（01）
「幾らかのフランス人は寛大である」を、正しく、
∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）と記号化するかわりに、むしろ、
∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）とするのは、よくある間違いである。しかし、
∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）は、
それがフランス人であるならば、寛大であるようなものが存在することを主張するのであって、
これは、かりにフランス人が存在しないとしても真であろう。しかるに、
「幾らかのフランス人は寛大である」は決してそうではない。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１２４頁）
然るに、
（02）
『定理』を用いて、次の連式を証明せよ（Using theorems, prove the following sequent）。
∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）┤├ ∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２ （２） Ｆａ→Ｇａ Ａ
２ （３） ～Ｆａ∨Ｇａ ２含意の定義
４ （４） ～Ｆａ Ａ
４ （５）∃ｘ（～Ｆｘ） ４ＥＩ
４ （６）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ５∨Ｉ
７（７） Ｇａ Ａ
７（８） ∃ｘ（Ｇｘ） ７ＥＩ
７（９）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ８∨I
２ （ア）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ２４６７９∨Ｅ
１ （イ）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） １２アＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２）∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
３ （３） ～Ｆａ Ａ
３ （４） ～Ｆａ∨Ｇａ ３∨Ｉ
３ （５） Ｆａ→Ｇａ ４含意の定義
３ （６） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ６ＥＩ
２ （７） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ２３６ＥＥ
８ （８） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
９（９） Ｇａ Ａ
９（ア） ～Ｆａ∨Ｇａ ９∨Ｉ
９（イ） Ｆａ→Ｇａ ア含意の定義
９（ウ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） イＥＩ
８ （エ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ８９ＥＥ
１ （オ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） １２７８エ∨Ｅ
（03）
『定理』を用いずに、次の連式を証明せよ（Not using theorems, prove the following sequent）。
∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）┤├ ∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２ （２） Ｆａ→Ｇａ Ａ
３ （３） ～（～Ｆａ∨Ｇａ） Ａ
４ （４） ～Ｆａ Ａ
４ （５） ～Ｆａ∨Ｇａ ４∨Ｉ
３４ （６） ～（～Ｆａ∨Ｇａ）＆
（～Ｆａ∨Ｇａ） ３５＆Ｉ
３ （７） ～～Ｆａ ４６ＲＡＡ
３ （８） Ｆａ ７ＤＮ
２３ （９） Ｇａ ２８ＭＰＰ
２３ （ア） ～Ｆａ∨Ｇａ ９∨Ｉ
２３ （イ） ～（～Ｆａ∨Ｇａ）＆
（～Ｆａ∨Ｇａ） ２ア＆Ｉ
２ （ウ）～～（～Ｆａ∨Ｇａ） ３イＲＡＡ
２ （エ） ～Ｆａ∨Ｇａ ウＤＮ
オ （オ） ～Ｆａ Ａ
オ （カ）∃ｘ（～Ｆｘ） オＥＩ
オ （キ）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） カ∨Ｉ
ク（ク） Ｇａ Ａ
ク（ケ） ∃ｘ（Ｇｘ） クＥＩ
ク（コ）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ケ∨Ｉ
２ （サ）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ２オキクコ∨Ｅ
１ （シ）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） １２サＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２）∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
３ （３） ～Ｆａ Ａ
３ （４） ～Ｆａ∨Ｇａ ３∨Ｉ
３ （５）∃ｘ（～Ｆａ∨Ｇａ） ４ＥＩ
２ （６）∃ｘ（～Ｆａ∨Ｇａ） ２３５ＥＥ
７ （７） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
８ （８） Ｇａ Ａ
８ （９） ～Ｆａ∨Ｇａ ６∨Ｉ
８ （ア） ∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ） ９ＥＩ
７ （イ） ∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ） ７８アＥＥ
１ （ウ） ∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ） １２６７イ∨Ｅ
エ （オ） ～Ｆａ∨Ｇａ Ａ
カ （カ） Ｆａ＆～Ｇａ Ａ
キ （キ） ～Ｆａ Ａ
カ （ク） Ｆａ カ＆Ｅ
カキ （ケ） ～Ｆａ＆Ｆａ キク
キ （コ） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） カケＲＡＡ
サ （サ） Ｇａ Ａ
カ （シ） ～Ｇａ カ＆Ｅ
カ サ （ス） Ｇａ＆～Ｇａ サシ＆Ｉ
サ （セ） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） カスＲＡＡ
エ （ソ） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） エキコサセ∨Ｅ
タ （タ） Ｆａ Ａ
チ（チ） ～Ｇａ Ａ
タチ（ツ） Ｆａ＆～Ｇａ タチ＆Ｉ
エ タチ（テ） ～（Ｆａ＆～Ｇａ）＆
（Ｆａ＆～Ｇａ） ソツ＆Ｉ
エ タ （ト） ～～Ｇａ チテＲＡＡ
エ タ （ナ） Ｇａ トＤＮ
エ （ニ） Ｆａ→Ｇａ タナＣＰ
エ （ヌ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ニＥＩ
１ （ネ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ウエヌＥＥ
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）（04）により、
（05）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、すなはち、
① ある人について（その人がフランス人であるならば、その人は寛大である）。
② ある人は（フランス人でない）か、または、ある人は（寛大である）。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
② ある人は（フランス人でない）。
といふ「命題」が「真」であるならば、それだけで、
② ある人は（フランス人でない）か、または、ある人は（寛大である）。
といふ「命題」は「真」である。
従って、
（07）
② ある人が（ドイツ人であって）、その人が寛大である。
とすれば、
② ある人は（フランス人でない）か、または、ある人は（寛大である）。
といふ「命題」は「真」である。
然るに、
（08）
② ある人はドイツ人であって、その人は寛大である。
といふ「命題」は、
② フランス人が存在しないとしても真である。
従って、
（01）～（08）により、
（09）
E.J.レモン が言ふやうに、
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）⇔
② ∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
といふ「論理式」は、かりにフランス人が存在しない（even if there are no French）としても真である。