（01）
排他的論理和【eXclusive OR】
XORとは、論理演算の一つで、二つの命題のいずれか一方のみが真のときに真となり、両方真や両方偽のときは偽となるものを言う。
（ＩＴ用語辞典、ｅ-Ｗｏｒｄｓを参照）
（02）
論理学の「・・・あるいは・・・」は両立的選言に決めてある。それは論理学の体系がよりシンプルなものになるからである。
とりわけ、∨を両立的選言の方に決めておけば、排他的選言の方は∨と＆と～によって簡単に表現できる ―（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）―。
（昭和堂入門選書、論理学の基礎、1994年、１１頁）
然るに、
（01）（02）により、
（03）
両立的選言（∨） ではなく、
排他的選言（XOR）であれば、
① 二つの命題（ＰとＱ）のどちらか一方が「真」であるならば、そのときに限って「真」である。
然るに、
（04）
① 二つの命題（ＰとＱ）のどちらか一方が「真」であるならば、そのときに限って「真」である。
といふことは、
② 二つの命題（ＰとＱ）が、両方とも「真」であることはなく、両方とも「偽」であることもない。
といふことである。
然るに、
（05）
② 二つの命題（ＰとＱ）が、両方とも「真」であることはなく、両方とも「偽」であることもない。
といふことは、
③ Ｐの真理値とＱの真理値は、一致しない。
といふことである。
然るに、
（06）
③ Ｐの真理値とＱの真理値は、一致しない。
といふことは、「記号」で書くと、
④ ～（Ｐ⇔Ｑ）
といふことである。
然るに、
（07）
（ⅰ）
１ （１） ～（Ｐ⇔Ｑ） Ａ
１ （２）～｛（Ｐ→Ｑ）＆ （Ｑ→Ｐ）｝ １Ｄｆ.⇔
１ （３） ～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ２ド・モルガンの法則
２ （４） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
２ （５）～（～Ｐ∨Ｑ） ４含意の定義
２ （６） Ｐ＆～Ｑ ５ド・モルガンの法則
２ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） ６∨Ｉ
８ （８） ～（Ｑ→Ｐ） Ａ
８ （９） ～（～Ｑ∨Ｐ） ８含意の定義
８ （ア） Ｑ＆～Ｐ ９ド・モルガンの法則
８ （イ） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） ア∨Ｉ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２ （２）（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｑ ３４ＭＰＰ
２ （６） ～Ｑ ２＆Ｅ
２３ （７） Ｑ＆～Ｑ ５６＆Ｉ
２ （８）～（Ｐ→Ｑ） ３７ＲＡＡ
２ （９）～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） ８∨Ｉ
ア （ア） Ｑ＆～Ｐ Ａ
イ（イ） Ｑ→ Ｐ Ａ
ア （ウ） Ｑ ア＆Ｅ
アイ（エ） Ｐ イウＭＰＰ
ア （オ） ～Ｐ ア＆Ｅ
アイ（カ） Ｐ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
ア （キ） ～（Ｑ→Ｐ） イカＲＡＡ
ア （ク）～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） キ∨Ｉ
１ （ケ）～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ） １２９アク∨Ｅ
１ （コ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）｝ ケ、ド・モルガンの法則
１ （サ）～（Ｐ⇔Ｑ） コＤｆ.⇔
然るに、
（08）
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２ （２） （Ｐ＆ Ｑ） Ａ
３ （３） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （４） Ｑ ２＆Ｅ
３ （５） ～Ｑ ３＆Ｅ
２３ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
３ （７）～（Ｐ＆ Ｑ） ２ＲＡＡ
８ （８） （Ｑ＆～Ｐ） Ａ
３ （９） Ｐ ２＆Ｅ
８ （ア） ～Ｐ ８＆Ｅ
３８ （イ） Ｐ＆～Ｐ ９ア＆Ｉ
８ （ウ）～（Ｐ＆ Ｑ） ３８ＲＡＡ
１ （エ）～（Ｐ＆ Ｑ） １３７８ウ∨Ｅ
オ （オ） Ｐ Ａ
カ （カ） Ｑ Ａ
オカ （キ） Ｐ＆ Ｑ オカ＆Ｉ
１ オカ （ク）～（Ｐ＆Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ） エキ＆Ｉ
１ オ （ケ） ～Ｑ カクＲＡＡ
１ （コ） Ｐ→～Ｑ オケＣＰ
サ （サ） Ｑ Ａ
シ（シ） Ｐ Ａ
サシ（ス） Ｐ＆ Ｑ シサ＆Ｉ
１ サシ（セ）～（Ｐ＆Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ） エス＆I
１ サ （ソ） ～Ｐ シセＲＡＡ
１ （タ） Ｑ→～Ｐ サソＣＰ
１ （チ） （Ｐ→～Ｑ）＆（Ｑ→～Ｐ） コタ＆Ｉ
従って、
（07）（08）により、
（09）
① ～（Ｐ⇔ Ｑ）
② （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
③ （Ｐ→～Ｑ）＆（Ｑ→～Ｐ）
於いて、
①＝② であって、
②⇒③ である。
従って、
（09）により、
（10）
① ～（Ｐ⇔Ｑ）
②（ＰであってＱでない）か、または（ＱであってＰでない）。
③（Ｐならば、Ｑでなく）、その上、（Ｑならば、Ｐでない）。
於いて、
①＝② であって、
②⇒③ である。
然るに、
（11）
（ⅰ）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
に於いて、
（Ｐ＝真＆Ｑ＝真）であるならば、
②（真＆ 偽）∨（真＆ 偽）で、「偽」である。
（ⅱ）
（Ｐ＝真＆Ｑ＝偽）であるならば、
②（真＆ 真）∨（偽＆ 偽）で、「真」である。
（ⅲ）
（Ｐ＝偽＆Ｑ＝真）であるならば、
②（偽＆ 偽）∨（真＆ 真）で、「真」である。
（ⅳ）
（Ｐ＝偽＆Ｑ＝偽）であるならば、
②（偽＆ 真）∨（偽＆ 真）で、「偽」である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
すなはち、
②（ＰであってＱでない）か、または（ＱであってＰでない）。
であるならば、
② 二つの命題（ＰとＱ）のいずれか一方のみが真のときに真となり、両方真や両方偽のときは偽となる。
（01）（12）により、
（13）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
すなはち、
②（ＰであってＱでない）か、または（ＱであってＰでない）。
は、「排他的論理」は、そのものである。
然るに、
（01）により、
（14）
①（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
であれば、すなはち、
①（ＰあるいはＱ）であるが（ＰであってＱである）といふことはない。
であれば、この場合も、「排他的論理和」である。
従って、
（13）（14）により、
（15）
①（Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
すなはち、
①（ＰあるいはＱ）であるが（ＰであってＱである）といふことはない。
②（ＰであってＱでない）か、または（ＱであってＰでない）。
といふ「２つの言ひ方」は、両方とも、「排他的論理和」である。
然るに、
（01）（14）（15）により、
（16）
② 二つの命題（ＰとＱ）のいずれか一方のみが真のときに真となり、両方真や両方偽のときは偽となる。
といふのであれば、すなはち、「排他的選言」をいふのであれば、
①（ＰあるいはＱ）であるが（ＰであってＱである）といふことはない。
といふ「言ひ方」より、
②（ＰであってＱでない）か、または（ＱであってＰでない）。
といふ「言ひ方」の方が、すなはち、
①（Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
といふ「論理式」よりも、
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
といふ「論理式」の方が、分かりやすい。