（01）
「原始的規則（10 primitive rules）」だけを用ひて、次の「連式」を証明せよ。
（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ┤├（Ｐ→Ｑ）→Ｐ
〔解答〕
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｑ ３４ＭＰＰ
２ （６） ～Ｑ ２＆Ｅ
２３ （７） Ｑ＆～Ｑ ５６＆Ｉ
２ （８） ～（Ｐ→ Ｑ） ３７ＲＡＡ
２ （９） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ２∨Ｉ
ア （ア） Ｐ Ａ
ア （イ） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ア∨Ｉ
１ （ウ） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ １２９アイ∨Ｅ
エ （エ） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ Ａ
オ （オ） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
エ （カ） （Ｐ→Ｑ） エ＆Ｅ
エオ （キ） ～（Ｐ→Ｑ）＆
（Ｐ→Ｑ） オカ＆Ｉ
オ （ク）～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝ エキＲＡＡ
ケ （ケ） Ｐ Ａ
エ （コ） ～Ｐ エ＆Ｅ
エ ケ （サ） Ｐ＆～Ｐ ケコ＆Ｉ
ケ （シ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝ エサＲＡＡ
１ （ス）～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝ ウオクケシ∨Ｅ
セ （セ） （Ｐ→Ｑ） Ａ
ソ（ソ） ～Ｐ Ａ
セソ（タ） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ セソ＆Ｉ
１ セソ（チ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝＆
｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝ スタ＆Ｉ
１ セ （ツ） ～～Ｐ ソチＲＡＡ
１ セ （テ） Ｐ ツＤＮ
１ （ト） （Ｐ→Ｑ）→ Ｐ セテＣＰ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３４ （５） Ｐ＆～Ｑ ３４＆Ｉ
２３４ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ２５＆Ｉ
２３ （７） ～～Ｑ ４６ＲＡＡ
２３ （８） Ｑ ７ＤＮ
２ （９） Ｐ→ Ｑ ３８ＣＰ
１２ （ア） Ｐ １９ＭＰＰ
１ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｐ ２アＣＰ
ウ （ウ） ～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝ Ａ
エ（エ） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
エ（オ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ エ∨Ｉ
ウエ（カ） ～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝＆
｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝ ウオ＆Ｉ
ウ （キ） ～（Ｐ＆～Ｑ） エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｐ イキＭＰＰ
１ ウ （ケ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ク∨Ｉ
１ ウ （コ） ～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝＆
｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝ イケ＆Ｉ
１ （サ）～～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝ ウコＲＡＡ
１ （シ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ サＤＮ
（02）
「原始的規則（10 primitive rules）」、並びに「ド・モルガンの法則、含意の定義」を用ひて、次の「連式」を証明せよ。
（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ┤├（Ｐ→Ｑ）→Ｐ
〔解答〕
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３）～（～Ｐ∨ Ｑ） ２ド・モルガンの法則
２ （４） ～（Ｐ→ Ｑ） ３含意の定義
２ （５） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ４∨Ｉ
６（６） Ｐ Ａ
６（７） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ １２５６７∨Ｅ
１ （９） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ ８含意の定義
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
３ （４）～（～Ｐ∨ Ｑ） ３含意の定義
３ （５） （Ｐ＆～Ｑ） ４ド・モルガンの法則
３ （６） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ５∨Ｉ
７（７） Ｐ Ａ
７（８） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ７∨Ｉ
１ （９） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ２３６７８∨Ｅ
従って、
（01）（02）により、
（03）
「記号」で書くと、
①（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
②（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
「日本語」で言ふと、
①（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである。
②（Ｐならば、 Ｑ）ならば、Ｐである。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
Ｐ＝日本人
Ｑ＝男性
であるとして、
①（日本人であって、男性でない）か、または、日本人である。
②（日本人ならば、 男性）ならば、日本人である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
①（日本人であって、男性でない）か、または、日本人である。
といふのであれば、当然、いづれにせよ、
① 日本人である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
①（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである。
といふのであれば、当然、
① Ｐである。
従って、
（04）（07）により、
（08）
①（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである。
②（Ｐならば、 Ｑ）ならば、Ｐである。
に於いて、
①＝② であるが故に、当然、いづれにせよ、
① ならば、Ｐであり、
② ならば、Ｐである。
従って、
（08）により、
（09）
①（（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである）ならば、Ｐである。
②（（Ｐならば、 Ｑ）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
従って、
（03）（09）により、
（10）
「記号」で書くと、
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
４（４） Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １２３４４∨Ｅ
