（01）
１ （１）∃ｘ∃ｙ｛Ｓｘ＆哲ｘ＆Ｐｙ＆教ｘｙ＆～∃ｚ（教ｚｙ＆ｚ≠ｘ）｝ Ａ
２ （２） ∃ｙ｛Ｓａ＆哲ａ＆Ｐｙ＆教ａｙ＆～∃ｚ（教ｚｙ＆ｚ≠ａ）｝ Ａ
３ （３） Ｓａ＆哲ａ＆Ｐｂ＆教ａｂ＆～∃ｚ（教ｚｂ＆ｚ≠ａ） Ａ
３ （４） ～∃ｚ（教ｚｂ＆ｚ≠ａ） ３＆Ｅ
３ （５） ∀ｚ～（教ｚｂ＆ｚ≠ａ） ４量化子の関係
３ （６） ～（教ｃｂ＆ｃ≠ａ） ５ＵＥ
３ （７） ～教ｃｂ∨ｃ＝ａ ６ド・モルガンの法則
３ （８） 教ｃｂ→ｃ＝ａ ７含意の定義
９ （９） ∃ｚ（Ａｚ＆～Ｓｚ） Ａ
ア （ア） Ａｃ＆～Ｓｃ Ａ
ア （イ） Ａｃ ア＆Ｅ
ア （ウ） ～Ｓｃ ア＆Ｅ
３ （エ） Ｓａ ３＆Ｅ
３ ア （オ） Ｓａ＆～Ｓｃ ウエ＆Ｉ
カ（カ） ｃ＝ａ Ａ
３ アカ（キ） Ｓａ＆～Ｓａ オカ＝Ｅ
３ ア （ク） ｃ≠ａ カキＲＡＡ
３ ア （ケ） ～教ｃｂ ８９ＭＴＴ
３ （コ） Ｐｂ ３＆Ｅ
３ ア （サ） Ａｃ＆Ｐｂ イコ＆Ｉ
３ ア （シ） Ａｃ＆Ｐｂ＆～教ｃｂ ケサ＆Ｉ
３ ア （ス） ∃ｙ（Ａｃ＆Ｐｙ＆～教ｃｙ） シＥＩ
３９ （セ） ∃ｙ（Ａｃ＆Ｐｙ＆～教ｃｙ） ９アスＥＥ
３９ （ソ）∃ｚ∃ｙ（Ａｚ＆Ｐｙ＆～教ｚｙ） セＥＩ
２ ９ （タ）∃ｚ∃ｙ（Ａｚ＆Ｐｙ＆～教ｚｙ） ２３ソＥＥ
１ ９ （チ）∃ｚ∃ｙ（Ａｚ＆Ｐｙ＆～教ｚｙ） １２タＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）∃ｘ∃ｙ｛Ｓｘ＆哲ｘ＆Ｐｙ＆教ｘｙ＆～∃ｚ（教ｚｙ＆ｚ≠ｘ）｝。然るに、
（ⅱ） ∃ｚ（Ａｚ＆～Ｓｚ）。従って、
（ⅲ）∃ｚ∃ｙ（Ａｚ＆Ｐｙ＆～教ｚｙ）。
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）あるｘとあるｙについて｛ｘはソクラテスであって、哲学者であって、ｙはプラトンであって、ある（ｘ以外のｚが、ｙを教へる）といふことはない｝。然るに、
（ⅱ） ある（ｚはアリストテレスであって、ソクラテスではない）。従って、
（ⅲ）あるｚとあるｙについて（ｚはアリストテレスであって、ｙはプラトンであって、ｚはｙを教えない）。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）ソクラテスがプラトンを教えた唯一の哲学者である。然るに、
（ⅱ）アリストテレスは、ソクラテスではない。従って、
（ⅲ）アリストテレスは、プラトンを教えなかった。
といふ「推論（三段論法）」は、「述語論理」としても、「妥当」である。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）Socrates is the only philosopher who taught Plato. 然るに、
（ⅱ）Aristotle is not Socrates. 従って、
（ⅲ）Aristotle did not teach Plato.
といふ「推論（三段論法）」は、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（05）
さて定冠詞（the）は、それが厳密に用いられるときには、一意性を内含している。
（勁草書房、現代哲学基本論文集Ⅰ、バートランド・ラッセル、指示について、1986年、５３頁）
従って、
（04）（05）により、
（06）
定冠詞（the）は、それ自体が、一意性（Uniquness）を内含しているが故に、
① Socrates is the only philosopher who taught Plato.
② Socrates is the philosopher who taught Plato.
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
① Socrates is the only philosopher who taught Plato.
といふことは、
① Socrates
② The philosopher who taught Plato
に於いて、
①＝② である。
といふことに、他ならない。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① Socrates is the philosopher who taught Plato.
といふことは、
① Socrates
② The philosopher who taught Plato
に於いて、
①＝② である。
といふことを、「意味」してゐる。
然るに、
（09）
① Socrates is the philosopher who taught Plato.
といふことは、
② Socrates ＝ the philosopher who taught Plato.
といふことに、他ならない。
然るに、
（10）
Consider the English setence below.
（１）Socrates is a philosopher.
（２）Paris is a city.
（３）Courage is a virtue.
（４）Socrates is the philosopher who taught Plato.
（５）Paris is the capital of France.
（６）Courage is the virtue I most admire.
Sentences（１）－（３）are simple subjects-predicate sentences; a particular objects（Socrates,Paris,courage）is said to have a certain property（being a philosopher,being a city,being a virtue）. We accordingly call the 'is' in（１）－（３）the 'is' of predication. This use of 'is' must be contrasted with the 'is' in（４）－（６）, where rather the sense is 'is' the same object as（with 'object' used in some broad neutral sense）. This 'is' we distinguish as the 'is' of identity.
（E.J.Lemmon, Beginning Logic,1978/6/1,p160）
（１）－（３）の文は単純ば主語・述語文である、特定の対象（ソクラテス、パリ、勇気）がある性質（哲学者であること、都市であること、徳であること）をもつ、と言われるのである。従って、（１）-（３）における「である」のことを、述語の作用をする「である」（'is' of predication）とよぶ。この「である」の用法は、（４）－（６）における「である」と比較対象される必要がある、ここではその意味はむしろ、「同じ対象である」（「対象」という語をある広い、中立的な意味に用いて）である。この「である」をわれわれは同一性の「である」（'is' of identity）として区別する。
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 翻訳、論理学初歩、1973年、２０４頁）
従って、
（02）（03）（09）（10）により、
（11）
① Socrates is the philosopher who taught Plato.⇔
① ソクラテスがプラトンを教えた唯一の哲学者である。⇔
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｓｘ＆哲ｘ＆Ｐｙ＆教ｘｙ＆∀ｚ（教ｚｙ→ｚ＝ｘ）｝。
といふことは、
② Socrates ＝ the philosopher who taught Plato.
といふことに他ならない、が故に、
① に於ける「ｉｓ」を、「同一性の'ｉｓ'」といふ。