（01）
「太郎かあるいは次郎が辞書をもっている」と言われるとき、「太郎が辞書をもっている」と「次郎が辞書をもっている」の二つの命題は同時に真になることが可能である。
このような選言は「両立的選言と」呼ばれる。
「太郎は３階か５階にいる」と言われるとき、「太郎は３階にいる」と「太郎は５階にいる」の二つの命題が同時に真になることはありえない。
このような選言は「排他的選言」である。
（昭和堂入門選書、論理学の基礎、1994年、１１頁）
然るに、
（02）
ＰとＱの両立的選言＝Ｐ∨Ｑ
ＰとＱの排他的選言＝Ｐ▽Ｑ
といふ風に書くことにするが、
「∨」といふ「記号」に対して、
「▽」といふ「記号」は、「教科書」等には無いので、ここだけの「記号」である。
然るに、
（01）（02）により、
（03）
① 真▽真
② 真▽偽
③ 偽▽真
④ 偽▽偽
は、それぞれ、
① 偽
② 真
③ 真
④ 偽
である。
然るに、
（04）
①（真＆～真）∨（真＆～真）
②（真＆～偽）∨（偽＆～真）
③（偽＆～真）∨（真＆～偽）
④（偽＆～偽）∨（偽＆～偽）
は、それぞれ、
①（真＆偽）∨（真＆偽）
②（真＆真）∨（偽＆偽）
③（偽＆偽）∨（真＆真）
④（偽＆真）∨（偽＆真）
であって、これらは、
①（偽）∨（偽）
②（真）∨（偽）
③（偽）∨（真）
④（偽）∨（偽）
であって、これらは、
① 偽
② 真
③ 真
④ 偽
である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① Ｐ▽ Ｑ
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）
① Ｐ▽ Ｑ
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
に於いて、すなはち、
① ＰとＱの、どちらか一方だけが、本当である。
②（Ｐであって、Ｑでない）か、または（Ｑであって、Ｐでない）。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（07）
１（１） Ｐ▽ Ｑ Ａ
１（２）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） １Ｄｆ.▽
１（３） Ｐ▽ Ｑ ２Ｄｆ.▽
とする。
然るに、
（08）
１ （１） Ｐ▽ Ｑ Ａ
１ （２） （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） １Ｄｆ.▽
３ （３） （～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
４ （４） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３ （５） ～Ｐ ３＆Ｅ
４ （６） Ｐ ４＆Ｅ
３４ （７） ～Ｐ＆Ｐ ５６＆Ｉ
４ （８）～（～Ｐ＆～Ｑ） ３７ＲＡＡ
９（９） （Ｑ＆～Ｐ） Ａ
３ （ア） ～Ｑ ３＆Ｅ
９（イ） Ｑ ９＆Ｅ
３ ９（ウ） ～Ｑ＆Ｑ アイ＆Ｉ
９（エ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ３ウＲＡＡ
１ （オ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １４８９エ∨Ｅ
従って、
（08）により、
（09）
① Ｐ▽ Ｑ
② ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①⇒② である。
然るに、
（10）
（ⅱ）
１ （１）～（～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） Ｐ∨ Ｑ ７∨Ｉ
２ ７（９） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ２８＆Ｉ
２ （ア） ～Ｑ ７９ＲＡＡ
２ （イ） ～Ｐ＆～Ｑ ６ア＆Ｉ
１２ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～～（Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
１ （オ） （Ｐ∨ Ｑ） エＤＮ
（ⅲ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
従って、
（10）により、
（11）
② ～（～Ｐ＆～Ｑ）
③ Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
②＝③ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（10）（11）により、
（12）
① Ｐ▽ Ｑ
② ～（～Ｐ＆～Ｑ）
③ Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
