）Ｑ＝Ｑ→Ｐ といふ「代入」を行ひ、その上で、
（ⅳ）ＭＰＰ を行ふと、
（ⅴ）Ｐ→Ｐ（同一律） を、得ることになる。
ｃｆ.
「沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１７４・１７５頁」
従って、
（03）～（07）により、
（08）
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
である所の、「ルカジェヴィッツによる公理（１・２）」から、
（３） Ｐ→Ｐ（同一律）
といふ「定理」を、「演繹」することが出来る。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ） Ａ
１ （２） ～Ｐ∨（Ｑ→Ｐ） １含意の定義
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ ３∨Ｉ
５ （５） Ｑ→Ｐ Ａ
５ （６） ～Ｑ∨Ｐ ５含意の定義
５ （７） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ ２３４５７∨Ｅ
１ （９） ～Ｐ∨Ｐ∨～Ｑ ８交換法則
１ （ア）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ ９結合法則
１ （イ）～Ｑ∨（～Ｐ∨Ｐ） ア交換法則
１ （ウ） Ｑ→（～Ｐ∨Ｐ） イ含意の定義
エ（エ） Ｑ Ａ
１ エ（オ） ～Ｐ∨Ｐ ウエＭＰＰ
１ エ（カ） Ｐ→Ｐ オ含意の定義
１ （キ） Ｑ→ （Ｐ→Ｐ） エカＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｑ→（Ｐ→Ｐ） Ａ
１ （２）～Ｑ∨（Ｐ→Ｐ） １含意の定義
３ （３）～Ｑ Ａ
３ （４）～Ｑ∨～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
５ （５） Ｐ→Ｐ Ａ
５ （６） ～Ｐ∨Ｐ ５含意の定義
５ （７）～Ｑ∨～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８）～Ｑ∨～Ｐ∨Ｐ ２３４５７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ ８交換法則
１ （ア）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｐ） ９結合法則
１ （イ） Ｐ→（～Ｑ∨Ｐ） ア含意の定義
ウ（ウ） Ｐ Ａ
１ ウ（エ） ～Ｑ∨Ｐ イウＭＰＰ
１ ウ（オ） Ｑ→Ｐ エ含意の定義
１ （カ） Ｐ→（ Ｑ→Ｐ） ウオＣＰ
従って、
（09）により、
（10）
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
② Ｑ→（Ｐ→Ｐ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
である所の、「ルカジェヴィッツによる公理（１・２）」だけでなく、
（１） Ｑ→（Ｐ→Ｐ）
（２）［Ｑ→（Ｐ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
からも、
（３） Ｐ→Ｐ（同一律）
といふ「定理」を、「演繹」することが出来る、はずある（？）。
（01）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ⇔動ｘ） Ａ
１ （２） 象ａ⇔動ａ １ＵＥ
１ （３） 象ａ→動ａ＆ 動ａ→象ａ ２Ｄｆ.⇔
１ （４） 象ａ→動ａ ３＆Ｅ
１ （５） 動ａ→象ａ ３＆Ｅ
６ （６） ～象ａ Ａ
７（７） 動ａ Ａ
１ ７（８） 象ａ ５７ＭＰＰ
１６７（９） ～象ａ＆象ａ ６８＆Ｉ
１６ （ア） ～動ａ ７９ＲＡＡ
１ （イ） ～象ａ→～動ａ ６アＣＰ
１ （ウ） 象ａ→動ａ＆～象ａ→～動ａ ４イ＆Ｉ
１ （エ）∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ） ウＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ） Ａ
１ （２） 象ａ→動ａ＆～象ａ→～動ａ １ＵＥ
１ （３） 象ａ→動ａ ２＆Ｅ
１ （４） ～象ａ→～動ａ ２＆Ｅ
５ （５） 動ａ Ａ
６（６） ～象ａ Ａ
１ ６（７） ～動ａ ４６ＭＰＰ
１５６（８） 動ａ＆～動ａ ５７＆Ｉ
１５ （９） ～～象ａ ６８ＲＡＡ
１５ （ア） 象ａ ９ＤＮ
１ （イ） 動ａ→象ａ ５アＣＰ
１ （ウ） 象ａ→動ａ＆ 動ａ→象ａ ３イ＆Ｉ
１ （エ） 象ａ⇔動ａ ウＤｆ.⇔
１ （オ）∀ｘ（象ｘ⇔動ｘ） エＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（象ｘ⇔動ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、そのときに限って、ｘは動物である）。
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
に於いて、
①＝② である。
（03）
（ⅱ）
１（１）∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ） Ａ
１（２） 象ａ→動ａ＆～象ａ→～動ａ １ＵＥ
１（３） 象ａ→動ａ ２＆Ｅ
１（４）∀ｘ（象ｘ→動ｘ） ３ＵＩ
１（５） ～象ａ→～動ａ ２＆Ｅ
１（６） ∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ） ５ＵＩ
１（７）∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ） ４６＆Ｉ
（ⅲ）
