【半径rの円の面積はなぜπr^2？】

半径rの円の面積Sはなぜπr^2なのか？

【step0】定積分による円の面積
S=4∫《0,r》√(r^2-x^2)dx

【step1】曲線の長さ
曲線y=f(x)のx=aからx=bまでの長さsを求めてみよう。
x=aからx=tまでの長さをs(t)とする。
s(a)=0, s(b)=s

x=tからx=t+hまでの長さを考える。
hを限りなく小さいときには、この部分は直線とみなすことができる。
s(t+h)-s(t)=√{(f(t+h)-f(t))^2+h^2}
(s(t+h)-s(t))/h=√{1+{(f(t+h)-f(t))/h}^2}
h→0とする。
s'(t)=√{1+(f'(t))^2}
√{1+(f'(x))^2}の原始関数をF(x)とする。
s(t)=F(t)+C
s(a)=0より、C=-F(a)
s=s(b)=F(b)-F(a)
よって、s=∫《a,b》√{1+(f'(t))^2}dt

【step2】弧の長さ
半径r, 中心角π/2の円弧の長さ
l=(2πr)/4=(πr)/2

y=√(r^2-x^2)より、
y'=1/2×1/√(r^2-x^2)×(-2x)
=(-x)/√(r^2-x^2)
1+(y')^2=1+x^2/(r^2-x^2)
=r^2/(r^2-x^2)
√{1+(y')^2}=r/√(r^2-x^2)
(πr)/2=∫《0,r》r/√(r^2-x^2)dx
π/2=∫《0,r》1/√(r^2-x^2)dx

【step3】積分の計算-部分積分で！
I=∫《0,r》√(r^2-x^2)dx
=∫《0,r》(x')√(r^2-x^2)dx
=[x√(r^2-x^2)]《0,r》
+∫《0,r》x^2/√(r^2-x^2)dx
=∫《0,r》x^2/√(r^2-x^2)dx

x^2/√(r^2-x^2)
={r^2-(r^2-x^2)}/√(r^2-x^2)
=r^2/√(r^2-x^2)-√(r^2-x^2)

I=r^2×∫《0,r》1/√(r^2-x^2)dx
-∫《0,r》√(r^2-x^2)dx
=r^2×π/2-I

2I=1/2×πr^2
よって、S=4I=2(2I)=πr^2

(2019/9/12)