（６）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ １５ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
３ （４）～（～Ｐ∨Ｑ） ３含意の定義
３ （５） Ｐ＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
３ （６） Ｐ ５＆Ｅ
７（７） Ｐ Ａ
１ （８） Ｐ ２３６７７∨Ｅ
（９）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １８ＣＰ
従って、
（10）（11）により、
（12）
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
① は「恒真式（トートロジー）」であって、
② も「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝② である。
然るに、
（13）
命題計算では、パースの法則は（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
従って、
（09）～（13）により、
（14）
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである）ならば、Ｐである。
②（（Ｐならば、 Ｑ）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
に於いて、
①＝② であって、
② は、『パースの法則』である。
然るに、
（15）
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
①（（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである）ならば、Ｐである。
といふ「命題」が、
命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。
とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
といふ「意味」であるとは、私には、到底、思へない。
従って、
（14）（15）により、
（16）
とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
といふ「説明」が、
②（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐならば、Ｑ）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
といふ『パースの法則』の「説明」になってゐるとは、私には、思へない。
（01）
（ⅰ）
１ （１） ～∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （２） ～∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
３（３） ～Ｆａ Ａ
３（４） ∃ｘ（～Ｆｘ） ３ＥＩ
２３（５） ～∃ｘ（～Ｆｘ）＆
∃ｘ（～Ｆｘ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｆａ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｆａ ６ＤＮ
２ （８） ∀ｘ（Ｆｘ） ７ＵＩ
１２ （９） ～∀ｘ（Ｆｘ）＆
∀ｘ（Ｆｘ） １９＆Ｉ
１ （ア）～～∃ｘ（～Ｆｘ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ∃ｘ（～Ｆｘ） アＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
３（３） ～Ｆａ Ａ
２ （４） Ｆａ ３ＵＥ
２３（５） ～Ｆａ＆Ｆａ ３４＆Ｉ
３（６） ～∀ｘ（Ｆｘ） ２５ＲＡＡ
１ （７） ～∀ｘ（Ｆｘ） １３６ＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
① ～∀ｘ（Ｆｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、
①＝② である（量化子の関係）。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） Ａ
２ （２） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ） Ａ
３ （３） ～Ｆａ Ａ
３ （４） ～Ｆａ∨～Ｆｂ ３∨Ｉ
３ （５） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ４∨Ｉ
２３ （６） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ） ２５＆I
２ （７） ～～Ｆａ ２６ＲＡＡ
２ （８） Ｆａ ７ＤＮ
９ （９） ～Ｆｂ Ａ
９ （ア） ～Ｆａ∨～Ｆｂ ９∨Ｉ
９ （イ） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ア∨Ｉ
２ ９ （ウ） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ） ２イ＆Ｉ
２ （エ） ～～Ｆｂ ９ウＲＡＡ
２ （オ） Ｆｂ エＤＮ
カ（カ） ～Ｆｃ Ａ
カ（キ） ～Ｆｂ∨～Ｆｃ カ∨Ｉ
カ（ク） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ キ∨Ｉ
２ カ（ケ） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ） ２カ＆Ｉ
２ （コ） ～～Ｆｃ カケＲＡＡ
２ （サ） Ｆｃ コＤＮ
２ （シ） Ｆａ＆ Ｆｂ＆ ８オ＆Ｉ
２ （ス） Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ サシ＆Ｉ
１２ （セ） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）＆
（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） ２ス＆Ｉ
１ （ソ）～～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ） ２セＲＡＡ
１ （タ） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ソＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨ ～Ｆｃ Ａ
２ （２） Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ Ａ
１ （３） （～Ｆａ∨～Ｆｂ）∨～Ｆｃ １結合法則
２ （４） （Ｆａ＆ Ｆｂ）＆ Ｆｃ ２結合法則
５ （５） ～Ｆａ∨～Ｆｂ Ａ
２ （６） Ｆａ＆ Ｆｂ ４＆Ｅ
７ （７） ～Ｆａ Ａ
２ （８） Ｆａ ６＆Ｅ
２ ７ （９） ～Ｆａ＆Ｆａ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） ２９ＲＡＡ
イ （イ） ～Ｆｂ Ａ
２ （ウ） Ｆｂ ６＆Ｅ
２ イ （エ） ～Ｆｂ＆Ｆｂ イウ＆Ｉ
イ （オ） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） ２エＲＡＡ
５ （カ） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） ５７アイオ∨Ｅ
キ（キ） ～Ｆｃ Ａ
２ （ク） Ｆｃ ４＆Ｅ
２ キ（ケ） ～Ｆｃ＆Ｆｃ キク＆Ｉ
キ（コ） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） ２ケＲＡＡ
１ （サ） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ） ３５カキコ∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
① ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）
② ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（05）
｛すべてのｘ｝≡｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとすると、
① ～∀ｘ（Ｆｘ） ≡（ａがＦであって、ｂもＦであって、ｃもＦである）といふことはない。