１（１）∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ） Ａ
１（２）∀ｘ（象ｘ→動ｘ） １＆Ｅ
１（３） 象ａ→動ａ ２ＵＥ
１（４） ∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ） １＆Ｅ
１（５） ～象ａ→～動ａ ４ＵＥ
１（６） 象ａ→動ａ＆～象ａ→～動ａ ３５＆Ｉ
１（７）∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ） ６ＵＩ
従って、
（03）により、
（04）
② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）
③ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）
に於いて、すなはち、
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、すべてのｘについて（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
に於いて、
②＝③ である。
（05）
（ⅲ）
１ （１） ∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ） Ａ
１ （２） ～象ａ→～動ａ １ＵＥ
３（３） ～象ａ＆ 動ａ Ａ
３（４） ～象ａ ３＆Ｅ
１３（５） ～動ａ ２４ＭＰＰ
３（６） 動ａ ３＆Ｅ
１３（７） ～動ａ＆動ａ ５６＆Ｉ
１ （８） ～（～象ａ＆ 動ａ） ３ＲＡＡ
１ （９）∀ｘ～（～象ｘ＆ 動ｘ） ８ＵＩ
１ （ア）～∃ｘ（～象ｘ＆ 動ｘ） ９量化子の関係
（ⅳ）
１ （１）～∃ｘ（～象ｘ＆ 動ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ～（～象ｘ＆ 動ｘ） １量化子の関係
１ （３） ～（～象ａ＆ 動ａ） ２ＵＥ
４ （４） ～象ａ Ａ
５（５） 動ａ Ａ
４５（６） ～象ａ＆ 動ａ ４５＆Ｉ
１４５（７） ～（～象ａ＆ 動ａ）＆
（～象ａ＆ 動ａ） ３６＆Ｉ
１４ （８） ～動ａ ５７ＲＡＡ
１ （９） ～象ａ→～動ａ ４８ＣＰ
１ （ア） ∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ） ９ＵＩ
従って、
（05）により、
（06）
③ ∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）
④ ～∃ｘ（～象ｘ＆ 動ｘ）
に於いて、すなはち、
③ すべてのｘについて（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
④ （象ではなくて、動物であるｘ）は、存在しない。
に於いて、
③＝④ である。
（04）（05）（06）により、
（07）
③ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆ ∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）
④ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆ 動ｘ）
に於いて、すなはち、
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、すべてのｘについて（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、（象ではなくて、動物であるｘ）は、存在しない。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
① ∀ｘ（象ｘ⇔動ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）
③ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆ ∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）
④ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆ 動ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、そのときに限って、ｘは動物である）。
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、すべてのｘについて（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、（象ではなくて、動物であるｘ）は、存在しない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（09）
（α）｛象、机、椅子｝
（β）｛象、兎、河馬｝
に於いて、
（α）⇔「象が動物である。」
（β）⇔「象が動物である。」とは、言へない。
然るに、
（10）
（α）｛象、机、椅子｝
（β）｛象、兎、河馬｝
に於いて、
（α）⇔「象以外（机、椅子）は動物ではない。」
（β）⇔「象以外（兎、河馬）は動物ではない。」とは、言へない。
従って、
（09）（10）により、
（11）
① 象が動物である。
② 象は動物であり、象以外は動物ではない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（08）（11）により、
（12）
① 象が動物である。
② 象は動物であり、象以外は動物ではない。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ⇔動ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）
③ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆ ∀ｘ（～象ｘ→～動ｘ）
④ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆ 動ｘ）
といふ「述語論理式」、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、そのときに限って、ｘは動物である）。
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、すべてのｘについて（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）。
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、（象ではなくて、動物であるｘ）は、存在しない。
に、「等しい」。
然るに、
（13）
「現実」には、
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、（象ではなくて、動物であるｘ）は、存在しない。
といふことはなく、
⑤ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり）、尚且つ、（象ではなくて、動物であるｘ）は、存在する。
従って、
（13）により、
（14）
「現実」には、
⑤ ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）＆∃ｘ（～象ｘ＆動ｘ）⇔
⑤ 象は動物であるが、象以外にも、動物は存在する。
従って、
（14）により、
（15）
① 何が動物か。
② 動物は何か。
といふ「質問」に対しては、「答へよう」が無い。
然るに、
（16）
ある動物が、最大の動物である。ならば、
その動物以外に、最大の動物は、存在しない。
従って、
（16）により、
（17）
（ⅰ）象が最大の動物である。然るに、
（ⅱ）馬は象ではないが、動物である。従って、
（ⅲ）象と馬は動物であって、象は馬よりも大きい。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（17）により、
（18）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∀ｙ（～象ｙ＆動物ｙ→大ｘｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｙ（馬ｙ→～象ｙ＆動物ｙ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ∀ｙ（象ｘ＆馬ｙ→動物ｘ＆動物ｙ＆大ｘｙ）。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ） すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、ｘは動物であって馬であり、尚且つ、すべてのｙについて、ｙが象以外の動物であるならば、ｘはｙよりも大きい）｝。然るに、
（ⅱ） すべてのｙについて（ｙが馬ならば、ｙは象以外の動物である）。従って、
（ⅲ）すべてのｘとｙについて（ｘが象であってｙが馬ならば、ｘは動物であって、ｙも動物であって、ｘはｙよりも大きい）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（19）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∀ｙ（～象ｙ＆動物ｙ→大ｘｙ）｝ Ａ
２ （２）∀ｙ（馬ｙ→～象ｙ＆動物ｙ） Ａ
２ （〃）すべてのｙについて｛ｙが馬ならば、ｙは象ではないが、動物である）。Ａ
１ （３） 象ａ→動物ａ＆∀ｙ（～象ｙ＆動物ｙ→大ａｙ） １ＵＥ
１ （４） 象ａ→動物ａ ３＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（～象ｙ＆動物ｙ→大ａｙ） ３＆Ｅ
１ （６） ～象ｂ＆動物ｂ→大ａｂ ５ＵＥ
１２ （７） 馬ｂ→～象ｂ＆動物ｂ ２ＵＥ
８（８） 象ａ＆馬ｂ Ａ
８（９） 馬ｂ ８＆Ｅ
１２８（ア） ～象ｂ＆動物ｂ ７９ＭＰＰ
１２８（イ） 大ａｂ ６アＭＰＰ
１２８（ウ） 動物ｂ ア＆Ｅ
１２８（エ） 動物ｂ＆大ａｂ イウ＆Ｉ
８（オ） 象ａ ８＆Ｅ
１ ８（カ） 動物ａ ４オＭＰＰ
１２８（キ） 動物ａ＆動物ｂ＆大ａｂ エカ＆Ｉ
１２ （ク） 象ａ＆馬ｂ→動物ａ＆動物ｂ＆大ａｂ ８キＣＰ
１２ （ケ） ∀ｙ（象ａ＆馬ｙ→動物ａ＆動物ｙ＆大ａｙ） クＵＩ
１２ （コ）∀ｘ∀ｙ（象ｘ＆馬ｙ→動物ｘ＆動物ｙ＆大ｘｙ） ケＵＩ
１２ （〃）すべてのｘとｙについて（ｘが象であってｙが馬ならば、ｘは動物であり、ｙも動物であり、ｘはｙよりも大きい）。ケＵＩ
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
果たして、
（ⅰ）象が最大の動物である。然るに、
（ⅱ）馬は象ではないが、動物である。従って、
（ⅲ）象と馬は動物であって、象は馬よりも大きい。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（14）～（20）により、
（21）
「現実の世界」では、
① 象が動物である。
② 動物は象である。
といふ「命題」は、「偽」であるものの、
「現実の世界」であっても、
① 象が最大の陸上動物である。
② 最大の陸上動物は象である。
といふ「命題」は、「真」であって、「偽」ではない。
従って、
（20）（21）により、
（22）
① ＡがＢである。
といふ「日本語」は、
① ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
といふ、「意味」である。