【n+AがBの倍数で、n+BがAの倍数となる自然数n】

n+5が7の倍数で、n+7が5となる最小の自然数nを求めよ。

A＞B＞1で、AはBの倍数でないとする。

A,Bの最大公約数をgとし、A=ga, B=gbとする。

n+AがBの倍数で、n+BがAの倍数となる最小の自然数nを求めよ。

【解】

AはBの倍数でないから、b＞1

n+A=Bs→n+(A+B)=B(s+1)

n+B=At→n+(A+B)=A(t+1)

n+(A+B)は、A,Bの公倍数

よって、最小公倍数gabの倍数

n+(A+B)=gabk

n=gabk-(A+B)

k=1のとき、

P=gab-(A+B)

A＞Bとする。

P＞gab-2A=(b-2)A≧0

よって、最小の自然数は、n=gab-(A+B)

A,Bが互いに素のとき、

最小のnは、n=AB-(A+B)

(2024/1/24)