【平均速度】

【行きの速度a、帰りの速度b、平均の速度cの関係】

距離abxとする。

行きの時間bx、帰りの時間ax

往復で、距離2abx、時間(a+b)x

平均速度は、

c=(2abx)/{(a+b)x}=2/{(1/a)+(1/b)}

調和平均 c=2/{(1/a)+(1/b)}という。

a,b,cがすべて自然数となる場合を考える。

(1/a)+(1/b)=2/c

2ab=ca+cb

(2a-c)(2b-c)=c^2=pq

(2a-c, 2b-c)=(p,q)→(2a,2b)=(c+p, c+q)

→(a,b)={(c+p)/2, (c+q)/2}

cとpとqの奇偶は一致

【例】

①c=15

→c^2=3^2×5^2=1×225=3×75=9×25=15×15

(2a,2b)=(16,240)(18,90)(24,40)(30,30)

(a,b)=(8,120)(9,45)(12,20)(15,15)

②c=12

→c^2=2^4×3^2

=2×72=4×36=6×24=8×18=12×12

(2a,2b)=(14,84)(16,48)(18,36)(20,30)(24,24)

(a,b)=(7,42)(8,24)(9,18)(10,15)(12,12)

a,b,cはそれぞれk倍してもよい。

{a,b}→平均c

{ka,kb}→平均kc

(a,b;c)=(12,20;15)

→×3→(a,b;c)=(36,60;45)

(※)cが奇数のときは、自動的にp,q共に奇数になる。

cが偶数のときは、p,q共に偶数の場合に絞られる。

(2024/8/29)

(p.s.)

2/cを2つの単位分数に分ける問題と同じになるんですね。

(2024/9/27)