（01）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いて、
② は、① の、「後半」の「否定」であって、
③ は、① の、「全体」の「否定」である。
然るに、
（02）
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２３ＭＰＰ
１３ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４＆Ｅ
１３ （６） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４＆Ｅ
１３ （７） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６量化子の関係
８（８） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
８（９） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） ８含意の定義
８（ア） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ ９ド・モルガンの法則
８（イ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） アＥＩ
１３ （ウ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ７８ＥＥ
１３ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ５ウ＆Ｉ
１ （オ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ３エＣＰ
１ （カ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） オＵＩ
（ⅳ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ２３ＭＰＰ
１３ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４＆Ｅ
１３ （６） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ４＆Ｅ
７（７） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
７（８） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） ７ド・モルガンの法則
７（９） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） ８含意の定義
７（ア） ∃ｚ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） ７ＥＩ
１３ （イ） ∃ｚ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） ６７アＥＥ
１３ （ウ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） イ量化子の関係
１３ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ５ウ＆Ｉ
１ （オ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３エＣＰ
１ （カ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ オＵＩ
（03）
（ⅲ）
１ （１）～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １量化子の関係
３ （３） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ Ａ
３ （４） ～｛～象ａ∨∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ３含意の定義
３ （５） 象ａ＆～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ４ド・モルガンの法則
３ （６） 象ａ ５＆Ｅ
３ （７） ～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ５＆Ｅ
３ （８） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７ド・モルガンの法則
９ （９） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
９ （ア） ∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ） ９量化子の関係
９ （イ） ～（鼻ｂａ＆長ｂ） アＵＥ
９ （ウ） ～鼻ｂａ∨～長ｂ イ、ド・モルガンの法則
９ （エ） 鼻ｂａ→～長ｂ ウ含意の定義
９ （オ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） エＵＩ
９ （カ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ） オ∨Ｉ
キ （キ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
キ （ク） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） キ量化子の関係
ケ（ケ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
ケ（コ） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） ケ含意の定義
ケ（サ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ コ、ド・モルガンの法則
ケ（シ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） サＥＩ
キ （ス） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） クケシＥＥ
キ （セ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ス∨Ｉ
３ （ソ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ８９カキセ∨Ｅ
３ （タ） 象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ６ソ＆Ｉ
３ （チ）∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ タＥＩ
１ （ツ）∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ ２３チＥＥ
（ⅴ）
１ （１）∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ Ａ
２ （２） 象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） Ａ
２ （３） 象ａ ２＆Ｅ
２ （４） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ２＆Ｅ
５ （５） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） Ａ
５ （６） 鼻ｂａ→～長ｂ ５ＵＥ
５ （７） ～鼻ｂａ∨～長ｂ ６含意の定義
５ （８） ～（鼻ｂａ＆長ｂ） ７ド・モルガンの法則
５ （９） ∀ｙ～（鼻ｂａ＆長ｂ） ８ＵＩ
５ （ア） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９量化子の関係
５ （イ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア∨I
ウ （ウ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） Ａ
エ（エ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
エ（オ） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） エ、ド・モルガンの法則
エ（カ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） オ含意の定義
エ（キ） ∃ｚ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） カＥＩ
ウ （ク） ∃ｚ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） ウエキＥＥ
ウ （ケ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ク量化子の関係
ウ （コ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ケ∨Ｉ
２ （サ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２５イウコ∨Ｅ
２ （シ） ～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ サ、ド・モルガンの法則
２ （ス） 象ａ＆～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ３シ＆Ｉ
２ （セ） ～｛～象ａ∨∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ス、ド・モルガンの法則
２ （ソ） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ セ含意の定義
２ （タ）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ソＥＩ
１ （チ）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １２タＥＥ
１ （ツ）～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ チ含意の定義
従って、
（02）（03）により、
（04）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
⑤ ∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
に於いて、
②＝④ であって、
④＝⑤ である。
（01）（04）により、
（05）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
⑤ ∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
に於いて、
②と④ は、① の、「後半」の「否定」であって、
③と⑤ は、① の、「全体」の「否定」である。
従って、
（05）により、
（06）
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば（あるｙはｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば（あるｙはｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）といふわけではない｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば（あるｙはｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝といふわけではない。
④ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば（あるｙはｘの鼻であって、長く）、 あるｚについて（ｚはｘの鼻ではないが、ｚは長い）。｝
⑤ あるｘについて｛ｘは象であって、すべてのｙについて（ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない）か、あるｚについて（ｚはｘの鼻ではないが、ｚは長い）。｝
に於いて、
②と④ は、① の、「後半」の「否定」であって、
③と⑤ は、① の、「全体」の「否定」である。
従って、
（06）により、
（07）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば（あるｙはｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
であるとして、
④ 象は鼻は長く、鼻以外も長い。
⑤ ある象は、鼻は長くないか、または、鼻以外も長い。
に於いて、
④ は、① の、「後半」の「否定」であって、
⑤ は、① の、「全体」の「否定」である。