（01）
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ Ａ
２ （３） Ｐ∨（～Ｑ∨ Ｒ） ２結合法則
４ （４） Ｐ Ａ
１ （５） ～Ｐ １＆Ｅ
１ ４ （６） Ｐ＆～Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １６ＲＡＡ
８ （８） （～Ｑ∨ Ｒ） Ａ
９ （９） ～Ｑ Ａ
１ （ア） Ｑ １＆Ｅ
１ ９ （イ） ～Ｑ＆Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １イＲＡＡ
エ（エ） Ｒ Ａ
１ （オ） ～Ｒ １＆Ｅ
１ エ（カ） Ｒ＆～Ｒ エオ＆Ｉ
エ（キ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １カＲＡＡ
８ （ク）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） ８９ウエキ∨Ｅ
２ （ケ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） ２４７８ク∨Ｅ
１２ （コ） （～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １コ＆Ｉ
１ （サ）～（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ） ２コＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１） ～（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨ ～Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ ３∨Ｉ
１ ２ （５） ～（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ） ２４＆Ｉ
１ （６） ～Ｐ ２５ＲＡＡ
７ （７） ～Ｑ Ａ
７ （８） Ｐ∨ ～Ｑ ７∨Ｉ
７ （９） Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ ８∨Ｉ
１ ７ （ア） ～（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ） ２９＆I
１ （イ） ～～Ｑ ７アＲＡＡ
１ （ウ） Ｑ イＤＮ
エ（エ） Ｒ Ａ
エ（オ） ～Ｑ∨ Ｒ エ∨Ｉ
エ（カ） Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ オ∨Ｉ
１ エ（キ） ～（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨ ～Ｑ∨ Ｒ） ２カ＆Ｉ
１ （ク） ～Ｒ エキＲＡＡ
１ （ケ） ～Ｐ＆ Ｑ ６ウ＆Ｉ
１ （コ） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ クケ＆Ｉ
従って、
（01）により、
（02）
① ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
② ～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
① ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
② ～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝～Ｆａ
Ｑ＝ Ｆｂ
Ｒ＝～Ｆｃ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～～Ｆａ＆ Ｆａ＆～～Ｆｃ
② ～（～Ｆａ∨～Ｆａ∨ ～Ｆｃ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① Ｆａ＆ Ｆａ＆ Ｆｃ
② ～（～Ｆａ∨～Ｆａ∨～Ｆｃ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
｛ａ、ｂ、ｃ｝を「変域（ドメイン）」とすると、
① ∀ｘ Ｆｘ≡ （ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）
② ～∃ｘ～Ｆｘ≡～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
に於いて、
①＝② である（左辺：量化子の関係）。
①＝② である（右辺：ド・モルガンの法則）。
従って、
（05）により、
（06）
③ ～∀ｘ Ｆｘ≡ ～（ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）
④ ～～∃ｘ～Ｆｘ≡～～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
に於いて、
③＝④ である（量化子の関係）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（06）により、
（07）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
③ ～∀ｘ Ｆｘ≡～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）
④ ∃ｘ～Ｆｘ≡（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
に於いて、
③＝④ である（量化子の関係）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① ∀ｘ Ｆｘ≡ （ Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）
② ～∃ｘ～Ｆｘ≡～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
③ ～∀ｘ Ｆｘ≡ ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）
④ ∃ｘ～Ｆｘ≡ （～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）
に於いて、
①＝② である（量化子の関係・ド・モルガンの法則）。
③＝④ である（量化子の関係・ド・モルガンの法則）。
従って、
（08）により、
（09）
「述語論理」に於ける「量化子の関係」といふのは、
「命題論理」に於ける「ド・モルガンの法則」に、他ならない。
然るに、
（10）
① ∀ｘ Ｆｘ≡すべてのｘは、Ｆである。
② ～∃ｘ～Ｆｘ≡Ｆでないｘは、存在しない。
③ ～∀ｘ Ｆｘ≡すべてのｘは、Ｆである。といふわけではない。
④ ∃ｘ～Ｆｘ≡Ｆでないｘが、存在する（あるｘは、Ｆでない）。
従って、
（10）により、
（11）
① すべてのｘは、Ｆである。
② Ｆでないｘは、存在しない。
③ すべてのｘは、Ｆである。といふわけではない。
④ Ｆでないｘが、存在する（あるｘは、Ｆでない）。
に於いて、
①＝② である（量化子の関係・ド・モルガンの法則）。
③＝④ である（量化子の関係・ド・モルガンの法則）。