（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
１ （４） Ｐ １＆Ｅ
１ ３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆ Ｑ） １３ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
１ （８） Ｑ １＆Ｅ
１ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア） ～（Ｐ＆ Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２３６７ア∨Ｅ
１２ （ウ） （Ｐ＆ Ｑ）＆
～（Ｐ＆ Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～（～Ｐ∨～Ｑ） ２ウＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
１ ２ （４） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
７（７） ～Ｑ Ａ
７（８） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
１ ７（９） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） １８＆Ｉ
１ （ア） ～～Ｑ ７９ＲＡＡ
１ （イ） Ｑ アＤＮ
１ （ウ） Ｐ＆ Ｑ ６イ＆Ｉ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ＆ Ｑ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
（03）
（ⅲ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨ ～Ｑ∨～Ｒ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨（～Ｑ∨～Ｒ） ２結合法則
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １＆Ｅ
１ ４ （６） ～Ｐ＆Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １６ＲＡＡ
８ （８） （～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
９ （９） ～Ｑ Ａ
１ （ア） Ｑ １＆Ｅ
１ ９ （イ） ～Ｑ＆Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（ Ｐ＆ Ｑ ＆Ｒ） １９ＲＡＡ
エ（エ） ～Ｒ Ａ
１ （オ） Ｒ １＆Ｅ
１ エ（カ） ～Ｒ＆Ｒ エオ＆Ｉ
エ（キ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １カＲＡＡ
８ （ク）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ８９ウエキ∨Ｅ
２ （ケ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ２４７８ク∨Ｅ
１２ （コ） （ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）＆
～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １コ＆Ｉ
１ （サ）～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２コＲＡＡ
（ⅳ）
１ （１） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ３∨Ｉ
１ ２ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １４＆Ｉ
１ （６） ～～Ｐ ２５ＲＡＡ
１ （７） Ｐ ６ＤＮ
８ （８） ～Ｑ Ａ
８ （９） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
８ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ８∨Ｉ
１ ８ （イ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １ア＆I
１ （ウ） ～～Ｑ ８ＲＡＡ
１ （エ） Ｑ ウＤＮ
オ（オ） ～Ｒ Ａ
オ（カ） ～Ｑ∨～Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ カ∨Ｉ
１ オ（ク） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １オ＆Ｉ
１ （ケ） ～～Ｒ オケＲＡＡ
１ （コ） Ｒ ケＤＮ
１ （サ） Ｐ＆ Ｑ ７エ＆Ｉ
１ （シ） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ コサ＆Ｉ
従って、
（03）により、
（04）
③ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
（05）
（ⅴ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨ ～Ｑ∨ ～Ｒ∨～Ｓ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨ ～Ｑ∨（～Ｒ∨～Ｓ） ２結合法則
２ （４） ～Ｐ∨［～Ｑ∨（～Ｒ∨～Ｓ）］ ３結合法則
５ （５） ～Ｐ Ａ
１ （６） Ｐ １＆Ｅ
１ ５ （７） ～Ｐ＆Ｐ ５６＆Ｉ
５ （８） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ） １７ＲＡＡ
９ （９） ［～Ｑ∨（～Ｒ∨～Ｓ）］ Ａ
ア （ア） ～Ｑ Ａ
１ （イ） Ｑ １＆Ｅ
１ ア （ウ） ～Ｑ＆Ｑ アイ＆Ｉ
ア （エ） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ） １ウＲＡＡ
オ （オ） （～Ｒ∨～Ｓ） Ａ
カ （カ） ～Ｒ Ａ
１ （キ） Ｒ １＆Ｅ
１ カ （ク） ～Ｒ＆Ｒ カキ＆Ｉ
カ （ケ） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ） １９ＲＡＡ
コ（コ） ～Ｓ Ａ
１ （サ） Ｓ １＆Ｅ
１ コ（シ） ～Ｓ＆Ｓ コサ＆Ｉ
コ（ス） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ） １シＲＡＡ
オ （セ） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ） オカケコス∨Ｅ
９ （ソ） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ） ９アエオセ∨Ｅ
２ （タ） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ） ４５８９ソ∨Ｅ
１２ （チ） （Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ）＆
～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ） １タ＆Ｉ
１ （ツ）～（～Ｐ∨ ～Ｑ∨ ～Ｒ∨～Ｓ） ２チＲＡＡ
（ⅵ）
１ （１） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ３∨Ｉ
２ （５） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ ４∨Ｉ
１ ２ （６） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ） １５＆Ｉ
１ （７） ～～Ｐ ２６ＲＡＡ
１ （８） Ｐ ７ＤＮ
９ （９） ～Ｑ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ ９∨Ｉ
９ （イ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ア∨Ｉ
９ （ウ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ イ∨Ｉ
１ ９ （エ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ） １ウ＆Ｉ
１ （オ） ～～Ｑ ９エＲＡＡ
１ （カ） Ｑ オＤＮ
キ （キ） ～Ｒ Ａ
キ （ク） ～Ｒ∨～Ｓ キ∨Ｉ
キ （ケ） ～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ ク∨Ｉ
キ （コ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ ケ∨Ｉ