①⇒② であるが、
②⇔③ である。
従って、
（12）により、
（13）
「番号」を付け直すと、
① Ｐ▽ Ｑ
② Ｐ∨ Ｑ
③ ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①⇒③ であるが、
②⇔③ であるため、いづれにせよ、
① ならば、③ であって、
② ならば、③ である。
然るに、
（14）
（ⅲ）
１ （１）～（～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） ～Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） ～Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） ～Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
従って、
（14）により、
（15）
③ ～（～Ｐ＆～Ｑ）
④ ～Ｐ→ Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（13）（15）により、
（16）
① Ｐ▽ Ｑ
② Ｐ∨ Ｑ
③ ～（～Ｐ＆～Ｑ）
④ ～Ｐ→ Ｑ
に於いて、
①⇒③ であるが、
②＝③ であるため、いづれにせよ、
① ならば、③ であって、
② ならば、③ であって、尚且つ、
③＝④ である。
従って、
（16）により、
（17）
① Ｐ▽ Ｑ
② Ｐ∨ Ｑ
③ ～（～Ｐ＆～Ｑ）
④ ～Ｐ→ Ｑ
に於いて、
① ならば、③ であり、③ ならば、④ である。
② ならば、③ であり、③ ならば、④ である。
従って、
（17）により、
（18）
① Ｐ▽Ｑ
② Ｐ∨Ｑ
③ ～Ｐ→Ｑ
に於いて、
① ならば、③ である。
② ならば、③ である。
従って、
（01）（02）（18）により、
（19）
① Ｐ▽Ｑ，～Ｐ├ Ｑ
② Ｐ∨Ｑ，～Ｐ├ Ｑ
といふ「推論」、すなはち、
① ＰとＱの、どちらか一方だけが、本当である。然るに、Ｐはウソである。故に、Ｑは本当である。
② ＰとＱの、少なくとも一方は、 本当である。然るに、Ｐはウソである。故に、Ｑは本当である。
といふ「推論（選言三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（01）（02）（19）により、
（20）
①「排他的選言三段論法」は、「妥当」であり、
②「両立的選言三段論法」も、「妥当」である。
然るに、
（10）により、
（21）
１ （１）～（～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
は、「妥当」である。
然るに、
（22）
１ （１）～（～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（Ｐ▽ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ▽ Ｑ ３∨Ｉ
は、「妥当」ではない。
（23）
３ （３） Ｐ Ａ
であれば、「仮定の規則（Ａ）」によって、
この時点で、
３ （４） 真▽ Ｑ ３∨Ｉ
であり、そのため、
３ （４） 真▽ 偽 ３∨Ｉ
ではなく、
３ （４） 真▽ 真 ３∨Ｉ
であれば、
３ （４） Ｐ▽ Ｑ ３∨Ｉ
は、「偽」であるからである。
従って、
（10）（21）（22）（23）により、
（24）
（ⅱ）
１ （１）～（～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（Ｐ▽ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ▽ Ｑ ３▽Ｉ
２３ （５） ～（Ｐ▽ Ｑ）＆
（Ｐ▽ Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） Ｐ▽ Ｑ ７▽Ｉ
２ ７（９） ～（Ｐ▽ Ｑ）＆
（Ｐ▽ Ｑ） ２８＆Ｉ
２ （ア） ～Ｑ ７９ＲＡＡ
２ （イ） ～Ｐ＆～Ｑ ６ア＆Ｉ
１２ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～～（Ｐ▽ Ｑ） ２ウＲＡＡ
１ （オ） （Ｐ▽ Ｑ） エＤＮ
といふ「推論」は、
３ （４） Ｐ▽ Ｑ ３▽Ｉ
７（８） Ｐ▽ Ｑ ７▽Ｉ
の「部分」が「妥当」ではないため、「全体」として、「妥当」ではない。
従って、
（02）（03）（10）（11）（24）により、
（25）
「ド・モルガンの法則」は、
「両立的選言」では、「成立」するが、
「排他的選言」では、「半分」しか「成立」しない。
すなはち、
（26）
① Ｐ▽ Ｑ
② ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① であるとは、限らない。