② ∃ｘ（～Ｆｘ） ≡ ａはＦでないか、ｂはＦでないか、ｃはＦでない。
① ～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）≡（ａがＦであって、ｂもＦであって、ｃもＦである）といふことはない。
② ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ≡ ａはＦでないか、ｂはＦでないか、ｃはＦでない。
従って、
（05）により、
（06）
｛すべてのｘ｝≡｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとすると、
① ～∀ｘ（Ｆｘ）≡～（Ｆａ＆ Ｆｂ＆ Ｆｃ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）≡ ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ
に於いて、
①＝② である（量化子の関係、ド・モルガンの法則）。
（01）
排中律
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 ナビゲーションに移動検索に移動 排中律（はいちゅうりつ、英: Law of excluded middle、仏: Principe du tiers exclu）とは、論理学において、任意の命題 Ｐ に対し"～Ｐ∨Ｐ"（Ｐでないか、または Ｐである）が成り立つことを主張する法則である。これは、論理の古典的体系では基本的な属性であり、同一律、無矛盾律とともに、（古典的な）思考の三原則のひとつに数えられる。しかし、論理体系によっては若干異なる法則となっている場合もあり、場合によっては排中律が全く成り立たないこともある（例えば直観論理）。
従って、
（01）により、
（02）
「直観論理」の場合は、
①「排中律」は、必ずしも、「真」ではない。
従って、
（02）により、
（03）
「直観論理」の場合は、
①「排中律」の「否定」は、必ずしも、「偽」ではない。
然るに、
（04）
（ａ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｐ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆～Ｐ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｐ Ａ
２ （８） ～Ｐ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｐ＆～Ｐ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（Ｐ＆～Ｐ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆～Ｐ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｐ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｐ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ） ～（Ｐ＆～Ｐ）＆
（Ｐ＆～Ｐ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｐ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｐ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｐ ウクＣＰ
（ｂ）
１ （１） Ｐ→ Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｐ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｐ＆～Ｐ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｐ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨ Ｐ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨ Ｐ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨ Ｐ）＆
（～Ｐ∨ Ｐ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＤＮ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｐ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨ Ｐ オ∨Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨ Ｐ）＆
（～Ｐ∨ Ｐ） ８カ＆I
８ （ク） ～Ｐ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｐ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｐ＆～Ｐ）＆
（Ｐ＆～Ｐ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨ Ｐ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨ Ｐ サＤＮ
（ｂ）
従って、
（04）により、
（05）
① ～Ｐ∨ Ｐ :排中律
② ～（Ｐ＆～Ｐ） :矛盾律
③ Ｐ→ Ｐ :同一律
に於いて、
① ならば、② であり、② ならば、③ であり、
③ ならば、② であり、② ならば、① である。
従って、
（05）により、
（06）
① ～Ｐ∨ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ Ｐ→ Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ であるが、特に、
①＝② は、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（06）により、
（07）
① ～Ｐ∨ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
に於いて、
①＝② であるため、
① ～（～Ｐ∨ Ｐ）
② ～～（Ｐ＆～Ｐ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（07）により、
（08）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ～（～Ｐ∨ Ｐ）≡（Ｐでないか、または、Ｐである）といふわけではない。
② （Ｐ＆～Ｐ）≡（Ｐであって、Ｐでない）。
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（08）により、
（09）
①「排中律」の「否定」
②「 矛盾 」
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（03）（09）により、
（10）
「直観論理」の場合は、
①「排中律」の「否定」は、必ずしも、「偽」ではなく、尚且つ、
①「排中律」の「否定」は、「ド・モルガンの法則」により、
②「 矛盾 」に「等しい」。
従って、
（10）により、
（11）
「直観論理」の場合は、
②「矛盾（Ｐ＆～Ｐ）」は、必ずしも、「偽」ではない。
然るに、
（12）
②「矛盾（Ｐであって、Ｐでない）」は、必ず、「偽」であるに違ひない。
従って、
（01）～（12）により、
（13）
「排中律が全く成り立たないこともある（例えば直観論理）。」
といふ「説明」が、私には、理解できない。
（01）
練習問題
１ つぎの連式に対して証明を与えよ。
（ｃ）Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）┤├（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
（ｄ）Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）┤├（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
（論理学初歩、E.J.レモン著、竹尾 治一郎・浅野 楢英 翻訳、1973年、５２頁）
然るに、
（02）
「結論」として、
「Ｐ与Ｑ」は、「Ｐ＆Ｑ（ 連言 ）」であって、
「Ｐ如Ｑ」は、「Ｐ∨Ｑ（弱選言）」である。
ｃｆ.
