（01）
① 真＆真＝真
② 真＆偽＝偽
③ 偽＆真＝偽
④ 偽＆偽＝偽
に於いて、
真＝１
偽＝０
＆＝×
とすると、
① １×１＝１
② １×０＝０
③ ０×１＝０
④ ０×０＝０
といふ「掛け算」になる。
従って、
（01）により、
（02）
① 真＆真＝真
② 真＆偽＝偽
③ 偽＆真＝偽
④ 偽＆偽＝偽
といふ「結果」は、
① １×１＝１
② １×０＝０
③ ０×１＝０
④ ０×０＝０
といふ「掛け算」に喩へることが出来るため、
「Ｐ＆Ｑ（連言）」を、「論理積」といふ。
然るに、
（03）
① 真∨真＝真
② 真∨偽＝偽
③ 偽∨真＝真
④ 偽∨偽＝真
に於いて、
真＝１
偽＝０
∨＝＋
とすると、
① １＋１＝２
② １＋０＝１
③ ０＋１＝１
④ ０＋０＝０
といふ「足し算」になるものの、
① １＋１＝２
に関しては、
① １＋１＝１
とする。
従って、
（03）により、
（04）
① 真∨真＝真
② 真∨偽＝真
③ 偽∨真＝真
④ 偽∨偽＝偽
といふ「結果」も、「足し算」に喩へることによって、
「Ｐ∨Ｑ（選言）」を、「両立的論理和（弱選言）」といふ。
といふ。
然るに、
（05）
① １＋１＝１
② １＋０＝１
③ ０＋１＝１
④ ０＋０＝０
ではなく、
① １＋１＝０
② １＋０＝１
③ ０＋１＝１
④ ０＋０＝０
といふ「結果」になるものとして、
この場合は、「排他的論理和（強選言）」といふ。
然るに、
（06）
「太郎かあるいは次郎が辞書をもっている」と言われるとき、「太郎が辞書をもっている」と「次郎が辞書をもっている」の二つの命題は同時に真になることが可能である。
このような選言は「両立的選言と」呼ばれる。
「太郎は３階か５階にいる」と言われるとき、「太郎は３階にいる」と「太郎は５階にいる」の二つの命題が同時に真になることはありえない。
このような選言は「排他的選言」である。
論理学の「・・・あるいは・・・」は両立的選言に決めてある。それは論理学の体系がよりシンプルなものになるからである。
とりわけ、∨を両立的選言の方に決めておけば、排他的選言の方は∨と＆と～によって簡単に表現できる ―（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）―。
（昭和堂入門選書、論理学の基礎、1994年、１１頁）
然るに、
（07）
（ⅰ）
１ （１）（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
１ （２） Ｐ∨Ｑ １＆Ｅ
１ （３） ～（Ｐ＆Ｑ） １＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ
５ （５） Ｑ Ａ
４５ （６） Ｐ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１４５ （７）～（Ｐ＆Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ） ２６＆Ｉ
１４ （８） ～Ｑ ５７ＲＡＡ
１ （９） Ｐ→～Ｑ ４８ＣＰ
ア （ア） Ｐ Ａ
１ ア （イ） ～Ｑ ９アＭＰＰ
１ ア （ウ） Ｐ＆～Ｑ アイ＆Ｉ
１ ア （エ）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） ウ∨Ｉ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～～Ｑ オＤＮ
１ オ（キ）～Ｐ ９カＭＴＴ
１ オ（ク） Ｑ＆～Ｐ オキ＆Ｉ
１ オ（ケ）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） ク∨Ｉ
１ （コ）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） ２アエオケ∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ） Ａ
２ （２）（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
２ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ （６）～Ｐ∨～Ｑ ５∨Ｉ
２ （７）～（Ｐ＆Ｑ） ６ド・モルガンの法則
２ （８）（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ） ４７＆Ｉ
９（９） Ｑ＆～Ｐ Ａ
９（ア） Ｑ ９＆Ｅ
９（イ） Ｐ∨Ｑ ア∨Ｉ
９（ウ） ～Ｐ ９＆Ｅ
９（エ） ～Ｐ∨～Ｑ ウ∨Ｉ
９（オ） ～（Ｐ＆Ｑ） エ、ド・モルガンの法則
９（カ）（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ） イオ＆Ｉ
１ （キ）（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ） １２８９カ∨Ｅ
従って、
（07）により、
（08）
①（Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
に於いて、すなはち、
①（Ｐまたは、 Ｑである）が、（Ｐであって、Ｑである）といふことはない。
②（Ｐであって、Ｑでない）か、または（Ｑであって、Ｐでない）。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）（08）により、
（09）
「排他的選言」といふ「選言」は、
①（Ｐまたは、 Ｑである）が、（Ｐであって、Ｑである）といふことはない。
②（Ｐであって、Ｑでない）か、または（Ｑであって、Ｐでない）。
といふ「選言（disjunction）」を言ふ。
然るに、
（04）により、
（10）
① 真∨真＝真
② 真∨偽＝真
③ 偽∨真＝真
④ 偽∨偽＝偽
といふことは、
① 真∨真＝真
② 真∨偽＝真
である。
然るに、
（10）により、
（11）
① 真∨真＝真
② 真∨偽＝真
といふことは、
③ 真
であれば、それだけで、
③ 真∨□
は、そのまま、
③ 真∨□＝真
である。
然るに、
（12）
１（１）Ｐ Ａ
であれば、それだけで、
１（１）真 Ａ
である。
従って、
（11）（12）により、
（13）
１（１）Ｐ Ａ
