（01）
１ （１） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆～Ｆｙ＆ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２） ∀ｙ（Ｆａ＆～Ｆｙ＆ａ＝ｙ） １ＵＥ
１ （３） Ｆａ＆～Ｆｂ＆ａ＝ｂ ２ＵＥ
１ （４） Ｆａ＆～Ｆａ ３３＝Ｅ
（５）～∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆～Ｆｙ＆ｘ＝ｙ） １４ＲＡＡ
（６）∃ｘ～∀ｙ（Ｆｘ＆～Ｆｙ＆ｘ＝ｙ） ５量化子の関係
（７）∃ｘ∃ｙ～（Ｆｘ＆～Ｆｙ＆ｘ＝ｙ） ６量化子の関係
８ （８） ∃ｙ～（Ｆａ＆～Ｆｙ＆ａ＝ｙ） Ａ
９ （９） ～（Ｆａ＆～Ｆｂ＆ａ＝ｂ） Ａ
９ （ア） ～Ｆａ∨ Ｆｂ∨ａ≠ｂ ９ド・モルガンの法則
９ （イ） ～Ｆａ∨ａ≠ｂ∨ Ｆｂ ア交換法則
９ （ウ） （～Ｆａ∨ａ≠ｂ）∨Ｆｂ イ結合法則
エ （エ） （～Ｆａ∨ａ≠ｂ） Ａ
エ （オ） ～（Ｆａ＆ａ＝ｂ） エ、ド・モルガンの法則
エ （カ） ～（Ｆａ＆ａ＝ｂ）∨Ｆｂ オ∨Ｉ
キ（キ） Ｆｂ Ａ
キ（ク） ～（Ｆａ＆ａ＝ｂ）∨Ｆｂ キ∨Ｉ
９ （ケ） ～（Ｆａ＆ａ＝ｂ）∨Ｆｂ ウエカキク∨Ｅ
９ （コ） （Ｆａ＆ａ＝ｂ）→Ｆｂ ケ含意の定義
９ （サ） ∃ｙ｛（Ｆａ＆ａ＝ｙ）→Ｆｙ｝ コＥＩ
８ （シ） ∃ｙ｛（Ｆａ＆ａ＝ｙ）→Ｆｙ｝ ８９サＥＥ
８ （ス）∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆ｘ＝ｙ）→Ｆｙ｝ シＥＩ
（セ）∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆ｘ＝ｙ）→Ｆｙ｝ ７８スＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆ｘ＝ｙ）→Ｆｙ｝
① あるｘとｙについて｛（ｘがＦで、ｘとｙが同一である）ならば、ｙはＦである｝。
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（02）により、
（03）
例へば、
① ある人（ｘ）が理事で、その人（ｘ）が私（ｙ）と「同一人物」であるならば、私（ｙ）は理事である。
といふ「命題」は、「恒に真（本当）」である。
然るに、
（04）
① 理事長は、一人しかゐないが、
① 理事は、 一人では、ない。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① ある人（ｘ）が理事で、その人（ｘ）が私（ｙ）と「同一人物」であるならば、私（ｙ）は理事である。
としても、
① 私＝理事（私以外は理事ではない）。
といふことには、ならない。
然るに、
（06）
｛ａ，ｂ，ｃ｝が｛個体の領域｝であるとして、
ａ＝ｂ
ａ＝ｃ
ｂ＝ｃ
であるならば、そのときに限って、
ａ＝ｂ
ａ＝ｃ
ｂ＝ａ
ｂ＝ｃ
ｃ＝ａ
ｃ＝ｂ
であって、
ａ＝ｂ
ａ＝ｃ
ｂ＝ａ
ｂ＝ｃ
ｃ＝ａ
ｃ＝ｂ
であるならば、そのときに限って、
ａ＝ｂ＝ｃ
であって、
ａ＝ｂ＝ｃ
であるならば、そのときに限って、
｛ａ，ｂ，ｃ｝＝｛ａ｝
である。
従って、
（06）により、
（07）
｛ａ，ｂ，ｃ｝が｛個体の領域｝であるとして、
ａ＝ｂ
ａ＝ｃ
ｂ＝ａ
ｂ＝ｃ
ｃ＝ａ
ｃ＝ｂ
であるならば、そのときに限って、
｛ａ｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
然るに、
（08）
｛ａ，ｂ，ｃ｝が｛個体の領域｝であるとして、
として、
｛ａ｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、｛個体の個数｝は、｛（ａによる）１個｝である。
従って、
（08）により、
（09）
② ∀ｘ∀ｙ（ｘ＝ｙ）
であるならば、すなはち、
② すべてのｘとｙについて（ｘとｙは同一である）。
であるならば、
② ｘとｙは「同一」であって、尚且つ、「（唯一の）ｘ」である。
然るに、
（10）
（ⅱ）
１（１） ∀ｘ∀ｙ（ｘ＝ｙ） Ａ
１（２） ∀ｙ（ａ＝ｙ） １ＵＥ
１（３） ａ＝ｂ ２ＵＥ
１（４） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ ３∨Ｉ
１（５） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ４含意の定義
１（６） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ５ＵＩ
１（７）∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ６ＵＩ
