2人が交互に数を1つまたは2つ順に言っていき、30を言ったら負けというゲームをする。
このゲームの必勝法は？
まず29を止めて相手の順番を回すと勝てる。
一人が1つまたは2つ言えるので、相手、自分の順に言うとき、言った数の個数の和を常に3にすることができる。
もし相手が1つのときは2つ言い、
相手が2つのときは1つ言う。
29÷3=9…2だから、
3で割って2余る数で止め続ければ、29で止めることができる。
【先手】は、最初に2つ言い、以降3で割って2余る数で止め続ければ必ず勝てる。
【後手】は、先手がこの必勝法を知らないでゲームを進めていれば、どこかのタイミングで3で割って2余る数で止め、以降3で割って2余る数で止めを続ける。
3で割って2余る数
2,5,8,11,14,17,20,23,26,29
【発展】
2人が交互に数を最大k個順に言っていき、nを言ったら負けというゲームをする。この必勝法は？
m≡n-1 (mod k+1)の数で止め続ける。
互いに必勝法を知っているとき、
n-1≡0 (mod k+1)のとき→【後手】
それ意外→【先手】
が勝つ。
①k=2,n=30
m≡30-1 (mod 2+1)→m≡2 (mod 3)
②k=3, n=30
m≡30-1 (mod 3+1)→m≡1 (mod 4)
→1,5,9,13,17,21,25,29で止める。
③k=3, n=25
m≡25-1 (mod 3+1)→m≡0 (mod 4)
→m=4,8,12,16,20,24で止める。
【後手】の勝ち
こんな所で、合同式に出会うとは。
(2021/7/20)
【発展2】
2人が交互に数を最大k個順に言っていき、nを言ったら勝ちというゲームをする。この必勝法は？
m≡n (mod k+1)の数で止め続ける。
n≡0 (mod k+1)→【後手】
それ以外→【先手】
k=3, n=30
m≡30 (mod 4)→m≡2 (mod 4)だから、
先手がまず2まで言う。
以降、m≡2 (mod 4)で止める。
2,6,10,14,18,22,26
【発展3】
「2人が交互に数を最大3個順に言っていき、25を言ったら勝ちというゲームをしよう。僕から言うね。」
「今度は、25を言ったら負けというゲームをしよう。今度は君からどうぞ。」
(2021/7/22)
