（01）
（ａ）「含意の定義」の証明は、 （17）を参照せよ。
（ｂ）「ド・モルガンの法則」の証明は、（18）を参照せよ。
（02）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→ Ｐ）∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ→ Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨ Ｐ ２含意の定義
２ （４）～（Ｐ＆～Ｐ） ３ド・モルガンの法則
２ （５）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ ４∨Ｉ
６（６） Ｑ Ａ
６（７）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ ６∨Ｉ
１ （８）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ １２５６７∨Ｅ
１ （９） （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ ８含意の定義
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆～Ｐ）∨Ｑ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆～Ｐ） Ａ
３ （４） ～Ｐ∨ Ｐ ３ド・モルガンの法則
３ （５） Ｐ→ Ｐ ４含意の定義
３ （６） （Ｐ→ Ｐ）∨Ｑ ５∨I
７（７） Ｑ Ａ
７（８） （Ｐ→ Ｐ）∨Ｑ ７∨Ｉ
１ （９） （Ｐ→ Ｐ）∨Ｑ ２３６７８∨Ｉ
従って、
（02）により、
（03）
①（Ｐ→ Ｐ）∨Ｑ
②（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１（１） Ｐ Ａ
（２） Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（３）（Ｐ→Ｐ）∨Ｑ ２∨Ｉ
従って、
（04）により、
（05）
①（Ｐ→Ｐ）∨Ｑ
すなはち、
①（同一律）∨Ｑ
は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
①（Ｐ→ Ｐ）∨Ｑ
②（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
① は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（06）により、
（07）
①（Ｐ→ Ｐ）∨Ｑ
②（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② も、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（07）により、
（08）
②（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
すなはち、
②（ 矛盾 ）→Ｑ
は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（08）により、
（09）
②（矛盾）→Ｑ
すなはち、
②（ 偽 ）→Ｑ
は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（09）により、
（10）
①（偽）→真
②（偽）→偽
に於いて、
① は「真」であって、
② も「真」である。
従って、
（10）により、
（11）
③ Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである。）
に於いて、
③「Ｐである」が「偽」であるならば、
③「Ｑである」は「偽」であるか、
③「Ｑである」は「真」であるかの、どちらかである。
従って、
（11）により、
（12）
③ Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである。）
に於いて、
③「Ｐである」が「偽」であるならば、従って、
③「Ｐでない」が「真」であるならば、
③「Ｑである」は「偽」であるか、
③「Ｑである」は「真」であるかの、どちらかである。
従って、
（12）により、
（13）
③ Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである。）
に於いて、
③「Ｐでない」が「真」であるならば、
③「Ｑである」が「偽」であるか、
③「Ｑである」が「真」であるかは、「不明」である。
従って、
（13）により、
（14）
（ⅰ） Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである。）然るに、
（ⅱ）～Ｐ （Ｐでない。） 従って、
（ⅲ） ～Ｑ（Ｑでない。）
といふ「推論」は、「妥当」ではなく、
このことを称して、「前件否定の誤謬（the fallacy of denying the antecedent）」と謂ふ。
従って、
（13）（14）により、
（15）
逆に言へば、「前件否定の誤謬（the fallacy of denying the antecedent）」を「誤謬」である。
と、認めるのであれば、そのときに限って、
③ Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである。）
に於いて、
③「Ｐでない」が「真」であるならば、
③「Ｑである」が「偽」であるか、
③「Ｑである」が「真」であるかは、「不明」である。
といふことを、認めなければ、ならない。
従って、
（15）により、
（16）
③ 象は動物である。然るに、兎は象ではない。故に、兎は動物ではない。
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ），∀（兎ｘ→～象ｘ）├ ∀（兎ｘ→～動物ｘ）
といふ「推論（連式）」を、「妥当」ではない。 とするのであれば、
③ Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである。）
に於いて、
③「Ｐでない」が「真」であるならば、
③「Ｑである」が「偽」であるか、
③「Ｑである」が「真」であるかは、「不明」である。
といふことを、認めなければ、ならない。
（17）
―「含意の定義」の証明。―
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（18）
―「ド・モルガンの法則」の証明。―
（ⅰ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） ～Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
～Ｐ∨～Ｑ ２９＆Ｉ
２ （イ） ～～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
２ （エ） Ｐ＆ Ｑ ７ウ＆Ｉ
１２ （オ） ～（ Ｐ＆ Ｑ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（ Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア） ～（ Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（ Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