従って、
（10）により、
（11）
② ∀ｘ∀ｙ（ ｘ＝ｙ）
③ ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
に於いて、
② ならば、③である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
③ ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
であるならば、
③ ｘは「Ｆである所の、唯一のｘ」である。
従って、
（12）により、
（13）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
であるならば、すなはち、
② あるｘは（Ｆであり）、すべてのｘとｙについて（ｘがＦであってｙもＦであるならば、ｘとｙは同一である）。
であるならば、
② Ｆである所の、唯一のｘが存在する。
然るに、
（14）
（ⅱ）
１ （１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘＦｘ １＆Ｅ
３ （３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５ＵＥ
７（７） Ｆｂ Ａ
３７（８） Ｆａ＆Ｆｂ ３７＆Ｉ
１３７（９） ａ＝ｂ ６８ＭＰＰ
１３ （ア） Ｆｂ→ａ＝ｂ ７９ＣＰ
１３ （イ） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） アＵＩ
１３ （ウ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３イ＆Ｉ
１３ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ウＥＩ
１ （オ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ２３エＥＥ
（ⅲ）
１ （１） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） Ｆａ ２＆Ｅ
２ （４） ∃ｘ（Ｆｘ） ３ＥＩ
１ （５） ∃ｘ（Ｆｘ） １２４ＥＥ
１ （６） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
１ （７） Ｆｂ→ａ＝ｂ ６ＵＥ
８（８） Ｆａ＆Ｆｂ Ａ
８（９） Ｆｂ ８＆Ｅ
１ ８（ア） ａ＝ｂ ７９ＭＰＰ
１ （イ） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ８アＣＰ
１ （ウ） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） イＵＩ
１ （エ） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ウＵＩ
１ （オ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ５エ＆Ｉ
従って、
（14）により、
（15）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
③ ∃ｘ｛Ｆｘ ＆ ∀ｙ（ Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
③ ∃ｘ｛Ｆｘ ＆∀ｙ （ Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
であるならば、すなはち、
② あるｘは（Ｆであり）、すべてのｘとｙについて（ｘがＦであってｙもＦであるならば、ｘとｙは同一である）。
③ あるｘは｛Ｆであり、 すべてのｙ について（ ｙがＦであるならば、ｘとｙは同一である）｝。
であるならば、
② Ｆである所の、唯一のｘが存在する。
③ Ｆである所の、唯一のｘが存在する。
従って、
（16）により、
（17）
それ故、正確に１つのものがＦをもつと言うことは、つぎのように言うことである。
（16）∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
さて（16）は、実はより短くすっきりとした次の式と導出可能なのである。
（17）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
（17）は、あるものがＦをもち、そして任意のＦをもつものはまさにそのものにほかならない、ということを主張する。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 翻訳、1973年、２１１・２１２頁）
といふ「説明」は、「正しい」。