１ キ （サ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ） １コ＆Ｉ
１ （シ） ～～Ｒ キサＲＡＡ
１ （ス） Ｒ シＤＮ
エ（セ） ～Ｓ Ａ
エ（ソ） ～Ｒ∨～Ｓ セ∨Ｉ
エ（タ） ～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ ソ∨Ｉ
エ（チ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ タ∨Ｉ
１ エ（ツ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ） １チ＆Ｉ
１ （テ） ～～Ｓ エツＲＡＡ
１ （ト） Ｓ テＤＮ
１ （ナ） Ｐ＆ Ｑ ８カ＆Ｉ
１ （ニ） Ｐ＆ Ｑ ＆Ｒ スナ＆Ｉ
１ （ヌ） Ｐ＆ Ｑ ＆Ｒ＆ Ｓ トニ＆Ｉ
従って、
（05）により、
（06）
⑤ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ
⑥ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）
に於いて、
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（02）（04）（06）により、
（07）
① Ｐ＆ Ｑ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ）
③ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑤ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ
⑥ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（01）（03）（05）により、
（08）
このやうな「計算（propositional calculus）」は、「数を数へる」やうに、「無限に続ける」ことが、出来る。
従って、
（01）～（08）により、
（09）
「数学的帰納法」により、「ド・モルガンの法則」は、
「無限個の命題」に対して、成立する。
然るに、
（10）
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ Ａ
２ （３） Ｐ∨（～Ｑ∨ Ｒ） ２結合法則
４ （４） Ｐ Ａ
１ （５） ～Ｐ １＆Ｅ
１ ４ （６） Ｐ＆～Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １６ＲＡＡ
８ （８） （～Ｑ∨ Ｒ） Ａ
９ （９） ～Ｑ Ａ
１ （ア） Ｑ １＆Ｅ
１ ９ （イ） ～Ｑ＆Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １イＲＡＡ
エ（エ） Ｒ Ａ
１ （オ） ～Ｒ １＆Ｅ
１ エ（カ） Ｒ＆～Ｒ エオ＆Ｉ
エ（キ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １カＲＡＡ
８ （ク）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） ８９ウエキ∨Ｅ
２ （ケ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） ２４７８ク∨Ｅ
１２ （コ） （～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １コ＆Ｉ
１ （サ）～（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ） ２コＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１） ～（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨ ～Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ ３∨Ｉ
１ ２ （５） ～（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ） ２４＆Ｉ
１ （６） ～Ｐ ２５ＲＡＡ
７ （７） ～Ｑ Ａ
７ （８） Ｐ∨ ～Ｑ ７∨Ｉ
７ （９） Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ ８∨Ｉ
１ ７ （ア） ～（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ） ２９＆I
１ （イ） ～～Ｑ ７アＲＡＡ
１ （ウ） Ｑ イＤＮ
エ（エ） Ｒ Ａ
エ（オ） ～Ｑ∨ Ｒ エ∨Ｉ
エ（カ） Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ オ∨Ｉ
１ エ（キ） ～（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ） ２カ＆Ｉ
１ （ク） ～Ｒ エキＲＡＡ
１ （ケ） ～Ｐ＆ Ｑ ６ウ＆Ｉ
１ （コ） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ クケ＆Ｉ
従って、
（10）により、
（11）
① ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
② ～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（11）により、
（12）
「否定命題」と「肯定命題」が「混在」してゐる場合であっても、
「ド・モルガンの法則」は、成立する。
然るに、
（11）により、
（13）
① ～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）
② ～～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（13）により、
（14）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）
② （ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（14）により、
（15）
② ～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
① ～～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
②＝① である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（15）により、
（16）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
② ～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
① （～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
②＝① である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（14）（16）により、
（17）
「番号」を付け直すと、
③ ～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
④ （～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（14）（17）により、
（18）
① ～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）
② （ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
③ ～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
④ （～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② は、「ド・モルガンの法則」であって、
③＝④ も、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（08）（17）により、
（18）
例へば、
① ～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ＆ Ｓ）
② （ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ∨～Ｓ）
③ ～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ∨～Ｓ）
④ （～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ＆ Ｓ）
に於いて、
①＝② は、「ド・モルガンの法則」であって、
③＝④ も、「ド・モルガンの法則」である。