であれば、それだけで、
１（１）真 Ａ
であるが故に、
（２）Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
は、Ｑの「真・偽」に拘はらず、「恒に真」である。
然るに、
（14）
① Ｐ∨Ｑ
② Ｐ▽Ｑ
に於いて、
① が「（ＰとＱによる）両立的選言」であるに対して、
② は「（ＰとＱによる）排他的選言」であるとする。
従って、
（06）（08）（13）（14）により、
（15）
① 真∨真＝真
② 真∨偽＝真
ではなく、
① 真▽真＝偽
② 真▽偽＝真
であるならば、
１（２）Ｐ▽Ｑ １∨Ｉ
の「偽・真」は、「Ｑの真・偽」に従って、「偽」にも、「真」にもなる。
従って、
（10）～（15）により、
（16）
１（１）Ｐ Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ（両立的選言導入）
といふ「推論」は「妥当（valid）」であるが、
１（１）Ｐ Ａ
１（２）Ｐ▽Ｑ １∨Ｉ（排他的選言導入）
といふ「推論」は「非妥当（invalid）」である。
然るに、
（17）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）～（～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） Ｐ∨ Ｑ ７∨Ｉ
２ ７（９） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） ２８＆Ｉ
２ （ア） ～Ｑ ７９ＲＡＡ
２ （イ） ～Ｐ＆～Ｑ ６ア＆Ｉ
１２ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～～（Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
１ （オ） Ｐ∨ Ｑ エＤＮ
従って、
（17）により、
（18）
① Ｐ∨ Ｑ
② ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、すなはち、
① ＰかＱの、すくなくとも、一方は、本当である。
② ＰとＱの、両方が、同時にウソである。といふことはない。
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（16）（17）により、
（19）
（ⅱ）
１ （１）～（～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（Ｐ▽ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ▽ Ｑ ３▽Ｉ
２３ （５） ～（Ｐ▽ Ｑ）＆
（Ｐ▽ Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） Ｐ▽ Ｑ ７▽Ｉ
２ ７（９） ～（Ｐ▽ Ｑ）＆
（Ｐ▽ Ｑ） ２８＆Ｉ
２ （ア） ～Ｑ ７９ＲＡＡ
２ （イ） ～Ｐ＆～Ｑ ６ア＆Ｉ
１２ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～～（Ｐ▽ Ｑ） ２ウＲＡＡ
１ （オ） Ｐ▽ Ｑ エＤＮ
に於ける、
３ （４） Ｐ▽ Ｑ ３▽Ｉ
７（８） Ｐ▽ Ｑ ７▽Ｉ
に関しては、「非妥当（invalid）」である。
従って、
（19）により、
（20）
① Ｐ▽ Ｑ
② ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、すなはち、
① ＰかＱの、どちらか、一方だけが、本当である。
② ＰとＱの、両方が、同時にウソである。といふことはない。
に於いて、
①⇒② であったとしても、
①＝② ではない。
従って、
（14）（18）（20）により、
（21）
「ド・モルガンの法則」といふのは、
「両立的選言（∨）」と、「連言（＆）」の間で成り立つ「法則」であって、
「排他的選言（▽）」と、「連言（＆）」の間で成り立つ「法則」ではない。
然るに、
（22）
従って、
（22）により、
（23）
① ￢Ａ├ Ａ→Ｂ
② Ｂ├ Ａ→Ｂ
すなはち、
① ～Ｐ├ Ｐ→Ｑ
② Ｑ├ Ｐ→Ｑ
は、「実質含意のパラドクス」である。
然るに、
（24）
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨ Ｑ １∨Ｉ
１ （３）～（Ｐ＆～Ｑ） ２ド・モルガンの法則
４ （４） Ｐ Ａ
５（５） ～Ｑ Ａ
４５（６） Ｐ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１４５（７）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ３６＆Ｉ
１４ （８） ～～Ｑ ５７ＲＡＡ
１４ （９） Ｑ ８ＤＮ
１ （ア） Ｐ→ Ｑ ４９ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｑ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨ Ｑ １∨Ｉ
１ （３）～（Ｐ＆～Ｑ） ２ド・モルガンの法則
４ （４） Ｐ Ａ
５（５） ～Ｑ Ａ
４５（６） Ｐ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１４５（７）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ３６＆Ｉ
１４ （８） ～～Ｑ ５７ＲＡＡ
１４ （９） Ｑ ８ＤＮ
１ （ア） Ｐ→ Ｑ ４９ＣＰ
従って、
（16）（21）～（24）により、
（25）
① ～Ｐ├ Ｐ→Ｑ
② Ｑ├ Ｐ→Ｑ
といふ「連式」は、「同じ計算」によって、「妥当（Valid）」であるが、「この計算」には、「排他的選言」では、「不可」である所の、
１ （２） ～Ｐ∨ Ｑ １∨Ｉ
１ （３）～（Ｐ＆～Ｑ） ２ド・モルガンの法則
といふ「計算」がなされてゐる。
従って、
（25）により、
（26）
① ～Ｐ├ Ｐ→Ｑ
② Ｑ├ Ｐ→Ｑ
である所の「実質含意のパラドクス」は、
「排他的選言（∨）のパラドクス」ではなく、
「両立的選言（∨）のパラドクス」である。