「藤堂明保、漢語と日本語、1969年、８２頁」＋「上田泰治、論理学、1967年、４６頁」＋「大修館書店、大漢和辞典（【如】6060）」。
従って、
（01）（02）により、
（03）
練習問題
１ つぎの連式に対して証明を与えよ。
（ｃ）甲与（乙如丙）┤├（甲与乙）如（甲与丙）
（ｄ）甲如（乙与丙）┤├（甲如乙）与（甲如丙）
（論理学初歩、E.J.レモン著、竹尾 治一郎・浅野 楢英 翻訳、1973年、５２頁改）
然るに、
（04）
〔私による解答〕
（ⅰ）
１ （１） 甲与（乙如丙） 仮定
１ （２） 甲 仮定
１ （３） 乙如丙 １与除去
４ （４） 乙 仮定
１４ （５） 甲与乙 ２４与導入
１４ （６）（甲与乙）如（甲与丙） ５如導入
７（７） 丙 仮定
１ ７（８） 甲与丙 ２７与導入
１ ７（９）（甲与乙）如（甲与丙） ８如導入
１ （ア）（甲与乙）如（甲与丙） １４６７９如除去
（ⅱ）
１ （１）（甲与乙）如（甲与丙） １４６７９如除去
２ （２） 甲与乙 仮定
２ （３） 甲 ２与除去
２ （４） 乙 ２与除去
２ （５） 乙如丙 ４如導入
２ （６）甲与（乙如丙） ３５与導入
７（７） 甲与丙 仮定
７（８） 甲 ７与除去
７（９） 丙 ７与除去
７（ア） 乙如丙 ９如導入
７（イ） 甲与（乙如丙） ８ア与導入
１ （ウ）甲与（乙如丙） １２６７イ如除去
（ⅲ）
１ （１） 甲如（乙与丙） 仮定
２ （２） 甲 仮定
２ （３） 甲如乙 ２如導入
２ （４） 甲如丙 ３如導入
２ （５）（甲如乙）与（甲如丙） ３４与導入
６（６） 乙与丙 仮定
６（７） 乙 ６与除去
６（８） 甲如乙 ７如導入
６（９） 丙 ６与除去
６（ア） 甲如丙 ９如導入
６（イ）（甲如乙）与（甲如丙） ８ア与導入
１ （ウ）（甲如乙）与（甲如丙） １２５６イ如除去
（ⅳ）
１ （１） （甲如乙）与（甲如丙） 仮定
１ （２） （甲如乙） １与除去
１ （３）不不甲如乙 ２二重否定
１ （４） 不甲則乙 ３含意の定義
１ （５） 甲如丙 １与除去
１ （６） 不不甲如丙 ５二重否定
１ （７） 不甲則丙 ６含意の定義
８ （８） 不甲 仮定
１８ （９） 乙 ４８肯定肯定式
１８ （ア） 丙 ７８肯定肯定式
１８ （イ） 乙与丙 ９ア与導入
１ （ウ） 不甲則（乙与丙） ８イ肯定肯定式
１ （エ）不不甲如（乙与丙） ウ含意の定義
１ （カ） 甲如（乙与丙） エ二重否定
従って、
（04）により、
（05）
① 甲与（乙如丙）
②（甲与乙）如（甲与丙）
③ 甲如（乙与丙）
④（甲如乙）与（甲如丙）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（05）により、
（06）
（ｃ）甲与（乙如丙）┤├（甲与乙）如（甲与丙）
（ｄ）甲如（乙与丙）┤├（甲如乙）与（甲如丙）
といふ「連式」、すなはち、
（ｃ）分配の法則
（ｄ）分配の法則
は、「妥当」である。