x^2-170x+7176
=x^2-170x+85^2-85^2+7176
=(x-85)^2-7225+7176
=(x-85)^2-49
=(x-85)^2-7^2
=(x-85+7)(x-85-7)
=(x-78)(x-92)
一般化してみよう。
P=ax^2+bx+c
=1/(4a)×(4a^2x^2+4abx+4ac)
y=2axとする。
D=b^2-4ac=d^2とする。
P=1/(4a)×(y^2+2by+b^2-b^2+4ac)
=1/(4a)×{(y+b)^2-d^2}
=1/(4a)×(y+b+d)(y+b-d)
=1/(4a)×(2ax+b+d)(2ax+b-d)
まとめると、
P=ax^2+bx+c
D=b^2-4ac=d^2とする。
P=1/(4a)×(2ax+b+d)(2ax+b-d)
※1 Dが平方数d^2でないと因数分解できない
※2 後半の形から4aが出て、1/(4a)がなくなる。
【例1】
P=5x^2+18x+16
D=18^2-4×5×16=324-320=4=2^2
P=1/20×(10x+18+2)(10x+18-2)
=1/20×(10x+20)(10x+16)
=1/20×{10(x+2)×2(5x+8)}
=(x+2)(5x+8)
【例2】
P=8x^2-22x+15
D=(-22)^2-4×8×15=484-480=4=2^2
P=1/32×(16x-22+2)(16x-22-2)
=1/32×(16x-20)(16x-24)
=1/32×{4(4x-5)×8(2x-3)}
=(4x-5)(2x-3)
【例3】
P=3x^2-14x-5
D=(-14)^2-4×3×(-5)=196+60=256=16^2
P=1/12×(6x-14+16)(6x-14-16)
=1/12×(6x+2)(6x-30)
=1/12×{2(3x+1)×6(x-5)}
=(3x+1)(x-5)
【例4】
P=18x^2+13x-60
D=13^2-4×18×(-60)
=169+4320=4489=67^2
P=1/72×(36x+13+67)(36x+13-67)
=1/72×(36x+80)(36x-54)
=1/72×{4(9x+20)×18(2x-3)}
=(9x+20)(2x-3)
【平方数の見つけ方(n=3 or 4桁)】
n=d^2となるdを見つける。
①一の位に注目する
nの一の位→dの一の位
0→0、 1→1 or 9、 2→✕、 3→✕
4→2 or 8、 5→5、 6→4 or 6
7→✕、 8→✕、 9→3 or 7
②nの千、百の位a→dの十の位
k^2≦a＜(k+1)^2となるkがdの十の位
【例】
n=4489
①dの一の位3 or 7
②a=44→6^2≦44＜7^2→dの十の位6
dの候補は63 or 67→67^2=4489
n=1225
①dの一の位5
②a=12→3^2≦12＜4^2→dの十の位3
dの候補は35 →35^2=1225
係数の絶対値が小さいとき、たすきがけの方が楽。
係数の絶対値が大きいとき、平方数を見つけるのが大変。
余りメリットのない解法だったが、副産物があった考察だった。
(2021/6/4)
